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Spalart-Allmaras湍流模型

此网页提供详细信息关于各种形式的Spalart-Allmaras湍流模型。本页上给出的模型的所有形式（除了SA-QCR2000,SA-QCR2013/SA-QCR2013-V、和SA-QCR2020)是线性涡流粘度模型。线性模型将Boussinesq假设用于本构关系：

$\tau{ij}=2\mu_t左（S_{ij{-\frac{1}{3}\frac}\partial-u_k}{\partialx_k}\delta{ijneneneep右）-\裂缝{2}{3}\rhok\delta{ij}$

对于这种单方程模型，最后一项通常被忽略因为k个不易获得（术语对于其他模型的非超音速流，有时也会被忽略）。这个SA-QCR2000下面的部分提供了有关非线性实现的详细信息。这个SA-QCR2013/SA-QCR2013-V和SA-QCR2020以下各节提供了有关非线性实现的详细信息这还包括-2/3ρk delij项的近似值.

除非另有说明，对于具有热传递的可压缩流，该模型的实现如页面所述湍流模型在可压缩RANS方程中的应用，使用理想气体假设且Pr=0.72，Pr_t吨=0.90，以及萨瑟兰动态粘度定律。

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概述

通用模型

列出的第一个版本（南非）被视为“标准”。它是最初出版的版本，没有在（SA-Ia）.版本（SA-neg）应产生基本相同的结果到（南非），通常建议使用因为其更稳健的数值行为。版本（SA-noft2）是的常见变体（南非），并应产生基本相同的结果大多数实际感兴趣的问题，因为（南非）这个湍流场变量足够大的流入值超过了f的影响_t2时间任期。然而，请注意，当使用Spalart-Allmaras作为分离-涡流仿真的基础时（《第一届AFOSR国际会议记录》，C.Liu和Z.Liu主编，格雷登出版社，俄亥俄州哥伦布，1997年，第137-147页）或DDES（Theor.Comput.Fluid Dyn.（2006）20:181-195，https://doi.org/10.1007/s00162-006-0015-0), f_t2时间术语存在于（南非）可能导致RANS区域向湍流过渡的不良延迟；版本（SA-noft2）可以在这种情况下提供帮助（见Vatsa等人，AIAA J 55（8），2017，第2842-2847页，https://doi.org/10.2514/1.J055685).行程版本（SA-Ia）很少使用。

对通用模型的修正

这些修正可以单独应用或与通用模型结合使用。

例如，可以实现各种组合，如：沙特阿拉伯-钢筋混凝土,SA-neg公司-钢筋混凝土,SA-软2-钢筋混凝土,SA编号2-R（右）,沙特阿拉伯-KL-LRe-QCR2013-V公司,SA-neg公司-RC-QCR2020号，甚至SA-neg公司-RC-LRe-comp-rough-TC-QCR2000-Helity公司. 为了清楚起见，此处使用的特定“通用模型”下划线，“更正”如下以红色表示。（注意，不能将R和RC或不同的QCR变体组合在同一模型实现中。）

SA的其他版本

以下是SA的一些并行版本出现在文学作品中；它们被视为不同的模型，与修正不同，它们不是与通用模型兼容。

“标准”Spalart-Allmaras单方程模型（南非）

以下方程式代表了Spalart-Allmaras最常用的实现模型（以非保守形式书写）。主要参考是：

Spalart，P.R.和Allmaras，S.R。，“单方程湍流模型空气动力流量” Recherche Aerospaciale公司1994年第1期，第5-21页。（经作者许可提供的论文）

本期刊参考文献是AIAA会议论文的官方出版物AIAA-92-0439（内华达州雷诺，1992年1月）。然而，存在一些差异，并且期刊参考优先.例如，AIAA-92-0439使用c_{t3（第三节）}=1.1和c_第4节=2.0; 这些常数现在不同了（尽管对于完全湍流的解决方案，这些常数集的差异应该可以忽略不计）。请注意，这篇期刊参考文献在常数的定义中有一个小的拼写错误（仅附录）c（c）_第1周（分母中的kappa项缺少平方）。打字错误有时会传播到其他报告/论文中，更正如下。最初的参考使用了大多数人不包括的出行术语，因为该模型最常用于全湍流应用。因此，在这个“标准”表示中，行程术语被省略了（参见版本（SA-Ia）（包括行程术语）。因此远场边界条件必须与上述参考中给出的条件不同。这个新的远场边界条件取自以下参考文献：

斯帕拉特，P.R。，“湍流处理的趋势”美国航空协会2000-23062000年6月，https://doi.org/10.2514/6.2000-2306.
Spalart，P.R.和Rumsey，C.L。，“空气动力学计算中湍流模型的有效流入条件”AIAA期刊，第45卷，第10期，2007年，第2544-2553页，https://doi.org/10.2514/1.29373.

在以下所有情况中，湍流场变量上使用“hat”，而不是中给出的“波浪号”参考文献，唯一的实际原因是“波浪号”在屏幕上显示得很差。

单方程模型由以下方程给出：

$\frac{\partial\tilde\nu}{\partitlet}+uj\frac{\ partial\tiled\nu}{\ partitlexj}=c_{b1}（1-f_{t2}）\波浪线S\波浪线-\左[c_{w1}fw-\frac{c{b1}}{\kappa^2}f{t2}\right]\左（\frac{\tilde\nu}{d}\right）^2+\压裂{1}{\西格玛}\左[\压裂{\部分}{\部分x_j}\左（\left（\nu+\tilde\nu\right）\frac{\partial\tilde\nu}{\paratilxj}\right+c{b2}\frac{\partial\tilde\nu}{\particx_i}\frac{\partitle\tilde\ nu}{\ partial_i}\右]$

湍流涡流粘度计算公式如下：

$\mu_t=\rho\tilde\nu f_{v1}$

哪里

$f_｛v1｝=\frac｛\chi^3｝｛\chi^3+c｛v1｝^3｝$

$\chi=压裂$

和 $\ρ$ 是密度， $\nu=\mu/\rho$ 是分子运动粘度，以及 $\亩$ 是分子动态粘度。以下等式给出了其他定义：

$\波浪线S=\Omega+\frac{\tilde\nu}{\kappa^2d^2}f_{v2}$

哪里 $\欧米茄=\sqrt{2W_{ij}W_{ij}}$ 是涡度的大小，d日是距离该字段指向最近的墙，并且

$f{v2}=1-\frac{chi}{1+\chif{v1}}$ $f_w=g\左[\frac{1+c{w3}^6}{g^6+c{w3}^6}\右]^{1/6}$

