摘要
我们研究了$mathbb{R}^{n+1}$中光滑的、封闭的、严格凸的超曲面在其法向量场方向上的运动,其速度取决于曲率主半径的第k个初等对称多项式和支持函数。我们将在本文中考虑的流的同调自相似解,如果存在,是著名的$L_p$-Christoffel-Minkowski问题$\varphi h^{1-p}\sigma_k=c$的解。这里$\varphi$是在单位球面上定义的预先指定的正光滑函数,$c$是一个正常数。对于$1\leqk\leqn-1,p\geqk+1$,假设$\varphi^{frac{1}{p+k-1}}$的球面hessian是正定的,我们证明了归一化流的$C^{infty}$收敛到同调自相似解。我们论点的一个亮点是,我们不需要Guan-Ma的常秩定理/变形引理,因此我们对Guan-Xia中提出的一个问题给出了部分答案。此外,对于$k=n,p\geqn+1$,我们证明了归一化流的$C^{infty}$收敛到同调自相似解,并且没有对$\varphi.$施加任何进一步的条件在本文的最后一节,对于$1\leqk<n$,我们将给出一个例子,$\varphi^{frac{1}{p+k-1}}$的球面hessian在某一点是负定的,流的解失去了它的光滑性。