插图：Serge Bloch
2023年12月14日更新：梅特卡夫定律是错误的！这一反传统的网络法则似乎为IEEE综览2006年。（文章全文如下）自此，“梅特卡夫定律是错误的”一直是众多互联网大师和导游明星的眼中钉。“梅特卡夫定律受到专家们的抨击，”守护者报道当时。“这种差异对于风险投资家投资数十亿美元购买普通市民想要使用的新网站和服务至关重要，”该公司的IT记者继续说道。“如果IEEE的作者是对的，那么你现在的在线参与价值比之前想象的要低。“ 博布·布里斯科（Bob Briscoe）、安德鲁·奥德利斯科（Andrew Odlyzko）和本杰明·蒂利（Benjamin Tilly）下面的作者今天表示，互联网世界在他们最初的故事发生时，广泛接受了这样一种观点，即网络的价值与其用户的平方一样。但他们持怀疑态度。直到今天，一个独立的IT承包商表示，随着网络的发展，其价值不会像梅特卡夫简单的二次关系那样急剧攀升值缩放为n个2建议。（其中n个是网络中节点、参与者或用户的数量。）“梅特卡夫定律通常看起来比实际情况更准确，”蒂利说。“对于一个规模较小但增长迅速的网络，在一段时间内，这可能是一个不错的近似值。但我们的修正适用于达到规模后的情况。”
换言之，曾经是一个新兴的网络——一个应用程序或在线游戏用户的不断增长的社区，为了实例化其最初的社交群，然后引入其他完整的社交群——并不是每个人都像以前在较小的环境中那样以同样的速度与其他人互动。这也是作者声称梅特卡夫定律并没有像其支持者所想的那样精确放大的部分原因。
这对年几篇论文的作者来说仍然不够令人信服2013和2014同样，他们为网络的静态流行法则进行了自己的艰苦辩护。奥德利兹科仍然是明尼苏达大学的数学教授，他说，2006年，他们认为梅特卡夫定律可能会导致大型网络（以及这些大型网络背后的公司）在更大的市场上被高估，因为守护者当时已注明。虽然2006年至2023年间互联网和社会发生了许多变化，但奥德利兹科表示，“这与20年前一样令人担忧。”-IEEE综览
2006年7月1日的原始文章如下：
在互联网繁荣的所有流行观点中，影响最大的是梅特卡夫定律。简单地说，它表示通信网络的价值与其用户数量的平方成正比。
据说，这项法律适用于任何类型的通信网络，无论是电话、计算机还是万维网用户。虽然“价值”的概念不可避免地有些模糊，但这个概念是，网络越有价值，你可以给越多的人打电话或写信，或者你可以链接到越多的网页。
梅特卡夫定律试图量化这种价值增长。它的名字不亚于以太网的发明者罗伯特·梅特卡夫（Robert M.Metcalfe）。在互联网繁荣时期，这项法律是企业家、风险投资家和工程师的信条，因为它似乎为繁荣时期的各种现代古语提供了定量解释，如“网络效应”、“先行者优势”、“互联网时代”，最令人痛心的是，“建立它，他们就会到来”
梅特卡夫定律（Metcalfe’s Law）似乎是为了确保一个网络的价值将以二次乘积的方式增长到参与者数量的平方，而成本至多将以线性增长，这为疯狂的增长热潮和忽视盈利能力提供了一种可信的氛围。这在今天看来可能是一个平凡的观察，但在互联网泡沫时期却是热门话题。
值得注意的是，尽管网络时代的古董秘方已不复存在，梅特卡夫定律依然存在，为正在酝酿的新一波投资浪潮——泡沫2.0——增添了一丝科学的可敬性，泡沫2.0似乎受到了谷歌这很危险，因为正如我们将要证明的那样，法律是错误的。如果有一个新的宽带灵感期电信增长，重要的是不要重蹈20世纪90年代的覆辙。
该法律于1993年由具有影响力的吉尔德技术报告正如摩尔定律（Moore’s Law）所述，芯片上的晶体管数量每18到20个月就会翻一番一样，梅特卡夫定律是一个粗略的经验描述，而不是一个不变的物理定律。吉尔德（Gilder）宣布了这项法律在发展后来被称为“新经济”（the New Economy）中的重要性
不久之后，时任美国联邦通信委员会主席的里德·E·亨特（Reed E.Hundt）宣布梅特卡夫定律和摩尔定律“为我们理解互联网提供了最好的基础”。几年后，马克·安德森（Marc Andreessen）创建了第一个广受欢迎的网络浏览器，并继续与网景公司（Netscape）合作，以网络为例，AOL用户群的增长归功于梅特卡夫定律。
