Sym2Int公司

列出模型的所有交互

标准模型（SM）的扩展可能涉及不同的计量组和/或新字段；在任何一种情况下，都必须了解什么是最普遍的模型对称性下的拉格朗日不变量。然而，有时可能会忘记写下一些有效的交互，和/或甚至最终编写了一些不存在的交互。自动化流程可能有助于减少此类错误。

本页描述Mathematica代码Sym2Int公司(Sym公司米制到 国际放射)其中列出了给定模型的仪表组和字段（由指定）的所有有效交互他们的量规和洛伦兹表示）。该程序适用于可重正化相互作用（质量维$\leq4$）以及不可重正化的（质量维度$>4$）。自版本2起，还考虑了导数和规范玻色子的项。更多详细信息见下文。

其他参考文献

该计划首先在《Renato M.Fonseca，Sym2Int计划：从对称走向互动,arXiv:1703.05221[hep-ph]”，详见“Renato M.Fonseca，有效场理论的算符枚举,arXiv:1907.12584[hep-ph]".

安装代码

(Sym2Int 2.4版)

两者都是分组数学文件夹和文件符号2 Int.m应放置在Mathematica可见的目录中。放置它们的好地方是

<<Sym2Int`

fonseca@ipnp.mff.cuni.cz

定义模型

模型由以下元素定义：

• 一个名字；
• 一个量规组；
• 字段列表。

对于每个字段，必须指出以下内容（顺序很重要）：

• 一个名字；
• 轨距表示；
• 洛伦兹表示：标量（“S”）、右/左手Weyl费米子（“R”/“L”）、向量（“V”）等）；
• 它是实域（“R”）还是复域（“C”）；
• 模型中存在的副本/风格数量。

例如，考虑标准型号:

计量组[SM]^={SU3，SU2，U1}；fld1={“u”，{3，1，2/3}，“R”，“C”，3}；fld2={“d”，{3，1，-1/3}，“R”，“C”，3}；fld3={“Q”，{3，2，1/6}，“L”，“C”，3}；fld4={“e”，{1，1，-1}，“R”，“C”，3}；fld5={“L”，{1，2，-1/2}，“L”、“C”，3}；fld6={“H”，{1，2，1/2}，“S”，“C”，1}；字段[SM]^={fld1，fld2，fld3，fld4，fld5，fld6}；联轴器生成列表[SM]；

然后在屏幕上打印以下表格：

现在，有一点语义：字段的每个独立规范和洛伦兹不变收缩形成一个操作人员。保留风味指数未展开，可以将多个运算符记为单个学期在拉格朗日。最后，几个术语可以对应于同一个操作员类型，这是给定字段组合的所有规范和洛伦兹不变压缩集（忽略味道指数）。因此，即使字段（例如）A、B、C和D有多个独立的规范和洛伦兹不变收缩（味道指数将被忽略），它们都被视为单个ABCD类型运算符的一部分。

例如，在标准模型中，轻子Yukawa相互作用$L_i^*e_jH$由9个复数组成操作员，可以写为单个学期在拉格朗日。它们还形成一个操作员类型.

基于这种理解，上表第一部分（红色文本）包含以下数据：

• 第一列：只是与每种类型的运算符关联的序列号。
• 第二列：参与交互的字段的组合。恒星“*”表示场是共轭的。
• 第三列：运算符类型的质量尺寸。
• 第四栏：场的组合是自共轭的吗？
• 第五栏：统计特定类型的运算符的数量。如果第四列显示“True”，则这些是实数运算符；否则，此列指示给定类型的复杂运算符的数量（因此，第五列中的值必须乘以2才能得到实数运算符的数量）。
• 第六栏：计算记录特定类型的所有交互作用所需的最小拉格朗日项数。这些是实数项（如果第四列显示为“True”），或者是复数项（如第四列为“False”）。
• 第七栏：在运算符中出现多次的字段列表。
• 第八栏：包含有关置换对称性和与运算符关联的参数数量的信息。

一切都应该是不言而喻的，也许最后一篇专栏文章除外，所以让我们更详细地研究一下。

在此之前，请注意，屏幕上还打印了第二个包含一些汇总统计信息的表。它显示了每个质量标注在模型中的操作符总数、术语和操作符类型。值得指出的是，没有一个表包含动力学项。

