所有素数平方梅森除数都是威弗里奇除数

作者:Chris Caldwell

人们经常问梅森(Mersenne)数字(带素数指数)是平方自由的。我们证明的定理以下内容很有可能是因为Wieferich素数非常罕见!但在解释这一点之前,让我们暂停一下,休息一下。

定理。
第页q个成为素数。如果第页2 划分M(M)q个然后是2(第页-1)/2≡ 1 (国防部第页2)特别是,第页是一个Wieferich素数。
证明。

首先要注意的是第页q个一定很奇怪。其他地方我们已经展示了如果第页除以Mq个,那么第页= 2千卡+1表示某个整数k个.所以

2q个≡ 2(第页-1)/2k个≡1(mod第页2).

k个次幂给出了定理的第一个结果。回想一下Wieferich素数是质数吗第页对于其中2第页-1≡1(mod第页2),这样我们可以提高2的模方程k个第个完成证明的权力。

注释。唯一的Wieferich素数小于6700000000000000分别是1093和3511。第一个不满足全部力定理的第二个定理从不除Mq个(带有q个素数),所以Mq个对于所有素数都是无平方的小于4●1012.

如果我们允许混合成的指数,然后是每个奇数平方n个2无限地除数许多“梅森”2-1; 只是制造任意倍数的(n个2),式中(n个)是欧拉函数. 然后我们知道n个2除以2-1(和的确b条-1代表所有人b条 相对地首要的n个)由欧拉定理.

从PrimePages打印<t5k.org>©Reginald McLean。