$g=r+c{w2}（r^6-r）$

$r={\rm-min}\left[\frac{\tilde\nu}{\tilde S\kappa^2 d^2}，10\right]$

$f{t2}=c{t3}{\rm-exp}\左（-c{t4}\chi^2\右）$

$W_{ij}=\压裂{1}{2}\左（\压裂{\部分u_i}{\部分x_j}-\压裂{\部分uj}{\部分xi}\右）$

边界条件为：

$\波浪线\nu_{wall}=0$ $\波浪线\nu{farfield}=3\nu{infty}：到：5\nu{infty}$

注意，SA湍流场变量上的这些边界条件对应于湍流运动粘度值：

$\nu{t，wall}=0$ $\nu{t，远场}=0.210438$

常数为：

$c{b1}=0.1355$ $\西格玛=2/3$ $c{b2}=0.622$ $\kappa=0.41$

$c{w2}=0.3$ $c{w3}=2$ $c{v1}=7.1$ $c{t3}=1.2$ $c{t4}=0.5$

$c{w1}=\压裂{c{b1}}{\kappa^2}+\压裂{1+c{b2}}{\sigma}$

注意，该模型的源项（生产和销毁）在自由流中不为零，即使当涡度为零时。然而，源项非常小：与1/d成比例².

需要注意的是，计算最小距离(d日)通过沿网格线搜索或查找最近的墙网格点（或单元中心）是不正确，和是不与计算到最近墙的实际最小距离相同（通常）。使用前一种方法将在结果中产生与网格相关的差异。以下草图演示最小距离的概念。计算不正确的最小距离函数在以下情况下尤其会产生不正确的结果网格线与车身表面不完全垂直，或者最近的物体不在当前网格区域。请注意，当最近的壁点是尖锐的凸角或边缘（如机翼或机翼后缘）时正确的最小距离是到角或边的距离，这不是墙法线。
演示最小距离函数概念的草图1 草图2演示了最小距离函数的概念

注释1：为了避免可能的数值问题，术语 $\帽子S$ 当提供给计算第页决不能让其达到零或为负。

（a）一种常见的方法将该项限制为大于零。
（b） Spalart（私人通信）建议限制 $\帽子S$ 不小于0.3* $\欧米茄$ .
（c）另一种方法（避免对非零进行剪裁 $\欧米茄$ )如所述Allmaras，S.R.、Johnson，F.T.和Spalart，P.R.，“Spalart-Allmaras湍流模型的实施”，ICCFD7-1902，第七届国际计算流体动力学会议，夏威夷大岛，2012年7月9日至13日(https://www.iccfd.org/iccfd7/assets/pdf/papers/iccfd7-1902_paper.pdf).方程式对于 $\帽子S$ （如上所示）被替换。首先，定义：

$\上划线S=\frac｛\hat\nu｝｛\kappa^2 d^2｝f_｛v2｝$

然后：

$\帽子S=\欧米茄+\覆盖线S$ 何时 $\上划线S\ge-c2\Omega$

$\帽子S=\Omega+\frac{\Omega（c2^2\Omega+c3\上划线S）}{（c_3-2 c_2）\Omega-\上划线S}$ 何时 $\上划线S<-c_2\Omega$

哪里 $c2=0.7$ 和 $c3=0.9$ .请注意 $\帽子S$ 在某些情况下可能为零当涡量大小为零时。因此，需要注意计算属于第页，为了避免被零除：每当 $\帽子S$ =0，设置第页= 10.
应始终报告使用的特定限制方法。

附注2：Allmaras，S.R.，“二维可压缩Navier-Stokes方程的多重网格”AIAA论文99-33361999年6月-7月，https://doi.org/10.2514/6.1999-3336讨论对模型的两个可选修改对非负（即，有意义的）稳态湍流解决方案，但其设计有助于在以下情况下的鲁棒性栅格拉伸过度、栅格平滑度差或栅格分辨率不足。这些修改旨在帮助求解原始方程，以及不成为新的车型变体。请参阅（SA-neg）描述下面的更新修改。文献中也存在类似的其他修改；例如，参见：Crivellini等人（《计算物理杂志》241:388-4152013）。

附注3：Spalart和Allmaras建议使用以下“湍流指数”我_t吨 在墙上检测过渡：

$i_t=\frac{1}{\kappau{\tau}}\frac{\partial\hat\nu}{\paratiln}$

哪里n个是墙法线方向，以及可以近似 $u｛\tau｝$ 具有： $u_｛\tau｝\近似值\sqrt｛\nu\Omega｝$ 。索引将为层流区域接近零，湍流区域接近1。

附注4：已注意到SA的一些实现错误地引入了衍生物内部的密度SA方程的Catris-Aupoix公司提案，该提案具有有效的依据）。这将改变SA的预测超音速流动。用户需要了解他们使用的解算器中的方程细节。

阴性Spalart-Allmaras单方程模型（SA-neg）

对Spalart-Allmaras模型的修改主要是为了解决以下问题离散设置中的欠分辨率网格和非物理瞬态。它被表述为“被动于原作”（南非）在分辨率良好的流场中建立模型在大多数情况下产生的差异可以忽略不计。“参考是：

Allmaras，S.R.、Johnson，F.T.和Spalart，P.R.，“Spalart-Allmaras湍流模型的实施”，ICCFD7-1902，第七届国际计算流体动力学会议，夏威夷大岛，2012年7月9日至13日(https://www.iccfd.org/iccfd7/assets/pdf/papers/iccfd7-1902_paper.pdf).

模型与“标准”版本相同（南非）当湍流变量 $\波浪线\nu$ 大于或等于零；这包括关于以下问题的注释1 $\帽子S$ 和第页（注1（c）的使用被视为本模型的标准）。何时 $\波浪线\nu$ 为负值改为求解以下方程：

$\frac{\partial\tilde\nu}{\partitlet}+uj\frac{\ partial\tiled\nu}{\ partitlexj}=c_{b1}（1-c_{t3}）\Omega\tilde\nu+c｛w1｝\left（\frac｛\tilde\nu｝｛d｝\right）^2+｛\frac｛1｝｛\sigma｝\left｛\frac｛\partial｝｛\partial x_j｝\left（\left（\nu+\tilde\nu f_n\right）\frac｛\partial\tilde\nu｝｛\partial x_j｝\right）+c{b2}\frac{\partial\tilde\nu}{\particx_i}\frac{\partitle\tilde\ nu}{\ partial_i}\右]$

具有

$f_n=\frac{c{n1}+\chi^3}{c{n1}-\chi^3}$

和 $c{n1}=16$ .

湍流涡流粘度( $\多个（_t）$ )在动量和能量方程中，当 $\波浪线\nu$ 为负值。

注意破坏术语的符号 $c_{w1}（\tiled\nu/d）^2$ 为“+”；这与正模型相反。所有其他常量和变量与为“标准”版本定义的相同（南非）.

