我们引入了一类新的倒向随机微分方程，其中解$（Y，Z）$的$T$-终端值$Y{T}$不是固定的随机变量，而是仅满足形式$E[\Psi（Y{T{）]\gem$的弱约束，对于一些（可能是随机的）非递减映射$\Psi$和一些阈值$m$。我们为他们命名具有弱终端条件的BSDE并获得最小时间$t$-值$Y{t}$的表示，使得$（Y，Z）$是具有弱终端条件的BSDE的上解。它提供了Bouchard、Elie和Touzi中受控损失下Markov随机目标问题的PDE特征的非Markov BSDE公式[SIAM J.控制优化。 48(2009/10) 3123–3150]. 然后我们研究这个最小值的主要性质。特别地，我们分析了它相对于弱终端条件中出现的$m$-参数的连续性和凸性，并说明了它如何与Meyer形式的对偶最优控制问题相关。这些最后的性质推广到了非马尔科夫框架，之前在Föllmer和Leukert中获得的关于分位数套期保值和损失约束下套期保值的结果[财务统计。 三（1999）251–273；财务统计。 4（2000）117–146]，以及Bouchard、Elie和Touzi（2009/10）。