对称柱

考虑第5行，它对应于标准模型中的希格斯四次耦合。在这种相互作用中，H*和H都出现了两次，所以人们可以问，当我们对两个H*场进行排列时，或者对两个H场进行排列会发生什么。最后一列给出的答案是，场H*H*HH的规范和洛伦兹不变收缩在H*的交换下都是对称的（首先)以及H的交换（第二). 换句话说，在$S_2\times S_2$置换组下，此运算符在{,}代表。由于标准模型中只有希格斯场的一个副本，很明显，任何重复出现的耦合都必须在排列下对称。

我们在这里遇到了，这是一个非常简单的Young图表这些图由一组方框组成，可用于标记置换组$S_n$的任何不可约表示。一般来说，同一行上的框与对称化相关，而共享同一列的框与反对称相关。

现在考虑带有额外希格斯双子态的标准模型（双希格斯双粒子模型). 一种指定方法是只需添加第7个字段：

fld1={“u”，{3，1，2/3}，“R”，“C”，3}；fld2={“d”，{3，1，-1/3}，“R”，“C”，3}；fld3={“Q”，{3,2,1/6}，“L”，“C”，3}；fld4={“e”，{1，1，-1}，“R”，“C”，3}；fld5={“L”，{1，2，-1/2}，“L”、“C”，3}；fld6={“H1”，{1，2，1/2}，“S”，“C”，1}；fld7={“H2”，{1，2，1/2}，“S”，“C”，1}；字段[TwoHDM]^={fld1，fld2，fld3，fld4，fld5，fld6，fld7}；生成耦合列表[TwoHDM]；

程序打印以下内容：

有标量质量项（运算符类型#1、#2和#3）、Yukawa耦合（运算符类型#4到#9）和标量四次耦合（运算符类别#10到#15）。让我们只关注最后一组相互作用：描述标量-四次相互作用需要多少个数字/参数？我们总共需要1+2+1=4美元$真实的自共轭算子#12、#14和#15的耦合，加上$1+1+1=3$复杂的非自共轭算子10、11和13的耦合。总计是10个实数。特别注意，第14行对应于运算符$H_2^*H_1^*H_2H_1$，根据第5列和第6列，规范+洛伦兹指数有两种可能的独立收缩。

然而，我们可以选择告诉程序，第二个希格斯双粒子只是标准模型的第二种味道：

计量组[TwoHDM]^={SU3，SU2，U1}；fld1={“u”，{3，1，2/3}，“R”，“C”，3}；fld2={“d”，{3，1，-1/3}，“R”，“C”，3}；fld3={“Q”，{3，2，1/6}，“L”，“C”，3}；fld4=｛“e”，｛1，1，-1｝，“R”，“C”，3｝；fld5={“L”，{1，2，-1/2}，“L”、“C”，3}；fld6={“H”，{1，2，1/2}，“S”，“C”，2}；字段[TwoHDM]^={fld1，fld2，fld3，fld4，fld5，fld6}；生成耦合列表[TwoHDM]；

人们应该得到与以前相同的交互，但使用不同的语言：

对上述结果的直接反应可能是互动太少，但事实并非如此。第一行表示4个实数控制标量质量，与之前的输出一致，即需要2个实数+1个复数。第2行、第3行和第4行是Yukawa相互作用，对于每一行。。。

• 没有需要考虑的置换对称性；
• 需要18个（复数）数字来参数化每个洛伦兹和规范场的不变收缩；
• 只有一个洛伦兹和规范不变的场收缩，所以只需要一个项。每个这样的项都需要一个有3个指数的Yukawa张量：两个与费米子味收缩，一个与希格斯味收缩。

图表显示可以将这个$\lambda$分成两部分：$\lampda^{不锈钢}_{ijkl}$在索引$i\leftrightarrow-j$和交换$k\leftreghtarrow l$以及$\lambda的交换下都是对称的^{AA}_{ijkl}$在这些指数排列下是反对称张量。很容易检查这些张量是否有9个（$\lambda^{SS}$）和1个（$\ lambda_{AA}$）独立条目。

有关交互的置换对称性的更多信息，请参见arXiv:1907.12584[hep-ph].