上述文件还描述了有关SA模型的其他重要信息。例如，作者重申，原始SA模型中没有出现密度，适用于不可压缩和可压缩流，应将其视为可压缩的标准形式。然而，它们表明可以通过组合SA，质量守恒方程，屈服（标准沙特阿拉伯):

$\frac{\部分（\rho\tilde\nu）}{\部分t}+\frac{\partial（\rho uj\tilde_nu）}}{\局部xj}=\rho c_{b1}（1-f_{t2}）\波浪线S\波浪线-\rho\左[c_{w1}fw-\frac{c{b1}}{\kappa^2}f{t2}\right]\左（\frac{\tilde\nu}{d}\right）^2+\压裂{1}{\西格玛}\左[\压裂{\部分}{\部分x_j}\左（\rho\left（\nu+\tilde\nu\right）\frac{\partial\tilde\nu}{\paratilx_j}\right+\rho c_{b2}\frac{\partial\tilde\nu}{\partic x_i}\frac{\partitle\tilde\ nu}{\ partial x_i{\右]-\frac{1}{\sigma}\left（\nu+\tilde\nu\right）\frac}\partial\rho}{\partial xi}\压裂{\partial\tilde\nu}{\partic xi}$

此外，作者表示，不应该对模型产生的涡流粘度。在附着的边界层中 $\气$ 横剖面随流向位置的增加而增加，如 $\chi_｛max｝\约0.00059 Re_x^｛0.83｝$ .尾流和喷流的渐近值与流向距离无关；这些特殊的关系可以在上述文件。

斯帕拉尔-奥尔马拉斯无f的单方程模型_t2时间期限（SA-noft2）

Spalart-Allmaras的许多实现都忽略了 $f{t2}$ 术语，它是一个数字固定原模型，使零成为小流域方程的稳定解吸引力（因此稍微延迟过渡，以便适当激活行程项）。有人认为，如果不使用行程，那么 $f{t2}$ 不需要。方程式与“标准”版本相同（南非）,除了这个术语 $f{t2}$ 根本不出现（即c_{t3（第三节）}=0而不是1.2）。使用此表格的两个参考示例是：

Eca，L.、Hoekstra，M.、Hay，A.和Pelletier，D.，“二维制造解决方案稳定壁面不可压缩湍流”国际计算流体动力学杂志，第21卷，第3-4期，2007年，第175-188页，https://doi.org/101080/1061856070150553436.
Aupoix，B.和Spalart，P.R.，“Spalart-Allmaras湍流模型的扩展对于壁面粗糙度，”国际热流杂志，第24卷，第4期，2003年，第454-462页，https://doi.org/10.1016/S0142-727X(03)00043-2.

基于研究（参见例如Rumsey，C.L.，“广泛使用的湍流的明显过渡行为模型，“国际热流杂志2007年第28卷，第1460-1471页，https://doi.org/10.1016/j.ijheatfluidflow.2007.04.003)，使用与“标准”版本相反（南非）可能没有什么区别，在至少在相当高的雷诺数下，前提是“标准”版本使用适当的边界条件 $\波浪线\nu{farfield}=3\nu{infty}$ （或更大）。

请注意（SA-noft2）是与不兼容（SA-neg）（见ICCFD7-1902，https://www.iccfd.org/iccfd7/assets/pdf/papers/iccfd7-1902_paper.pdf),所以（SA-neg-noft2）如果没有额外的修改，目前是不可行的。

斯帕拉尔-奥尔马拉斯带跳闸项的单方程模型（SA-Ia）

包含行程项的Spalart-Allmaras模型的形式如下所示参考：

Spalart，P.R.和Allmaras，S.R。，“单方程湍流模型空气动力流量” Recherche Aerospaciale公司1994年第1期，第5-21页。（经作者许可提供的论文）

方程式与“标准”版本相同（南非）, 除了有额外的旅行条款在方程式的右侧：

哪里：

$f_{t1}=c_{t1{g_t{\rm-exp}\left[-c_{t2}\frac{\omega_t^2}{\Delta U^2}（d^2+g_t^2d_t^2）\右]$

$g_t={\rm min}\left[0.1，\frac{\Delta U}{\omega_t\Delta x_t}\right]$

和 $\U增量$ 有区别吗在场点处的速度和跳闸时（在墙上）的速度之间， $\增量x_t$ 是沿在旅途中， $\ω_t$ 是旅行中的壁涡度， $dt（数据传输）$ 是从场点到行程的距离， $c{t1}=1$ 、和 $c{t2}=2$ .

远场边界条件为：

$0\leq\tilde\nu_{farfield}<\frac{1}{10}\nu_{infty}$

注意，SA湍流场变量的边界条件对应于湍流运动粘度值：

$0\leq\nu{t，远场}<0.27940\乘以10^{-6}\nu{infty}$

斯帕拉尔-奥尔马拉斯具有旋转/曲率校正的单方程模型（SA-RC）

这种形式的Spalart-Allmaras模型试图解释旋转和曲率效应。参考是：

Shur，M.L.、Strelets，M.K.、Travin，A.K.、Spalart，P.R.、。，“旋转和弯曲通道中的湍流建模：评估Spalart-Shur修正”AIAA期刊第38卷，第5期，2000年，第784-792页，https://doi.org/10.2514/2.1058.

早期参考（Spalart&Shur，航空航天科技5:297-302，1997）印刷错误，但包含对RC术语的有用物理讨论。模型与“标准”版本相同（南非），除了那个这个 $c_{b1}\波浪线S\波浪线$ 学期乘以旋转功能 $f{r1}$ :

$f{r1}=（1+c{r1{）\压裂{2r^*}{1+r^*{左[1-c{r3}{\rm tan}^{-1}（c{r2}\tilde r）\right]-c{r1}$

具体来说，SA方程RHS上的第一项变为： $c{b1}（f_{r1}-f_{t2}）\hat S\hat nu$ .各种术语包括：

$r^*=S/\欧米茄$

$\波浪形符r=\frac｛2\omega_｛ik｝S_｛jk｝｝｛D^4｝\left（\frac｛DS_｛ij｝｝｛Dt｝+（\varepsilon）_｛imn｝S_{jn}+\瓦雷普西隆_{jmn}S_{英寸}）\Omega'_m\right）$

$S_{ij}=\压裂{1}{2}\左（\压裂{\部分u_i}{\部分x_j}+\压裂{\部分uj}{\部分xi}\右）$ $\ω{ij}=\frac{1}{2}\left[\left（\frac}\partial-ui}{\partialxj}-\压裂{\部分u_j}{\部分x_i}\right）+2\varepsilon_{mji}\Omega'_m\right]$

