紧集距离在拓扑数据分析领域中被广泛用于从点云推断几何和拓扑特征。在这种情况下，Chazal et al.，2011b引入了到概率测度（DTM）的距离，作为紧集距离的稳健替代。在实践中，DTM可以通过其经验对应物来估计，即到经验测度（DTEM）的距离。在本文中，我们对DTEM的偏差进行了严格控制。我们的分析依赖于对经验过程的局部分析。特别地，我们证明了DTEM的收敛速度直接取决于特定分位数函数在零点的正则性，该分位数函数包含一些关于支撑几何的局部信息。这个分位数函数是精确描述几何推理问题难度的相关量。几个数值实验证明了DTEM的收敛性，也证实了我们的边界是紧的。