附加注释：某些运算符可能具有比简单S更复杂的对称性()和A(). （这对于不可重正化的运算符尤其如此&#8212，请参见下文。）为什么会这样？如果一个字段在操作符中不仅出现一次，而且出现$n$次，则与之关联的相关对称组为$S_n$。如果$n=2$，我们将只看到S和A，因为$S_2$群只有两个不可约表示，正好是一维：对称和反对称。然而，从$S_3$one开始可以有混合对称。仍然需要知道的是，$S_n$的不可约表示（inreps）可以用$n$的分区来标记。例如，$S_4$的不可逆是{4}、{3,1}、}2,2}、[2,1,1}，{1,1,1}和#8212。反过来，如果需要，这些分区可以用Young图表示：

如果$S_n$irrep既不是完全对称的，也不是完全反对称的，则程序将仅通过$n$的相应分区或其Young图来指示该irrep。

规范和洛伦兹表示

场可以是规范群和洛伦兹群的任何不可约表示。

这个仪表表示对于每个简单因子组，例如$SU（3）$，可以用表示的维数D（例如，在$SU。在两个或多个表示具有相同尺寸的情况下（例如15和15'在$SU（3）$中，可以使用Dynkin系数，就像苏西诺程序 .在$U（1）$因子的情况下，程序需要它们下面每个字段的费用。

另一方面洛伦兹群类似于$SU（2）_Ltimes SU（2_R$）群，特别是它具有不可约表示，可以与两个非负半整数$j_L$和$j_R$：$\左（j_{L}，j_{R}\右）$相关联。程序需要这些数字。然而，对于{0,0}（标量）、{1/2,0}、{0,1/2}（右手Weyl旋量）和{1/2,1/2}（四向量）的常见情况，用户可以分别简单地键入“S”、“L”、“R”和“V”。

例如，考虑一个具有$n$向量和$m$左手旋量的模型（在$U（1）$gauge群下均为零电荷）：

gaugeGroup[modelA]^={U1}；fld1={“A”，{0}，“V”，“R”，n}；fld2={“Psi”，{0}，“L”，“C”，m}；字段[模型A]^={fld1，fld2}；联轴器生成列表[型号A]；

注意操作符表的最后一行中存在混合对称{2,2}。这种有点复杂的对称性产生了一个相当奇特的运算符数量表达式：$\frac{1}{6}n^2\left（n^2+5\right）$实数是编码$n$向量场的四次相互作用所必需的。

非正则项、导数和规范玻色子

该程序不仅限于可重整化相互作用的计算；它可以计算任意大阶数的有效耦合。然而，请注意，对于高维项，计算时间会迅速增加。

例如，高达6维的SM相互作用可以如下获得（超过4维的SM通常称为SMEFT：标准模型有效场理论）。

仪表组[SM]^={SU3，SU2，U1}；fld1={“u”，{3，1，2/3}，“R”，“C”，3}；fld2={“d”，{3，1，-1/3}，“R”，“C”，3}；fld3={“Q”，{3，2，1/6}，“L”，“C”，3}；fld4={“e”，{1，1，-1}，“R”，“C”，3}；fld5={“L”，{1，2，-1/2}，“L”、“C”，3}；fld6={“H”，{1，2，1/2}，“S”，“C”，1}；字段[SM]^={fld1，fld2，fld3，fld4，fld5，fld6}；GenerateListOfCouplings[SM，MaxOrder->6]；

这一结果与论文中的结果一致B.Grzadkowski等人，JHEP 1010（2010）085（以下简称“GIMR文件”） .事实上，从运营商列表来看，情况如下：

