证明 $\sqrt{2}$ 是不合理的

假设平方根属于 $2$ (http://planetmath.org/SquareRootOf2)是理性的.然后我们可以写

\sqrt{2}=\frac{a}{b},

哪里 $a,b\in{\mathbb{N}}$ 和 $一$ 和 $b条$ 是相对最好的。然后 $\displaystyle 2=(\sqrt{2})^{2}=\left(\frac{a}{b}\right)^{2}=\frac{a^{2}}{b^{2}}$ 因此， $a^{2}=2b^{2}$ 因此， $2\mid a^{2}$ 。自 $2$ 是质数，它必须除法 $一$ .然后 $a=2c$ 对一些人来说 $c\in{\mathbb{N}}$ 因此， $2b^{2}=a^{2}=(2c)^{2}=4c^{2}$ ，屈服于此 $b^{2}=2c^{2}$ 因此， $2\mid b^{2}$ 。自 $2$ 是质数，它必须除法 $b条$ .

自 $2\mid a$ 和 $2\mid b$ ，我们有 $一$ 和 $b条$ 不是相对最好的，这与假说因此假设为false。它如下 $\sqrt{2}$ 是不合理的.

经过一点努力论点可以推广到任何正整数那不是一个正方形。让 $n个$ 是这样的整数.那么必须存在一个素数 $第页$ 和 $k,m\in{\mathbb{N}}$ 这样的话 $n=p^{k}m$ ，其中 $p\nmid m$ 和 $k个$ 很奇怪。假设 $\sqrt{n}=a/b$ ，其中 $a,b\in{\mathbb{N}}$ 并且是相对最好的。然后 $\displaystyle p^{k}m=n=(\sqrt{n})^{2}=\left(\frac{a}{b}\right)^{2}=\frac{a^{2}% }{b^{2}}$ 因此， $a^{2}=p^{k}mb^{2}$ 。来自算术基本定理，很明显 $第页$ 这就分裂了 $a^{2}$ 和 $b^{2}$ 是均匀的。自 $k个$ 很奇怪并且 $第页$ 不可分割 $米$ ，最大功率 $第页$ 这就分裂了 $p^{k}mb^{2}$ 也很奇怪。因此，对于 $a^{2}$ 因此，我们已经达到了矛盾和 $\sqrt{n}$ 一定是不合理的。

同样的论点可以进一步推广，例如，对于非方不可约分数和更高阶根的情况。

标题	证明 $\sqrt{2}$ 是不合理的
规范名称	证明Thatsqrt2Is不合理
创建日期	2013-03-22 12:39:13
上次修改时间	2013-03-22 12:39:13
所有者	Wkbj79（1863）
上次修改者	Wkbj79（1863年）
数字id	11
作者	Wkbj79（1863）
条目类型	证明
分类	msc 11J72系列
相关主题	不合理的
相关主题	苏德

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证明 $\sqrt{2}$ 是不合理的