$S^2=2秒_{ij}S_{ij}$ $\ω^2=2\ω{ij}$

$D^2=\压裂{1}{2}\左（S^2+\omega^2\右）$

$c{r1}=1.0$ $c{r2}=12$ $c{r3}=1.0$

术语 $DS_{ij}/日期$ 代表应变率张量的拉格朗日导数分量。这个旋转速率 $\欧米茄'$ 仅当参考框架本身是旋转的（注意，所有导数都应该根据参考框架）。请注意，拉格朗日（或材料）导数为：

$\压裂{DS_{ij}}{Dt}\equiv\frac{\部分S_{ij{}{\部分t}+u_k\压裂{\部分S_{ij}}{\部分x_k}$

RC实现忽略时间项并不罕见，但这只适用于流场时间变化率为零的稳态问题。没有时间项，该模型在含时流场中是不正确的。这与直升机旋翼模拟。

请注意，如果此模型应用于（SA-noft2）而不是版本，然后它的命名约定变成（SA-noft2-RC）.还应注意，SA-RC生产术语可以是负数。

斯帕拉尔-奥尔马拉斯带旋转校正的一方程模型（SA-R）

SA模型的这种修正降低了涡度区域的涡粘性超过应变率，例如在不应产生纯旋转的涡核区域湍流，根据一些理论，实际上应该抑制它。在涡度较薄的剪切层中，修正应是被动的和应变非常接近。这种模式可以被视为能力较低但简单得多替代SA-RC。此修改的两个参考是：

Dacles-Mariani，J.、Zilliac，G.G.、Chow，J.S.和Bradshaw，P.，“数值/实验近场翼尖涡研究”AIAA期刊，第33卷，第9期，1995年，第1561-1568页，https://doi.org/10.2514/3.12826.
Dacles-Mariani，J.、Kwak，D.和Zilliac，G.G.，“关于数值误差和湍流叶尖涡流预测建模”国际流体数值方法杂志，第30卷，1999年，第65-82页，https://doi.org/10.1002/（SICI）1097-0363（19990515）30:1<65:：AID-FLD839>3.0.CO；2年.

此模型与“标准”版本相同（南非）,除了（SA-R）生产期限变为：

$c_{b1}（1-f_{t2}）[\hat S+c_{rot}min（0，S-\Omega）]\hat nu$

哪里 $S=\sqrt｛2 S_｛ij｝S_｛ij｝｝$ 、和

$S_{ij}=\压裂{1}{2}\左（\压裂{\部分u_i}{\部分x_j}+\压裂{\部分uj}{\部分xi}\右）$

常数 $C_{rot}$ 代表了对涡旋主导流的生产项进行经验调整的尝试。的价值 $C_{rot}$ 在上述参考文献中建议=2。请注意，当 $C_{rot}$ 是大于统一，生产术语可以是负数。当这种情况发生时，模型正在抑制涡流粘度，这在固体中被认为是正确的旋转。

然而，负分支不接受负生产项( $\帽子＜0$ )的（SA阴性）模型。如果编码（SA-neg-R），一个可能的C0连续生产项为负值（SA-neg-R）分支如下：

$c_{b1}（1-c_{t3}）abs[\Omega+c_{rot}min（0，S-\Omega）]\hat{nu}$

请注意，如果此模型应用于（SA-noft2）而不是版本，然后它的命名约定变成（SA-noft2-R）.还要注意，如果 $C_{rot}$ 使用，应注明也。例如，当使用值1而不是2时（SA-noft2-R）将改为使用命名约定（SA-noft2-R（C_腐烂=1))（例如，请参见，AIAA论文2022-3743，2022年6月-7月，https://doi.org/10.2514/6.2022-3743.)

请注意（SA-noft2）是与不兼容（SA-neg）（见ICCFD7-1902，https://www.iccfd.org/iccfd7/assets/pdf/papers/iccfd7-1902_paper.pdf),所以（SA-neg-noft2-R）如果没有额外的修改，目前是不可行的。

斯帕拉尔-奥尔马拉斯带Kato-Launder修正的单方程模型（SA-KL）

SA模型的这种修正降低了涡度区域的涡粘性超过应变率，例如在不应产生纯旋转的涡核区域湍流。在有涡度的薄剪切层中，修正应该是被动的和应变非常接近。与SA-R一样，该模型可以被视为能力较弱但简单得多替代SA-RC。此修改的两个参考是：

Kato，M.和Launder，B.E.，“静止和振动方形圆柱体周围湍流的建模”第九届湍流剪切流研讨会，日本京都，1993年8月，论文10-4，https://www.researchgate.net/publication/247931894_The_Modelling_of_Turbulent_Flow_Around_Stationary_and_Vibrating_Square_Collinders.
Nichols，R.H.，“CREATE中湍流模型概述^TM（TM）-AV Kestrel Flow Solvers，“AIAA论文2019-13422019年1月，https://doi.org/10.2514/6.2019-1342.

此模型与“标准”版本相同（南非）,除了涡度的大小 $\欧米茄$ （仅在生产术语中）被替换为 $\方形{S\Omega}$

哪里 $S=\sqrt{2S_{ij}$ 、和

$S_{ij}=\压裂{1}{2}\左（\压裂{\部分u_i}{\部分x_j}+\压裂{\部分uj}{\部分xi}\右）$

换句话说 $\欧米茄$ 在里面 $\帽子S$ 仅在以下位置被替换 $\帽子S$ 出现在生产条款中，以及不哪里 $\帽子S$ 出现在第页任期。

斯帕拉尔-奥尔马拉斯低雷诺数版本（SA-LRe）

基于边界层厚度，该修正改善了低雷诺数下的SA行为。参考是：

Spalart，P.R.和Garbaruk，A.V。，“修正Spalart-Allmaras湍流模型，提供更准确的表面摩擦力，”AIAA期刊第58卷第5期，2020年5月，第1903-1905页，https://doi.org/10.2514/1.J059489.

该模型与原始模型相同，只是常量c（c）_第2周已更改为以下功能：

$c｛w2，LRe｝=c｛w4｝+\frac｛c｛w5｝｝｛（\chi/40）+1）^2｝$

具有 $c｛w4｝=0.21$ 和 $c{w5}=1.5$ .

Spalart-Allmaras混合层压缩性修正单方程模型（SA压缩）

该修正改善了可压缩混合中的SA行为层。参考是：

斯帕拉特，P.R。，“湍流处理的趋势”美国航空协会2000-23062000年6月，https://doi.org/10.2514/6.2000-2306.

