数学的魅力之一是，简单的规则可以产生复杂而迷人的模式，这些模式提出的问题的答案需要深思熟虑。例如，如果我们绘制所有次多项式的根$23$其系数均为$1$或$-1$，我们得到了一张令人震惊的图片，如图1所示。
更一般地，定义一个利特伍德多项式成为多项式$p（z）=\sum_{i=0}^d a_i z^i$每个系数$a_i$等于$1$或美元-1$.让${\mathbf{X}}_n$是一些Littlewood多项式的根的复数集n美元$非零项（因此为度n-1美元$).图1的4重对称性来自这样一个事实：如果$z\在｛\mathbf｛X｝｝_n中$他们也是$-z美元$和$\上划线{z}$.这套${\mathbf{X}}_n$在地图下也是不变的$z\mapsto 1/z$，因为如果$z（美元）$是某个利特伍德多项式的根1美元/z$是多项式的根，系数按相反顺序列出。
事实证明，研究场景更容易
$$\begin{multline*}{\mathbf{X}}=\bigcup_{n=1}^\infty{\mathbf{X{}}_n=\left\{z\in{\mat血红蛋白{C}}|z\text{是某些}\right的根\左侧。\text{Littlewood多项式}\right\}。\结束{multline*}$$
如果n美元$划分百万美元$然后${\mathbf{X}}_n\subseteq{\mathbf{X{}}_{m}$，所以${\mathbf{X}}_n$对于一个高度可除的数n美元$可以近似于${\mathbf{X}}$，这就是我们抽签的原因${\mathbf{X}}_{24}$.
的一些一般性质${\mathbf{X}}$理解。很容易证明${\mathbf{X}}$包含在环空中1/2美元<|z|<2$.另一方面，蒂埃里·布什（Thierry Bousch）表示2关闭${\mathbf{X}}$包含环空2^美元｛-1/4｝\le|z|\le2^｛1/4｝$.这意味着在集合中可以看到统一根附近的洞${\mathbf{X}}_n$最终必须在我们接管工会的过程中填补空缺n美元$.更令人惊讶的是，Bousch在1993年表明$\上划线{{\mathbf{X}}}$已连接且本地路径已连接三.值得比较奥德利兹科和普宁的工作7，他之前对系数都为$0$或$1$.
图2。区域${\mathbf{X}}_{24}$靠近点$z=\压裂{1}{2} e（电子）^{i/5}$.
最大的挑战是理解场景中不同区域出现的多样、复杂和美丽的图案${\mathbf{X}}$.有一些网站可以让你在线浏览和放大这个集合458不同地区提出不同的问题。
例如，是什么在创建图2中和其他地方的分形模式？一位匿名投稿人提出了一条引人入胜的攻击路线，由格雷格·伊根进一步发展5。根据复杂参数定义从复杂平面到自身的两个函数q美元$:
$$\开始{方程*}f{+q}（z）=1+qz，\qquad f{-q}[z）=1-qz。\结束{方程式*}$$
什么时候？$|q|<1$这两个都是压缩映射，所以根据Hutchinson的一个定理6存在一个唯一的非空紧集$D_q\subseteq{\mathbb{C}}$具有
$$\开始{方程式*}D_q=f_{+q}（D_q）\杯f_{-q}。\结束{方程式*}$$
我们将此集合称为龙，或$\mathbf{q}$-龙具体来说。看起来对于$|q|<1$，集合的一部分${\mathbf{X}}$在该点的一个小附近q美元$看起来像是旋转的$D_q（美元）$.
图3显示了一些示例。要准确地描述正在发生的事情，更不用说证明它，需要真正的工作。我们邀请读者试一试。已知启发式解释，可以作为起点15.布希三也证明了这一相关结果：
定理。
对于$q\在{\mathbb{C}}中$具有$|q|<1$，我们有$q\in\上划线{{mathbf{X}}}$当且仅当D_q中的$0\$.如果保持不变$D_q（美元）$已连接。
图3。顶部：集合${\mathbf{X}}$近的q美元=0.594+0.254i$左边，还有那套$D_q（美元）$在右边。底部：集合${\mathbf{X}}$近的q美元=0.375453+0.544825i$左边，还有那套$D_q美元$在右边。