• 第1行到第5行是可重正化的运算符。
• 第6行对应于著名的Weinberg操作符（或者更确切地说操作员类型在本文中使用的术语中）。
• 运算符类型#24到#41和#46到#49涉及四个费米子，与GIMR论文表3中的对应。以第24行为例，它对应于$Q^{打印}_GIMR论文语言中的{\ell\ell}=\left（\overline{\ell}_{p}\gamma_{\mu}\ell_{r}\right）$操作符（$p，r，s，t=1,2,3$是味道指数）。$Q的独立条目数^{打印}_{\ell\ell}$不是$3^4=81$，因为如第24行所示，这个张量可以分为在索引$p\leftrightarrow s$和$r\leftright arrow t$交换下对称的部分，以及在每个索引交换下反对称的部分。因此，$Q的正确独立条目数^{打印}_{\ell\ell}$是$36+9=45$（参数的计数在arXiv:1907.12584[hep-ph]). 现在考虑第36行：它表明有两种不同的方法来收缩$Q^*Q^*Q的规范+洛伦兹指数，这两种方法在$Q^*和$Q$s的排列下是对称的，另外两种不同方法以反对称的方式收缩规范+洛仑兹指数。总共需要$36\乘以2+9\乘以2=90$的参数。关键的是，不能依赖单个张量，例如$Q^{（1）prst}_{qq}=\left（\overline｛Q｝_{p} \gamma_{\mu}Q_{r}\右）\左（\上划线｛Q｝_{s} 因为，通过指数的（反）对称化，我们只得到一个对称部分和一个反对称部分。因此需要两个术语（此信息显示在第6列），因此$Q_{qq}^{（3）prst}=\left（\overline｛Q｝_{p} \gamma_{\mu}\tau^{一} 问_{r} \右）\左（\上横线｛Q｝_{s} \gamma^{\mu}\tau^{I} 问_{t} \right）在有效的拉格朗日函数中也必须引入$。
• #50、#51、#52和#53类型的运算符对应于$Q_{e\varphi}$、$Q_}d\varphi{$、$Q_{u\varphi}$$和$Q__{\varphineneneep$。
• 剩下的是#7-#23和#42-#45行。它们都有以下符号之一：$\mathcal{D}$、F1、F2和/或F3。F代表每个规范因子组的场强张量，或者更准确地说是部分$F$，自旋$（j_L，j_R）=（1,0）$，这样$F{\mu\nu}=F+F^*$。该指数确定了计量因子组：在这种情况下，计量因子组是$SU（3）_C乘以SU（2）_L乘以U（1）_{Y}$，因此F1=$F^C$，F2=$F*L$，F3=$F$Y$。另一方面，$\mathcal{D}$表示一个导数：它必须应用于交互中的其他字段之一，但程序没有指明是哪个字段。请注意，具有导数的运算符类型（如第9行中的运算符类型）可以具有具有负系数的置换对称性（请参见最后一列）。这是因为一些具有导数的运算符是多余的，应该被忽略；第5列和第6列中的计数考虑了这一点。一般来说，用导数描述这些算子的置换对称性更为复杂，因此最后一列中的信息更为详细（请参见arXiv:1907.12584[hep-ph]).

可以超越维度6操作符，但计算时间和内存需求会迅速增加。在Mathematica的前端显示包含许多Young图的很长表格是不明智的，因此Sym2Int公司如果操作员表包含200行以上，则停止打印该表。即使对于较小的表，用户也可以使用Verbose选项来执行此操作（请参见在下面).

例如，以下代码采用大约还有两个小时，它使用约4 GB的RAM：

savedResults=GenerateListOfCouplings[SM，MaxOrder->15]

由于运算符表没有打印在屏幕上，因此应该分析函数GenerateListOfCouplings返回的原始数据。在这种情况下，它被保存到变量savedResults中。

更多示例

一个左右模型（$SU（3）_C\times SU（2）_L\times U（2）_R\times U（1）{B-L}$gauge群）

考虑具有以下表示的LR模型。费米子（都被认为是左手Weyl旋量）分布在表示$Q=\left（\mathbf{3}，\mathbf{2}，\ mathbf}，1/3\right）$和$Q^c=\ left（上划线{\mathbf2}}，\fathbf{1}，\tathbf}2，-1/3\ right）的三个副本上$，$L=\left（\mathbf{1}，\mathbf{2}，\ mathbf}，-1\ right）$和$L^{c}=\ left（\tathbf{1'，\mathbf{1{，\mathbf{2}，1\right）$。标量扇区由字段$\Phi=\left（\mathbf{1}，\mathbf{2}，\ mathbf}，0\right）$、，$\Delta_{L}=\left（\mathbf{1}，\mathbf{3}，\ mathbf}，2\right）$和$\Delta_{R}=\leaft（\mathbf{1'，\mathbf{1{，\mathbf{3+，-2\right）$。