此版本与“标准”版本相同（南非）,但以下情况除外等式右侧包含附加项。

$-C_5\压裂{\hat\nu^2}{a^2}\压裂{\部分u_i}{\部分x_j}\压裂{\部分ui}{\部分xj}$

哪里一是本地声速 $C_5=3.5$ .

请注意，此修正基于中的功Shur，M.、Strelets，M.，Zaikov，L.、Gulyaev，A.、Kozlov，V.和Secundov，A。，“单方程和双方程湍流模型的比较数值测试分离和重新连接，”AIAA 95-08631995年1月，https://doi.org/10.2514/6.1995-863.然而，修正的形式有所不同。

如果与一起使用SA-软2相反（例如，参见Forsythe，J.R.，Hoffmann，K.A.，Squires，K.D.，AIAA 2002-0586，2002,https://doi.org/10.2514/6.2002-586), 模型名称将变为SA-noft2-comp公司.

Spalart-Allmaras中的壁面粗糙度修正单方程模型（SA粗糙）

这种校正使SA能够预测粗糙的墙壁。参考文献如下：

Aupoix，B.和Spalart，P.R.，“Spalart-Allmaras湍流模型的扩展对于壁面粗糙度，”国际热流杂志2003年第24卷，第454-462页，https://doi.org/10.1016/S0142-727X(03)00043-2.
斯帕拉特，P.R。，“湍流处理的趋势”美国航空协会2000-23062000年6月，https://doi.org/10.2514/6.2000-2306.

请注意，等式（6）中的AIAA 2000-2306参考中存在打印错误。的正确表达式 $f{v2}$ 如下所示。

第一篇参考文献描述了两种不同的粗糙壁方法，一种是波音公司的，另一种是ONERA的。这里，只有描述了波音公司的方法（出现在两份参考文献中）。ONERA的描述方法，也包括摩擦速度的使用，可以是在第一篇论文中发现。

粗糙度版本与“标准”版本相同（南非），但以下情况除外。为了计算粗糙度，距离函数表示与每个场的距离指向最近的墙，放大为

$d{新}=d+0.03ks$

哪里d日是到最近的（原始）距离墙壁和 $k秒$ 是传统的Nikuradse沙子粗糙度刻度高度。假设 $k秒$ 身上都是一样的，新的距离定义用于替换d日在中原始模型。定义 $\气$ 修改为：

$\chi=\frac｛hat\nu｝｛\nu｝+c｛R1｝\frac｛k_s｝｛d_｛new｝｝$

具有 $c｛R1｝=0.5$ .新定义 $\气$ 不应影响 $\帽子S$ ，所以 $f{v2}$ 需要重写如下：

$f{v2}=1-\frac{hat\nu}{nu+hat\nuf{v1}}$

最后，在墙上（其中d日=0），边界条件 $\帽子\nu_{wall}=0$ 替换为：

$\左（frac{\partial\hat\nu}{\particln}\right）{wall}=\frac{\hat_nu{wall{}}{0.03k_s}$

哪里n个沿墙法线。

注意，如果将此粗糙度模型应用于（SA-noft2）而不是版本，然后它的命名约定变成（SA-noft2-粗略）.

横向曲率自由剪切Spalart-Allmaras一方程模型的修正（SA-TC）

该修正改善了SA模型在自由剪切轴对称流中的行为（例如轴对称射流）。参考是：

Spalart，P.R.和Garbaruk，A.V.，“Spalart-Allmaras湍流模型的新‘Lambda2’项，活跃于轴对称流，”流量、湍流和燃烧第107卷，2021年，第245-256页；https://doi.org/10.1007/s10494-020-00223-0.

修正将以下项添加到SA方程的右侧：

$最大值（1-r，0）^3c{b3}\lambda_2\hat\nu/\sigma$

哪里c（c）_b3号机组=6第页和 $\西格玛=2/3$ 与原始模型中的相同。

这个 $\λ_2$ 是中间的的特征值黑森算子局部SA湍流变量的 $\帽子$ .因此，必须求解以下三次方程才能找到三个特征值（保留符号）：

$-\lambda^3+（\hat\nu_{xx}+\had\nu_{yy}+\hat\nu_{zz}）\lambda ^2+（\hat\nu_{xy}^2+-\hat\nu_{xx}\had\nu_{yy}-\had_nu_{xxx}\hat\nu_{zz}-\hat\nu_{yy}\hat_nu_{zz}）\lambda+（\hat\nu_{xx}\hat\nu_{yy}\had\nu_{zz}+2\hat\nu_{xy}-\帽子（hat）=0$

然后只保留中间的一个，称之为 $\λ_2$ . 求中间特征值的一种方法 $\λ_2$ 通过：总和（L₁+L（左）₂+L（左）_三)-最小值（L₁，L₂，L_三) -最大值（L₁，L₂，L_三)，其中L_我表示特征值。的单位 $\λ_2$ 与Hessian矩阵的单位相同。关于上述符号，请注意，例如，

$\hat\nu_{xy}=\frac{\partial^2\hat\nu}{\paratilx\partial y}$

求解三次方程的方法可以在以下位置找到：三次方程的Wikibooks解.另请参见：维基百科特征值算法.

斯帕拉尔-奥尔马拉斯具有二次本构关系的单方程模型，2000年版（SA-QCR2000）

Spalart-Allmaras的非线性模型版本描述如下：

Spalart，P.R.，“湍流建模和模拟策略”国际热流杂志2000年第21卷，第252-263页，https://doi.org/10.1016/S0142-727X(00)00007-2.

该模型的计算方法与沙特阿拉伯，但不是传统的线性Boussinesq关系，湍流应力采用以下形式：

$\tau{ij，QCR}=\tau{ij}-C_{cr1}\左[O_{ik}\tau{jk}+O_{jkneneneep \tau{ik}\右]$

哪里 $\τ{ij}$ 湍流应力是根据Boussinesq关系，以及 $O_{ik}$ 是反对称归一化旋转张量，定义为：

$O_{ik}=2W{ik}/\sqrt{部分u_m}{部分x_n}$

$W{ik}=\frac{1}{2}\左（\frac{\partial u_i}{\partic x_k}-\frac{\ partial u _k}{\protial x_i}\右）$

注意，使用了爱因斯坦指数表示法，因此 $O_{ik}$ 展开为：

$\sqrt{\frac{\partial-u_m}{\paratil-x_n}\frac}\partial u_m{\partic-x_n}}=\sqrt{u_x^2+u_y^2+u _z^2+v _x^2+v _y^2+v_z^2+w_x^ 2+w _y^2+w_z^2]$

