我们研究了随机多面体（定义为i.i.d.随机点的凸壳）与其分布支撑的凸壳之间的Hausdorff距离。作为特例，我们考虑凸体上的均匀分布、接近凸体边界时以一定速率衰减的密度、高维凸体上均匀分布的投影以及凸体边界上的均匀分配。我们基本上区分了两种类型的凸体：边界光滑的凸体和多面体。在均匀分布的情况下，我们证明了在某种意义上，当支撑具有光滑边界时，随机多面体在Hausdorff度量下达到了最佳统计精度，而当支撑是多面体时，其统计精度最差。这有点令人惊讶，因为在Nikodym指标下，情况正好相反。我们在极小极大意义上证明了大多数结果的速率最优性。在均匀分布的情况下，我们将结果推广到Hausdorff度量的重标度版本。我们还处理了支持分布的泛函的估计，如平均宽度和直径。最后，我们证明了可以用简单的多面体表示来近似高维随机多面体，从而在不影响其统计精度的情况下显著降低其计算复杂性。