计量组[LR]^={SU3，SU2，SU2和U1}；fld1=｛“Q”，｛3，2，1，1/3｝，“L”，“C”，3｝；fld2={“Qc”，{-3，1，2，-1/3}，“L”，“C”，3}；fld3={“L”，{1，2，1，-1}，“L”、“C”，3}；fld4={“Lc”，{1，1，2，1}，“L”，“C”，3}；fld5={“Phi”，{1，2，2，0}，“S”，“R”，1}；fld6={“D”，{1，3，1，2}，“S”，“C”，1}；fld7={“Dc”，{1，1，3，-2}，“S”，“C”，1}；字段[LR]^={fld1，fld2，fld3，fld4，fld5，fld6，fld7}；生成联轴器列表[LR]；

一个$SU（5）$模型

计量组[型号SU5]^={SU5}；fld1={“F”，{-5}，“L”，“C”，3}；fld2={“T”，{10}，“L”，“C”，3}；fld3={“5”，{5}，“S”，“C”，1}；fld4={“24”，{24}，“S”，“R”，1}；字段[模型SU5]^={fld1，fld2，fld3，fld4}；GenerateListOfCouplings[型号SU5]；

Pisano-Pleitez-Frampton模型（$SU（3）_C\times SU（3_L\times U（1）_X$规范组）

仪表组〔PPF331型号〕^＝｛SU3，SU3，U1｝；Psil={“Psil”，{1，3，0}，“L”，“C”，3}；Q23L={“Q23L”，{3，-3，-1/3}，“L”，“C”，2}；Q1L={“Q1L”，{3，3，2/3}，“L”，“C”，1}；uc={“uc”，{-3，1，-2/3}，“L”，“C”，3}；dc={“dc”，{-3，1，1/3}，“L”，“C”，3}；J12={“J12”，{-3，1，4/3}，“L”，“C”，1}；J3={“J3”，{-3，1，-5/3}，“L”，“C”，2}；Chi={“Chi”，{1，3，-1}，“S”，“C”，1}；Eta={“Eta”，{1，3，0}，“S”，“C”，1}；Rho={“Rho”，{1,3,1}，“S”，“C”，1}；字段[PPF331模型]^={Psil，Q23L，Q1L，uc，dc，J12，J3，Chi，Eta，Rho}；GenerateListOfCouplings[PPF331Model]；

详细信息和额外选项

有一些可选参数可用于更改程序的行为。

-添加离散对称

目前Sym2Int公司处理离散对称的能力有限（未来的版本可能会扩展这部分代码）。特别是，该程序只能处理与规范组交换的交换离散对称。这些对称性与每个场a（乘法）守恒电荷相关，应如下所示：

GenerateListOfCouplings[<模型>，DiscreteSym->{字段#1>的费用，<场#2的电荷>，…}]；

每个电荷都是一个与$Z_n$对称性相关联的复数（模为1），或者如果存在多个$Z_{n_i}$对称性，则是一组这样的数。

-禁止输出的屏幕打印

选项

GenerateListOfCouplings[<模型>，详细->错误]；

可用于强制程序以静默方式执行计算，在这种情况下，应将GenerateListOfCouplings的结果保存到某个变量中（更多详细信息请参阅下一节).

还可以仅打印统计表：

GenerateListOfCouplings[<模型>，详细->“仅统计信息”]；

最后，可以在运算符列表的最后一列中使用分区而不是Young图：

GenerateListOfCouplings[<模型>，详细->“NoTableaux”]；

保存输出以便进一步处理

我们在上面看到，程序打印了一个带有结果的表（加上另一个带有一些统计信息的表）。然而，在许多情况下，人们还希望以适合进一步处理的格式保存这些数据。这样的数据实际上可以通过保存GenerateListOfCouplings函数的输出来获得，该函数返回一个包含与每个运算符类型相关信息的列表。对于列表中与某些操作员类型相对应的每个项目，将提供以下信息：