实际上，必须避免在 $O_{ik}$ 零梯度区域中的项，其中QCR应该没有影响。模型中的常数为 $C_{cr1}=0.3$ .请注意，如果将QCR2000修正添加到不同的基础Spalart-Allmaras模型中，则模型的命名应该反映出来。例如，如果将QCR2000添加到（SA-noft2），新模型应该是称为（SA-noft2-QCR2000）。一种非常常见的组合是：（SA-RC-QCR2000）

（还请注意，QCR2000方法可用于任何通常使用Boussinesq的湍流模型关系。何时k个可用，无论 $-2 \rho k \delta_{ij}/3$ 学期包含在的表达式中 $\τ{ij}$ 或者是否将其添加到 $\tau_｛ij，QCR｝$ 之后。加法与del_ij成正比，然后O_ij的反对称性使这两项抵消。）

斯帕拉尔-奥尔马拉斯具有二次本构关系的单方程模型，2013年版（SA-QCR2013）和SA-QCR2013-V）

Spalart-Allmaras的QCR2013非线性模型版本描述如下：

Mani，M.、Babcock，D.A.、Winkler，C.M.和Spalart，P.R.，“超音速湍流的预测方形管道中的流量”AIAA论文2013-0860，2013年1月，https://doi.org/10.2514/6.2013-860.

此版本的QCR类似于（SA-QCR2000）唯一的区别是修改后的紊流应力有一个附加项，它大约解释了 $-2 \rho k \delta_{ij}/3$ Boussinesq关系中的术语，尽管仅在具有非零应变的区域中。

$\tau{ij，QCR}=\tau{ij}-C_{cr1}\左[O_{ik}\tau{jk}+O_{jkneneneep \tau{ik}\右]-C_{cr2}\mu_t\sqrt{2S^*_{mn}硫^*_{mn}}\delta{ij}$

哪里

$S^*{ij}=S_{ij{-\frac{1}{3}\frac}\partial u_k}{\partialx_k}\delta{ijneneneep$

和 $S_{ij}=（\部分u_i/\部分x_j+\部分u_ j/\部分x _i）/2$ .新的常数为 $C_{cr2}=2.5$ .请注意，如果将QCR2013修正添加到不同的基础Spalart-Allmaras模型中，则模型的命名应该反映它。例如，如果将QCR2013添加到（SA-noft2），新模型应该是称为（SA-noft2-QCR2013）.

一些应用程序已注意到该术语的数值问题 $C_{cr2}\mu_t\sqrt{2S^*_{mn}硫^*_{mn}}\delta{ij}$ ,尤其是mu_t不小的尾流区域（见AIAA-2019-0079）。这个问题的一个建议解决方案是在这个术语中使用涡度而不是应变（如Rumsey，C.L.，Lee，H.C.和Pulliam，T.H.，“美国国家航空航天局雷诺平均纳维-斯托克斯计算使用FUN3D和OVERFLOW的结构流动模型，”AIAA论文2020-13042020年1月）。此表格被称为（SA-QCR2013-V），如下所示：

$\tau{ij，QCR}=\tau{ij}-C_{cr1}\左[O_{ik}\tau{jk}+O_{jkneneneep \tau{ik}\右]-C_{cr2}\mu_t\sqrt{2 W_{mn}西_{mn}}\delta{ij}$

（请注意，QCR2013和QCR2013-V方法可用于任何湍流通常使用Boussinesq的车型关系。但是，如果模型提供k个，然后是 $C_{cr2}$ 术语与 $-2 \rho k \delta_{ij}/3$ Boussinesq关系中的术语，应使用后一个术语。）

斯帕拉尔-奥尔马拉斯具有二次本构关系的单方程模型，2020年版（SA-QCR2020）

Spalart-Allmaras的QCR2020非线性模型版本描述如下：

Rumsey，C.L.、Carlson，J.-R.、Pulliam，T.H.和Spalart，P.R。，“基于NASA连接流数据对二次本构关系的改进”AIAA期刊，第58卷，第10期，2020年，第4374-4384页，https://doi.org/10.2514/1.J059683.

此版本的QCR使用：

$\tau_{ij，QCR2020}=\tau_{ij}-C_{cr1}''\左[O_{ik}\tau_{jk}+O_{jk{tau_{ik}\right]-C_{cr2}“\mu_t\sqrt{2 W_{mn}西_{mn}}\delta{ij}$

具有

$C_{cr1}''=C_{cr1}'（1+C_{fw1}f_w）$

$C_{cr2}''=C_{cr2}'（1+C_{fw2}f_w）$

和 $C_{cr1}'=0.20$ , $C_{cr2}'=1/（3a_1）=2.15054$ , $C_{fw1}=2.0$ , $C_{fw2}=0.3$ 、和 $a_1=0.155$ .

这个如果_w个函数最初来自Spalart和Allmaras（Recherche Aerospatiale，第1卷，1994年，第5-21页），后来在ICCFD7中修改，论文1902，2012年7月从较小的负偏移中恢复：

$f_w=g\左[\frac{1+c{w3}^6}{g^6+c{w3}^6}\右]^{1/6}$

哪里

$g=r+c{w2}（r^6-r）$

$r=min\left[\frac{\hat\nu}{\hatS\kappa^2d^2}，10\right]$

$\帽子S=\Omega_S+\bar S，\quad代表\quad\bar S\geq-C_2\Omega$

$\帽子S=\Omega_S+\frac{\Omega _S（C_2^2\Omega_S+C_3\bar S）}{（C_3-2C_2）\Omegan_S-\bar S}，\quad代表\quad\bar S<-C_2\Omega_S$

$\条形S=\frac{\hat\nu}{\kappa^2d^2}f_{v2}$

$f{v2}=1-\frac{chi}{1+\chif{v1}}$

$f{v1}=frac{chi^3}{chi^3+c{v1{3}$

$\chi=\hat\nu/\nu$

具有 $c{w2}=0.3$ , $c{w3}=2$ , $\kappa=0.41$ , $c{v1}=7.1$ , $C_2=0.7$ 、和 $C_3=0.9$ .

对于QCR2020，修改后的函数为建议替换通常用于计算如果_w个:

$\欧米茄=[0.5（2 W_{ij}西_{ij}+2秒_{ij}S_{ij}）]^{1/2}$

通过此更改，聚合结果基本上不受影响，但“更平滑”如果_w个结果，这可能有助于数值收敛行为。

与QCR2013和QCR2013-V一样，QCR2020方法可用于使用Boussinesq关系。但是，如果模型提供k个它包含在Boussinesq关系通过 $-2 \rho k \delta_{ij}/3$ ,然后是最后一个学期 $\τ{ij，QCR2020}$ 上述等式是多余的，不应包括在内。如果在QCR2020中使用非基于SA的模型，如果_w个不可用，因为 $\波浪号\nu$ （英寸第页)不是。一个简单的近似解决方案是使用 $\数字（_t）$ 而不是 $\波浪线\nu$ 计算第页如果 $\nu_t/\nu>10$ 、和设置第页=1，如果 $\数字10$ （然后使用第页计算克和如果_w个).

