已知满足投影特性的某些深度（如半空间深度或投影深度）的计算复杂性很高，尤其是对于高维数据。在这种情况下，通常使用随机方法来近似精确深度：数据被投影到单位球面上均匀分布的有限个方向上，这些单变量投影的最小深度用于近似真实深度。我们为这个近似过程提供了理论背景。建立了几个一致性结果，并给出了相应的一致收敛速度。对于椭圆对称分布和半空间深度，表明得到的一致收敛速度很快。特别是，说明了为达到给定深度精度而选择随机投影数的准则。