1. 与运算符类型关联的数字。
2. 进入交互的字段组合。每个字段通过其在用户提供的列表中作为输入的位置（如果字段在运算符中看起来不共轭）或减去其在用户提供的列表中作为输入的位置（如果字段在运算符中看起来确实共轭）来识别。导数被指定为数字0，场强张量的指数为$x+2$，$x+3$。。。其中$x$是作为输入给定的字段数。总结：0→ 导数；（$1$至$x$）→ 作为输入的字段；（$x+2$至$x+i-1$）→ 场强张量，其中$i$是规范因子组的数量。注意，这里提到的场强张量是洛伦兹表示$（1,0）$中的$F$，这样$F{\mu\nu}=F+F^*$。
3. 操作员的质量尺寸。
4. 场的组合是自共轭的吗？
5. 运算符的数量（如果前一项为“True”，则为实数；否则为复杂数）。
6. 字数（如果运算符类型是自共轭的，则为实数；否则为复杂数）。
7. 在操作符中出现多次的字段列表（每个字段的标识按2.所示进行）。
8. 有关置换对称性和与运算符相关联的参数数量的信息。
9. 提供关于出现在运算符中的字段的规范+洛伦兹不变收缩（或收缩，如果有多个）的显式表达式的信息。换句话说，它提供了写下拉格朗日数所需的信息。仅当使用以下可选参数时，才会计算此信息：CalculateInvariants->True和IncludeDerivatives->False。

也许通过一个例子（再次是标准模型）更容易理解正在发生的事情：

仪表组[SM]^={SU3，SU2，U1}；fld1={“u”，{3，1，2/3}，“R”，“C”，3}；fld2={“d”，{3，1，-1/3}，“R”，“C”，3}；fld3={“Q”，{3，2，1/6}，“L”，“C”，3}；fld4={“e”，{1，1，-1}，“R”，“C”，3}；fld5={“L”，{1，2，-1/2}，“L”、“C”，3}；fld6={“H”，{1，2，1/2}，“S”，“C”，1}；字段[SM]^={fld1，fld2，fld3，fld4，fld5，fld6}；operatorsDim4=生成耦合列表[SM]；operators Dim6=联轴器生成列表[SM，最大订单->6]；

注意，与前面的一些示例不同，现在将结果保存到变量operatorsDim4和operators Dim6。例如，通过创建网格，我们可以快速浏览operatorsDim4中的信息：

网格[operatorsDim4，Frame->All]

例如，第四行第二列显示{-1,3,6}，因为涉及u、Q、H字段（这些是输入列表中的字段#1、#3和#6），并且u是共轭的（因此是-1而不是1）。注意，最后一列是空的，因为没有使用选项“CalculateInvariants->True”和“IncludeDerivatives->False”。最后，还要注意，在最后一行第7列中，有一个{{2}，{2}}置换对称：它代表平凡/对称的$S_2\次S_2$不可约表示（参见第““参数的对称性和数量”列”以上）。

在上面的示例中，运算符Dim6包含高达维度6的SM运算符。我们可以写一个小代码来找出那些违反轻子和重子数的算符类型的位置：

LeptonNumber[term_]：=模块[{baryonNumber}，重子数=签署[条款[2]]]。（绝对值[术语[2]]/.{0->0，1->0，2->0，3->0，4 -> 1, 5 -> 1, 6 -> 0, 8 -> 0, 9 -> 0, 10 -> 0});返回[baryonNumber]；]BaryonNumber[term_]：=模块[{BaryonNumber}，重子数=符号[术语[[2]]].（绝对值[[2]]/.{0->0，1->1/3，2->1/3，3->1/3，4 -> 0, 5 -> 0, 6 -> 0, 8 -> 0, 9 -> 0, 10 -> 0});返回[baryonNumber]；]positionLViolation=病例[operatorsDim6，x_/；LeptonNumber[x]=！=0:>x[[1]]]；PrintOperatorTable[SM，operatorsDim6[[位置冲突]]]positionBViolation=病例[手术医生Dim6，x_/；重子数[x]=！=0:>x[[1]]]；PrintOperatorTable[SM，operatorsDim6[[位置冲突]]]

程序打印了以下两个表（它们列出了轻子和重子数违反算符）：

此处使用的函数PrintOperatorTable是Sym2Int公司：它允许用户有选择地打印使用GenerateListOfCouplings处理的最后一个模型的一些运算符。例如，

PrintOperatorTable[SM，operatorsDim6[[{3,4,10}]]

对于SMEFT，论文B.Henning等人，JHEP 1708（2017）016 提供（a）尺寸不超过12的每种类型的操作员数量；（b） 质量维度为$d\leq 12$且违反$\Delta b=0,1,2$单位中重子数的运算符总数；（c） 质量尺寸最大为15的操作员总数。最后一部分（c）可以直接从程序打印的汇总表中进行检查（参见第节底部“非规范化项、导数和规范玻色子”).