到最近墙壁的最小距离(d日)QCR2020需要。

斯帕拉尔-奥尔马拉斯具有速度螺旋性的单方程模型（SA-noft2-螺旋度）

警告：SA-noft2-Helicity模型中的附加项为不是伽利略不变量，因为它涉及速度矢量。因此，结果将取决于您的参考框架。这样一个在传统的湍流建模中避免了依赖性，当然在最初的SA模型。这种伽利略不变性的缺乏使得这个版本的模型不那么通用。

这种形式的Spalart-Allmaras模型试图利用速度螺旋度。该修改可以显著提高复杂度的预测精度三维涡流（例如压缩机中的角分离）。参考是：

Liu，Y.W.，Lu，L.P.，Fang，L.，Gao，F.，“Spalart-Allmaras模型的修正使用速度螺旋度考虑湍流能量后向散射”物理字母A, 2011年第375（24）卷，第2377-2381页，https://doi.org/10.1016/j.physleta.2011.05.023.

此版本由作者在（SA-noft2）（这就是上面的命名约定）。此模型中的新功能是那个吗涡度的大小 $\欧米茄$ （位于 $\帽子S$ 生产术语）替换为：

$（1.0+C_{h1}小时^{C_{h2}}）\欧米茄$

修改后的最终定义 $\帽子S$ 是：

$\帽子S=\左（1.0+C_{h1}小时^{C_{h2}}\右）\Omega+\frac{\hat\nu}{\kappa^2d^2}f_{nu2}$

哪里

$h=frac{vert\omega_{i} u个_{i} \垂直}{\欧米茄U}$ $\ω{i}=\epsilon{ijk}\frac{\partialu{j}}{\paratilx{k}}$ $U=\sqrt{U_{i} u个_{i} }$

相对螺旋度密度小时用于表示湍流能量后向散射。注：作者增加0.00001 m/s²公式的分母小时避免被零除（私人通信）。修改中的两个常数为：

$C_{h1}=0.71$ $C_{h2}=0.6$

在许多经典流中，修改将自动关闭已针对验证（SA-noft2）模型，因为小时为零。尽管“Helicity”修复程序是在（SA-noft2），也可能是在通用模型之上实现（南非）或（SA-neg）例如。

Spalart-Allmaras的一种可压缩形式一个方程模型（SA-noft2-心房）

这种特殊的可压缩形式是由Catris和Aupoix开发的，并在以下参考文献中给出：

Catris，S.和Aupoix，B。，“湍流模型的密度修正”航空航天科技2000年第4卷，第1-11页，https://doi.org/10.1016/S1270-9638(00)00112-7.

$\压裂{\partial\rho\tilde\nu}{\partitlet}+uj\frac{\partical\rho\ tilde\nu}{\protialxj}=c_{b1}\hat S\rho\tilde\nu-c（c）_{w1}fw\rho\left（\frac{\tilde\nu}{d}\right）^2+\压裂{1}{\西格玛}\压裂{\部分}{\部分x_j}\左（\mu\frac{\partial\tilde\nu}{\paratilxj}\right）+\压裂{1}{\西格玛}\压裂{\部分}{\部分x_j}\左（\sqrt{\rho}\tilde\nu\frac{\partial\sqrt}\rho{\tilde\nu}{\paratilxj}\right）+\frac{c{b2}}{\sigma}\frac}\partial\sqrt{\rho}\tilde\nu}{\partial x_i}\压裂{\partial\sqrt{\rho}\tilde\nu}{\paratilxi}$

没有出行条件，本模型不包括出行条件 $f{t2}$ 从原始模型开始。因为分析仅限于对数区域，而对于密度梯度效应，分析仅限于零压力梯度流动，Catris和Aupoix没有提到 $f{v1}$ 和 $f{v2}$ 出现在原始模型中的术语（在生产术语，定义为第页以及湍流涡流粘度的定义）。然而，在模型的数值实现中，这些应该像往常一样进行编码（参考：与作者）。所有其他函数和常量应与“标准”版本相同（南非）.

根据Waligura等人（AIAA-2022-0587，https://doi.org/10.2514/6.2022-0587), 此模型可以用不同的方式编写，从而更容易实现：

$\压裂{\partial\rho\hat{\nu}}{\partitlet}+\frac{\particle\rhouj\hat}{\pretialxj}-\β{\rho\hat{\nu}\frac{\partial u_j}{\paratil x_j}}=\rhoc_{b1}（1-f{t2}）\rho\Big（c｛w1｝f_w-\frac｛c｛b1｝｝｛κ^2｝f_t2｝\Big）\Big[\frac｛hat｛\nu｝｝｛d｝\Big]^2+｛\frac｛1｝｛\sigma｝\ Big｛\frac｛\partial｝｛\partial x_j｝\ Big（\rho（\nu+\hat｛\nu｝）\frac｛\partial \hat｛\nu｝｝｛\partial x_j｝+｛\frac｛\hat｛\nu｝^2｝｛2｝\frac｛\partial\rho｝｛\partialx_j｝｝\Big）+\rho c_{b2}\frac{\partial\hat{\nu}}{\partic x_i}\frac{\partitial\hat}}{\ partial_i}\ Big]+\压裂{{c_{b2}}}{\sigma}\Big（\hat{\nu}\frac{\partial\rho}{\parialx_i}\frac{\parlial\hat}}{\ partialx_i{+{\frac{1}{4}\ frac{\hat{\nu}^2}{\rho}\frac}\partial\rho{\partial x_i}\frac{\paratil\rho}{\parcial x_i}}\Big）$

在这个方程式中 $f{t2}$ 包括一个术语，以及一个附加的 $\β$ 用于区分原始非保守形式和（不同的）保守形式。何时 $\β=1$ 和 $f{t2}$ 设置为零，原始SA-noft2-Catris公司已恢复。设置 $\β=1$ 包括 $f{t2}$ 会屈服的SA-心房.设置 $\β=0$ 并忽略 $f{t2}$ 产量SA-noft2-CatrisCons公司.和设置 $\β=0$ 包括 $f{t2}$ 产量SA-CatricCons公司.