泡沫年代的许多互联网咒语都有一定的合理性。一些非常成功的网络公司确实利用了互联网的力量，提供了今天产生巨大利润的服务。但是，当我们放眼这少数辉煌的成就时，我们看到，总的来说，法律的奉献者表现不佳。每一个雅虎或谷歌，都有几十甚至数百个Pets.com、EToy和兴奋@家每一家公司都致力于增加用户基础，而不是增加利润，同时增加了开支，但没有收入。
由于梅特卡夫定律（至少在很小程度上）创造的心态，即使是摇滚公司的股票在回归地球之前也达到了荒谬的高度。例如，位于加利福尼亚州圣何塞市的思科系统公司（Cisco Systems Inc.）股价下跌89%，2000年3月至2002年10月期间其股票账面价值损失超过5800亿美元。安德森将美国在线的快速增长归因于梅特卡夫定律，但美国在线的增长却突然停止；委婉地说，这家公司在过去几年里一直在挣扎。
梅特卡夫定律吉尔德给它命名的时候，它已经十几岁了。梅特卡夫自己记得，在与一位作者的私人信件中，“我的法律的初衷（大约在1980年，在乔治·吉尔德命名之前，一张35毫米的幻灯片……）是为了建立一个成本价值交叉点-临界质量-网络不支付的存在。诀窍是越过这一点，建立临界质量
梅特卡夫处于观察和分析网络增长及其盈利能力的理想位置。20世纪70年代，梅特卡夫首先在哈佛大学的博士论文中，然后在传奇的施乐帕洛阿尔托研究中心，开发了以太网协议，该协议已成为电信网络的主流。20世纪80年代，他在马萨诸塞州马尔伯勒创办了一家非常成功的网络公司3Com Corp.。1990年，他成为该行业期刊的出版商据美国媒体和一位有影响力的高科技专栏作家。最近，他成为了一名风险投资家。
他的同名定律的基础是观察到，在有n个成员的通信网络中，每个成员都可以(n个–1）与其他参与者的联系。如果所有这些连接都是同等有价值的，并且就我们而言，这是一个很大的“如果”，那么网络的总价值与n个(n个–1），即大致上，n个2例如，如果一个网络有10个成员，那么一个成员可以与另一个成员建立90种不同的连接。如果网络规模翻一番，达到20个，那么连接数量不仅会翻一番达到180个，还会增长到380个，换言之，大约是原来的四倍。
如果梅特卡夫的数学是对的，法律怎么会错呢？梅特卡夫正确地认为，网络的价值增长速度快于其线性规模；问题是，速度有多快？如果有n个梅特卡夫表示，随着网络成员数量的增加，网络价值呈二次增长。
相反，我们建议，规模网络的价值n个按比例增长n个日志(n个)。请注意，这些定律是增长定律，这意味着它们不能仅从网络的大小来预测网络的价值。但是，如果我们已经知道它在某一特定规模下的估值，那么我们可以在所有其他因素都相同的情况下，以任何未来规模估计其价值。
这些定律之间的区别似乎只有数学家才能理解，所以让我们用一个简单的美元例子来说明它。
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想象一下，我们知道一个由10万名成员组成的网络能带来100万美元的收入。我们必须提前知道这一起点，因为其中一条法律只告诉我们增长的情况，所以在这方面可以有所帮助。因此，如果该网络的会员人数翻一番，达到20万，梅特卡夫定律称其价值将增长（20万2/100 0002)倍，翻两番至400万美元，而n个日志(n个)该法律表示，其价值增长了20万log（20万）/10万log的倍，仅为210万美元。在这两种情况下，该网络的价值增长都翻了一番以上，仍然超过了成员的增长，但其中一个增长幅度要小得多。我们认为，网络时代的人为价值观与互联网创造的真正价值观之间的差异，很大程度上可以解释为n个2以及更清醒的现实n个日志(n个).
随着网络投资者和管理者更好地规划增长，这种差异将至关重要。加利福尼亚州圣何塞市的分析公司Infonetics Research Inc.表示，仅在北美地区，电信运营商预计今年将投资650亿美元扩大其网络，我们估算价值的经验法则也对管理主要网络之间互连这一重要业务的公司具有启示意义。
随着网络规模的增加，网络的增加值肯定介于线性增长和指数增长之间[见图“”]。广播网络的价值被认为是线性增长的；这一关系被称为“萨诺夫定律”（Sarnoff’s Law），以RCA电视台先驱执行官兼企业家大卫·萨诺夫（David Sarnof）命名。另一个极端是指数，即2n个-增长，被称为里德定律，以纪念计算机网络和软件先驱大卫·P·里德。里德建议，允许组建群组的网络，如AOL的聊天室或雅虎的邮件列表，其价值以2成比例增长n个.
