渐近无偏性+渐近零方差=一致性？

Question

在这里，Ben证明了一个无偏估计量$\hat\theta$参数的$\θ$其渐近方差为零的概率收敛于$\θ$也就是说，$\hat\theta$是的一致估计量$\θ$.

我们应该能够放松条件渐近的无偏性：$\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\mathbb E\left[\hat\theta_n-\theta\right]=0$.这似乎符合估计值接近真实参数值的精神。。。

…但数学以前让我感到惊讶。

我们能把条件放宽到渐近无偏吗？证据是什么？

Answer 1

您的问题可能会重述为

让$\langle\hat{\theta}_n\rangle_{n\in\mathbbN}$是一系列随机变量\开始{align*}&\theta_n:=E[\hat｛theta｝_n]\ to \theta&&\text｛as｝n\ to infty。\标记{1}\标签{1}\\&\operatorname{Var}（\hat{theta}_n）到0&\text{as}n\to.infty。\标记{2}\标签{2}\结束{align*}做$\eqref{1}$和$\eqref{2}$意味着$\hat{\theta}_n\to_p\theta$?

答案是肯定的，证明与原始情况类似（即，使用切比雪夫不等式，但需要做更多的工作来分割偏差$|\hat{\theta}_n-\theta|$).

鉴于$\varepsilon>0$，由$\eqref{1}$，存在N美元$足够大，以至于$|\theta_n-\theta|<\varepsilon/2$为所有人$n>n美元$，然后就这样了$n>n美元$,\开始{align*}&P（|\hat{\theta}_n-\theta|>\varepsilon）\\=&P（|\hat{\theta}_n-\theta_n+\theta_n-\theta |>\varepsilon）\\\leq&P（|\hat{theta}_n-\theta_n|>\varepsilon/2）+P（|\theta_n-\theta |>\verepsilon/2）\\=-P（|\hat｛\theta｝_n-\theta_n|>\varepsilon/2）\\\leq&4\operatorname{Var}（\hat{\theta}_n）/\varepsilon^2。\结束{align*}不等式的右侧收敛于$0$作为$n\to\infty$通过$\eqref{2}$，这意味着$\hat{\theta}_n\to_p\theta$这就完成了证明。

一种等效的方式是通过分解$\hat{\theta}_n-\theta$作为$（theta}_n-\theta_n）+（theta_n-\ttheta）$然后应用Slutsky定理（或者仅仅是简单的渐近事实，如果$X_n\to_p X$和$Y_n\to_p年$然后$X_n+Y_n\to_p X+Y$)——第一部分$\hat｛\theta｝_n-\theta_n\to_p 0$正是您链接的原始案例，而第二部分$\theta_n-\theta\到0$遵循渐近无偏条件$\eqref{1}$.

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^{在我第一次阅读时，我错误地将OP的问题解释为“渐近无偏性本身是否意味着一致性？“，这当然不是真的。一个反例是：let$\θ=0$,$\hat{\theta}_n$是Rademacher随机变量，即。，$P（theta}_n=1）=P（theta}_n=-1）=frac{1}{2}$为所有人n美元$。很容易验证$E[\hat{\theta}_n]\equiv\theta$虽然$\tha{\theta}_n\to_p\theta$注意，在这种情况下$\operatorname{Var}（\hat{theta}_n）\equiv 1$.}

Answer 2

以下一般结果与此相关：

给定测量空间$（\Omega，\boldsymbol｛\mathfrak A｝，\mu）$考虑一系列可测函数$\langle f_n\rangle_{n\in\mathbb n}范围$哪里L^p中的$f_n（\Omega，\boldsymbol{\mathfrak A}，\mu），[1中的~p\infty）$如果序列在美元L^p$规范到$f，美元$然后$$f_n\覆盖{\mu}{\to}f$$

要看到这一点，请注意任意$\varepsilon>0$ $$\Vert f_n-f\Vert_p^p\geq\int_{{\Omega:|f_n-f|\geq\farepsilon\}}|f_n-f|^p~\mathrm d\mu\geq\ varepsilon^p\mu\{\Omega:|f-n-f|\geq \varepsilen\}$$但根据假设$\Vert f_n-f\Vert_p\到0$所以百万美元$在度量上收敛到$f美元$在$\欧米茄$

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参考：

$\rm[I]美元$真实分析：测量与整合理论，J.Yeh，世界科学，$2014, $第。$16.25.$