对于零件（a）和（b），可以通过计算尺寸为12的SM操作符列表，对Nf代进行检查(大约需要10分钟)，将结果保存在变量中（下面的operatorsDim12）。

计量组[SM]^={SU3，SU2，U1}；fld1={“u”，{3，1，2/3}，“R”，“C”，Nf}；fld2={“d”，{3，1，-1/3}，“R”，“C”，Nf}；fld3={“Q”，{3，2，1/6}，“L”，“C”，Nf}；fld4={“e”，{1，1，-1}，“R”，“C”，Nf}；fld5={“L”，{1，2，-1/2}，“L”、“C”、Nf}；fld6={“H”，{1，2，1/2}，“S”，“C”，1}；字段[SM]^={fld1，fld2，fld3，fld4，fld5，fld6}；operatorsDim12=生成耦合列表[SM，MaxOrder->12，详细->错误]；

例如，上面的参考提供了数据文件中的维度5运算符作为总和\[\frac{\text{Nf}^{2}+\text{Nf}}{2} H（H）^{2} L（左）^{2} +\frac{\text{Nf}^{2}+\text{Nf}}{2}\text{Hd}^{2]\text{Ld}^}\]其中Nf是世代数，H是希格斯场，Hd是它的共轭场，依此类推。导数用t表示。要将运算符Dim12转换成这种格式，可以执行以下操作：

ConvertSym2IntResult[termAll_]：=模块[{规则，辅助，结果}，规则={-10->Br，-9->Wr，-8->Gr，-6->Hd，-5->Ld，-4->e、 -3->Qd，-2->d，-1->u，0->t，1->ud，2->dd，3->Q，4->ed，5->L，6->H，8->Gl，9->Wl，10->Bl}；aux=如果[termAll[[4]]，{termAll[2]]}，{term All[[2]]，-termAll[2]}]；结果=展开[termAll[[5]]总计[Times@@@（aux/.rule）]]；返回[结果]；]总计[ConvertSym2IntResult/@saveResult]

这将提供所有运算符到维度12的总和。要仅获取维度为6的值（例如），可以执行以下操作：

合计[ConverSym2IntResult/@Cases[saveResult，x_/；x[[3]]==6]]

为了收集关于违反重子数的每个维度的操作符数量的数据，可以按以下方式进行：

BaryonNumber[term_]：=模块[{BaryonNumber}，重子数=签署[条款[2]]]。（绝对值[术语[2]]/.{0->0，1->1/3，2->1/3，3 -> 1/3, 4 -> 0, 5 -> 0, 6 -> 0, 8 -> 0, 9 -> 0, 10 -> 0});返回[baryonNumber]；]bTable=表格[temp=案例[operatorsDim12，x_/；x[[3]]==dim&&Abs[BaryonNumber[x]]==b]；展开[temp[[All，5]]。（温度[[全部，4]]/.{True->1，False->2}）]，{dim，5，12}，{b，0，2}]；网格[前置[b表，样式[#，较深的[红色]]&/@{“三角形（B）=0”，“三角形（B）=+-1”，“增量（B）=+-2”}]，帧->全部]

屏幕上打印的行代表操作员的各种尺寸（5至12）。

运算符的显式表达式

除了列出/统计字段交互的各种方式外，Sym2Int公司可以自动调用相关苏西诺编码并计算场的显式规范和洛伦兹不变压缩（参见 ). 然而，为了加快计算速度，默认情况下不会这样做，因此用户必须使用“CalculateInvariants->True”选项。如中所述上一节，然后可以从GenerateListOfCouplings的输出中检索此信息。

再次考虑标准模型：

仪表组[SM]^={SU3，SU2，U1}；fld1={“u”，{3，1，2/3}，“R”，“C”，3}；fld2={“d”，{3，1，-1/3}，“R”，“C”，3}；fld3={“Q”，{3，2，1/6}，“L”，“C”，3}；fld4={“e”，{1，1，-1}，“R”，“C”，3}；fld5={“L”，{1，2，-1/2}，“L”、“C”，3}；fld6={“H”，{1，2，1/2}，“S”，“C”，1}；字段[SM]^={fld1，fld2，fld3，fld4，fld5，fld6}；operatorsDim4=GenerateListOfCouplings[SM，CalculateInvariants->True]；