我们承认n个日志(n个)对通信网络的估价过分简化了网络价值创造的复杂问题；特别是，它没有量化从不断增长的网络价值中减去的因素，例如垃圾邮件的增加。从第一原理的演绎论证来看，我们的估价无法证明。但如果我们寻找网络价值的有力描述，那么n个日志(n个)似乎是最好的选择。它不仅得到了几个定量论据的支持，而且与观察到的经济发展相吻合。这个n个日志(n个)网络估值提供了对导致网络公司价值增长缓慢令人失望的动态的粗略描述。另一方面，由于这种增长速度快于萨诺夫定律的线性增长速度，它有助于解释我们偶尔看到的网络公司的成功。
根本缺陷梅特卡夫定律和里德定律的基础是为所有关系或所有群体分配同等价值。一个半世纪前，亨利·大卫·梭罗（Henry David Thoreau）就当时正在美国建造的第一个大型电信网络指出了这一假设的潜在问题。在他的名著中沃尔登（1854），他写道：“我们正急于建造一个从缅因州到德克萨斯州的磁力电报；但缅因州和德克萨斯州可能没有什么重要的通信。”
事实证明，缅因州确实有相当多的时间与德克萨斯州沟通，但远不及波士顿和纽约市。一般来说，并非所有连接都具有相同的强度。事实上，在诸如互联网这样的大型网络中，个人之间有数百万潜在的连接，其中大多数根本没有被使用。因此，给所有这些变量赋值相等是不合理的。这是我们对梅特卡夫定律的基本反对意见，这并不是一个新的观点：许多观察家都注意到了这一点，包括梅特卡菲本人。
有一些常识性的论点表明梅特卡夫定律和里德定律是不正确的。例如，里德定律（Reed’s Law）指出，网络中的每一个新人的价值都会翻倍。通过这种推理，增加10个人，其价值增加了1000倍（210)。但这甚至远远不符合我们对网络价值的普遍期望——一个拥有5万10人的网络的价值不可能是一个拥有5万人的网络的1000倍。
从某种意义上说，增加一个人理论上会使网络价值增加相当于整个世界经济的数量，再增加几个人会使我们都变得无比富有。显然，这还没有发生，也不太可能发生。所以里德定律不可能是正确的，即使它的核心观点——群体形成中有价值——是正确的。公平地说，正如梅特卡夫意识到他的法律的局限性一样，里德也意识到了他的法律的限制。
梅特卡夫定律并没有像里德定律那样得出明显违反直觉的结论。但它确实与电信史上的许多问题背道而驰：如果梅特卡夫定律是真的，它将为所有依赖同一技术的网络合并或至少互连创造压倒性的激励。这些激励措施将使孤立的网络难以解释。
要了解这一点，请考虑两个网络，每个网络都具有n个成员。根据梅特卡夫定律，每个人的价值是n个2，因此这两个独立网络的总价值大致为2个2。但假设这两个网络合并。那么我们将有效地拥有一个具有2个成员，根据梅特卡夫定律，这将是值得的(2个)2或4个2-两个独立网络的总价值的两倍。
当然，这需要一个异常迟钝的管理层，更不用说效率低下的金融市场了，不能抓住这个显而易见的机会，通过简单地将两者结合起来，将网络总价值翻倍。然而，历史上有许多网络长期抵制互联的案例。例如，一个世纪前，在美国，贝尔系统和独立的电话公司经常在同一个社区竞争，其中一个用户无法呼叫另一个用户。最终，通过金融策略和政治压力的结合，这些系统相互连接，但这花了20年的时间。
同样，在20世纪80年代末和90年代初，CompuServe、Prodigy、AOL和MCIMail等商业在线公司向订阅者提供电子邮件，但仅限于在他们自己的系统内，直到20世纪90年代中期才实现了完全互联。最近，我们对即时消息系统的互连以及互联网服务提供商之间的流量自由交换存在争议（并将继续存在）。如果一个网络的价值增长与梅特卡夫的一样快，那么在这些例子中网络运营商的行为很难解释n个2.