请注意，AIAA-2022-0587中有一个错误：c（c）_b2型这个词应该加上（如上所示），而不是减去。

已经写了许多其他的论文来讨论或探索SA-noft2-Catris公司.例如：AIAA-2016-0586，https://doi.org/10.2514/6.2016-0586,《热物理与传热杂志》2015，29（2）：423-428，https://doi.org/10.2514/1.T3864,掠夺。爱尔兰航空公司。科学。2006年，42:469-530，https://doi.org/10.1016/j.parosci.2006.12.002,Comp.的工程应用。流体力学。，2018, 12(1):459-472,https://doi.org/10.1080/19942060.2018.1451389、和国际热和流体流动杂志，2018，73:114-123，https://doi.org/10.1016/j.ijheatfluidflow.2018.07.005.

斯帕拉尔-奥尔马拉斯一个带有Edwards修正的方程模型（SA-noft2-Edwards）

该形式主要用于改进模型的近壁数值行为（即。，目标是改善收敛行为）。参考是：

Edwards，J.R.和Chandra，S.“涡流粘度传输的比较”三维冲击分离流场的湍流模型”AIAA期刊，第34卷，第4期，1996年，第756-763页，https://doi.org/10.2514/3.13137.

此版本与“标准”版本相同（南非），除了那个 $f{t2}$ 被忽略，并且重新定义了两个变量：

$\波浪线S=S^{1/2}\左[\frac{1}{\chi}+f_{v1}\右]$

$r=\frac{{\rm tanh}\left[\tilde\nu/（\tildeS\kappa^2d^2）\right]}{{\rmanh}（1.0）}$

注意，此方法使用 $S^{1/2}$ （而不是涡度 $\欧米茄$ )，其中：

$S=\左（\frac{\部分u_i}{\部分x_j}+\ frac{\partialu_j}{\局部x_i}\right）\压裂{\部分ui}{\部分xj}-\压裂{2}{3}\左（\frac{\部分u_k}{\部分x_k}\右）^2$

斯帕拉尔-奥尔马拉斯含f的单方程模型_第3版期限（SA-fv3）

这种形式的Spalart-Allmaras模型产生于模型开发人员和早期实现者之间的电子邮件交换的结果。它是设计出来的防止源项为负值，由于异常过渡，不建议使用低雷诺数下的行为（见Spalart，P.R。，加纳2000-2306，2000年）。不幸的是，这个版本的编码仍然存在。因为这个方法是通过私有的没有官方参考。但是，有关简要说明：

Rumsey，C.L.、Allison，D.O.、Biedron，R.T.、Buning，P.G.、。，Gainer，T.G.、Morrison，J.H.、Rivers，S.M.、Mysko，S.J.和Witkowski，D.P。，“自助餐厅附近现代民用交通的CFD敏感性分析条件，“NASA/TM-2001-211263，2001年12月，https://ntrs.nasa.gov/citations/20020015798.

方程式与“标准”版本相同（南非）,但以下情况除外：

$\波浪线S=f_{v3}\Omega+\frac{\tilde\nu}{\kappa^2d^2}f_{v2}$

$f{v2}=frac{1}{（1+\chi/c{v2{）^3}$

$f{v3}=\frac{（1+\chif{v1}）（1-f{v2}）}{\chi}$

$c{v2}=5$

Spalart-Allmaras的应变自适应公式单方程模型（SA-noft2-salsa）

该表格主要用于扩展模型的预测能力非平衡条件。它还利用了（SA-Edwards）版本。参考是：

Rung，T.、Bunge，U.、Schatz，M.和Thiele，F.，“Spalart-Allmaras涡流粘度的重述应变自适应公式中的模型”AIAA期刊，第41卷，第7期，2003年，第1396-1399页，https://doi.org/10.2514/2.2089.

此版本与“标准”版本相同（南非），除了以下更改。第一， $f{t2}$ 被忽略。第二，术语

$\frac{1}{\sigma}\left[\frac{\partial}{\paratilxj}\left（\left）（\nu+\hat\nu\right）\frac{\partial\hat\nu}{\paratilxj}\right）\right]$

写法略有不同：

$\frac｛\partial｝｛\partial x_j｝\left[\left（\nu+\frac｛\hat\nu｝｛\sigma｝\right）\frac｛\partial\hat\nu｝｛\partialx_j｝\right｝$

第三，重新定义了以下两个变量：

$\帽子S=S^*\left[\frac{1}{\chi}+f_{v1}\right]$

$r=1.6{\rm tanh}\left[0.7\sqrt{\frac{\rho_0}{\rho}}\left（\frac{\hat\nu}{\hat S\kappa^2 d^2}\right）\right]$

哪里 $\ρ0$ 是自由流滞止密度，以及

$S^*=\sqrt{2 S_{ij}“S_{ij}”}$

$S_{ij}'=\frac{1}{2}\左（\frac{\partial u_i}{\partic x_j}+\frac{\frac部分u_j}{\protial x_i}\右）-\压裂{1}{3}\压裂{\部分u_k}{\部分x_k}\增量{ij}$

第四，对非平衡效应的敏感性来自于 $c{b1}$ ，它不再是一个常量。源项更改自 $c_{b1}\hat S\hat\nu$ 到 $c_{b1}'\hat S\hat nu$ 和 $c{w1}$ 更改自

$c{w1}=\压裂{c{b1}}{\kappa^2}+\压裂{1+c{b2}}{\sigma}$

到

$c{w1}=\压裂{c{b1}'}{\kappa^2}+\压裂{1+c{b2}}{\sigma}$

其中新变量是

$c_{b1}'=0.1355\sqrt{\Gamma}$

和

$\伽马={\rm最小}[1.25，{\rm-max}（\Gamma，0.75）]$ $\伽马={\rm最大}（\alpha_1，\alpha_2）$

$\alpha_1=\left[1.01\左（\frac{\hat\nu}{S^*\kappa^2d^2}\右）\right]^{0.65}$ $\alpha_2={\rm-max}\左[0,1-{\rm-tanh}\左（\frac{\chi}{68}\右）\right]^{0.65}$

请注意，在此模型中 $（2/3）\rho k\delta{ij}$ 术语是不在Boussinesq假设中被忽略，以及k个近似值为

$k=\nu_t S^*/\sqrt{0.09}$

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最近的重要更新：
2023年3月13日-与非基于SA的模型一起使用时，更改为QCR2020的具体建议
2023年1月3日-关于最小距离的澄清
2022年10月17日-SA-R中的额外澄清
2022年8月16日-关于SA-R和SA-KL中生产条款修改的澄清
2022年4月2日——对SA-Helity、SA-Catris、SA-Edwards和SA-salsa的“noft2”名称进行了小幅修订，并添加了有关如何添加更正的示例
2021年1月24日-在SA-Helity、SA-Catris、SA-Edwards和SA-salsa中添加“noft2”名称，以更准确地描述
2021年7月4日-添加SA-TC说明
2020年9月15日-增加QCR2020的说明
2020年7月21日-增加SA-LRe的说明

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