变量运算符Dim4将包含一个列表｛op1，op2，…｝，其中每个opN的第7个位置就是我们要查找的。例如，以希格斯质量项（算符#1）为例：

运算符Dim4[[1，7]]

第一部分是具有三个指数的张量：

• 第一个指数覆盖了场的所有不同的独立规范和洛伦兹不变压缩。在$H^*H$的情况下，只有一个，因此该指数从1变为1。
• 以下两个指数乘以H[C]和H[R]的分量。由于希格斯场总共有两个分量，这些指数从1到2。

事实上，一般来说，字段$F^{（1）}$$F^{（n）}$相乘，它们可以收缩为$c^A_{i_1i_2…i_n}$F_{i_1}^{（1）}$$F_{i_n}^{（n）}$表示$A=1，。。。，其中，$m$是这些字段的独立规范和洛伦兹不变压缩数。程序精确地返回这个带有$n+1$索引的张量$c^A{i_1i_2…i_n}$。

假设每个字段只有一个索引，该索引浓缩了字段的规范分量和洛伦兹分量的所有信息。它的工作方式很简单：假设规范群是$G$，那么全规范+Lorentz群是$G乘以SU（2）{sp，L}乘以SU（注意，对于$U（1）$，没有使用索引）。因此，我们有十二个分量：Q[1,1,1,1]、Q[1,1,2,1]、Q[1,2,1,1]、Q[1,2,1,1]、Q[1,2,2,1]，Q[2,1,1]、Q[2,1,2]、Q[2,2,2,2]、Q[3,1,1]，Q[3,1,1,1]，Q[3,2,1,1]，Q[3,2,1]，Q[3,2,2,1]。回到我们的例子（希格斯质量算符），对于希格斯场，我们有分量H[1,1,1,1]和H[1,2,1,1]（或HC[1,1,1,1]和HC[1,2,1,1]，对于共轭的希格斯场；通常程序会在场名中添加一个“C”）。上述输出的第二部分显示了这些组件。

对于希格斯粒子的质量，我们知道$c^1_{i_1i_2}$应该与$\delta_{i_1I_2}$成正比，事实上是这样的：

矩阵形式/@operatorsDim4[[1，7，1]]

要将张量与场收缩，可以执行以下操作：

inv=运算符Dim4[[1,7]]；折叠[Dot，倒[[1]]，反转[inv[2]]]

再举一个例子&#8212轻子-Yukawa耦合（算符#4）：

inv=运算符Dim4[[4，7]]；折叠[Dot，倒[[1]]，反转[inv[2]]]

通常，这些显式表达式取决于为规范表示矩阵和洛伦兹表示矩阵选择的基础。关于计量基准，请参见 ; 至于洛伦兹表示的基础，可以制作一个没有量规组的简单玩具模型，并检查收缩$\psi_L\psi_L$和$\psi^*_L\psi_LV_\mu$是如何完成的：

gaugeGroup[testModel]^={}；费米子={“psi”，{}，“L”，“C”，1}；向量={“V”，{}，“V”、“R”，1}；字段[testModel]^={费米子，向量}；结果=GenerateListOfCouplings[testModel，CalculateInvariants->True]；{矩阵形式/@#[[1]]，#[2]]}&@result[[2，7]]结果[[3,7,1,1]].结果[[3，7,2,3]]//矩阵形式

特别是，产出的最后两行意味着指数收缩如下：\[-\psi{L}^{T}\epsilon\psi_{L}\；；\textrm{和}\；\；\psi_{L}^{\dagger}\left（\begin{array}{cc}V_{11}和V_{21}\\V_{12}和V_{22}\结束{数组}\right）\epsilon\psi_{L}\]这里，$\epsilon$是通常的反对称张量，其中$\epsilon_{11}=\epsilen_{22}=0$和$\epsion_{12}=1$。还要注意的是，向量的四个分量不是用$\mu=1,2,3,4$标记的，而是用两个整数$\left（j_{L}，j_{R}\right）=（1,1），（1,2），（2,1）。

作者
雷纳托·丰塞卡

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或
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上次更新时间
2024年3月5日