关于互连网络还有一个进一步的争论。如果梅特卡夫定律成立，那么两个网络应该互连，而不管它们的相对大小。但在现实的商业和网络世界中，只有规模大致相同的公司才会渴望互联。在大多数情况下，较大的网络认为它对较小的网络的帮助远远大于其自身的帮助。通常在这种情况下，较大的网络在互连之前需要一些额外的补偿。我们的n个日志(n个)价值评估与网络公司的这种现实行为是一致的；梅特卡夫n个2不是。[请参阅侧栏，“建立联系“为了这个论点背后的数学。]
我们还为我们的n个日志(n个)通用通信网络规模的常规评估n个最直观的法则是基于另一个经验法则，即以20世纪语言学家乔治·金斯利·齐普夫命名的齐普夫定律。
齐普夫定律是一种经验法则，它非常好地描述了一系列令人惊讶的现实世界现象。它说，如果我们按大小或受欢迎程度订购一些大型收藏，收藏中的第二个元素将是第一个元素的一半，第三个元素将大约是第一个的三分之一，以此类推。总的来说，换句话说k个th-标记的项目将测量约1/k个第一个。
举一个例子，在典型的大型英语文本中，最流行的单词“the”通常占所有单词出现次数的近7%。第二位的单词“of”占此类事件的3.5%，第三位的单词，“and”占2.8%。换句话说，百分比顺序（7.0、3.5、2.8等）与1紧密对应/k个顺序（1/1、1/2、1/3…）。尽管Zipf最初制定的定律仅适用于这种词频现象，但科学家发现它描述了令人惊讶的广泛统计分布，例如个人财富和收入、城市人口，甚至博客读者。
要了解齐普夫定律如何导致我们n个日志(n个)法律，考虑一下你身边和你亲爱的网络的相对价值-你的电子邮件列表中的成员。正如他们通常所做的那样，遵循Zipf定律，这些网络的成员可以按照Zipf对单词的排序方式进行排序，即根据收件箱中的电子邮件数量进行排序。每个人的电子邮件将贡献1/k个到收件箱的总“价值”，其中k个是此人的级别。
因此，与您通信量排名第一的人的值被任意设置为1/1或1。（这个人对应于语言示例中的单词“the”。）排名第二的人将被假定贡献一半，或1/2。排名的人k个根据齐普夫定律，将增加约1/k个分配给这个通讯员网络的总价值。
您的总价值将是递减1的总和/k个网络中所有其他成员的值。因此，如果您的网络n个成员，此值将与1+1/2+1/3+…+1成比例/(n个–1），接近对数(n个)。更确切地说，它几乎等于log的总和(n个)加上一个常量值。当然有n个-1其他成员从网络中获得类似价值n个您的数量随着n个日志(n个).
齐普夫定律也可以定量描述一个目前流行的论文，叫做长尾。考虑收藏中的项目，例如在亚马逊，按人气排名。人气图会向下倾斜，左上角有几十本最受欢迎的书。图表将逐渐缩小到右下角，长尾图将列出每年仅销售一到两本的数十万本书。英语的长尾语——Zipf’s Law的最初应用——可能是你几乎从未遇到过的几十万个单词，比如“floriferous”或“辉煌”
将受欢迎程度作为一个粗略的价值衡量标准（至少对亚马逊这样的书商而言），然后根据齐普夫定律计算出每件商品的价值。也就是说，如果我们有一百万件商品，那么最受欢迎的100件将占总价值的三分之一，接下来的10000件将占三分之一；剩下的989000件将占最后三分之一。集合的值n个项目与日志成比例(n个).
顺便说一句，这个数学模型说明了为什么如果你对书籍、音乐和电影的爱好很深奥，那么网上商店是唯一的购物场所。比方说，像Rhapsody或iTunes这样的在线音乐商店可以销售73.5万首歌曲，而传统的砖石店可以销售1万到2万首。长尾定律表示，这家网店三分之二的收入将仅来自其实体竞争对手所拥有的商品。换句话说，收入中相当可观的一部分——三分之一——将来自几乎没有人购买过的约72万本图书。而且，与实体店的成本不同，在线商店存储所有库存的成本是最低的。因此，对他们来说，储存所有那些令人难以置信的滞销图书是很有意义的。
当电信是全球经济的关键基础设施时，供应商需要做出根本性的决定，决定是成为纯粹的连通性供应商，还是通过销售或转售电视和电影等内容来赚钱。至关重要的是，他们正确地评价自己的企业——要么高估提供内容的业务，要么像梅特卡夫定律那样高估提供连接性的业务。他们的未来充满了风险和机遇。我们相信，如果他们将网络的增长视为n个日志(n个)，他们将能更好地驾驭前方波涛汹涌的水域。
关于作者
BOB BRISCOE是位于英国伊普斯威奇的英国电信（BT）网络研究中心的首席研究员。
ANDREW ODLYZKO是明尼阿波利斯明尼苏达大学数学教授和数字技术中心主任。
BENJAMIN TILLY是加州圣莫尼卡Rent.com的一家网络公司的高级程序员。
