费马数

这个 $n个$ -第费马数定义为：

F_{n}=2^{2^{n}}+1.

费马错误地推测所有这些数字都是素数，尽管他没有证据。前5个费马数： $3,5,17,257,65537$ （对应于 $n=0,1,2,3,4$ )都是素数费马素数)尤勒是第一个指出费马的错误的人猜想通过证明 $641$ 是一个除数属于 $F_{5}$ （事实上， $F_{5}=641\times 6700417$ ).此外，没有其他费马数是已知的素数 $n>4$ ，所以现在推测这些都是质数费马数。也不知道是否有无限多复合材料费马数与否。

高斯的著名成就之一是证明了正多边形属于 $米$ 侧面可以用直尺和罗盘当且仅当 $米$ 可以写为

m=2^{k}F_{r_{1}}F_{r_{2}}\cdots F_{r_{t}}

哪里 $k\geq 0$ 其他因素是形式的不同素数 $F_{n}$ （当然， $t吨$ 可能是 $0$ 这里，即。 $m=2^{k}$ 是允许的）。

有很多有趣的属性涉及费马数。例如：

F_{m}=F_{0}F_{1}\cdots F_{m-1}+2

对于任何 $m\geq 1$ ，这意味着 $F_{m}-2$ 是可除尽的所有较小的费马数。

前面的公式适用，因为

F_{m}-2=(2^{2^{m}}+1)-2=2^{2^{m}}-1=(2^{2^{m-1}}-1)(2^{2^{m-1}}+1)=(2^{2^{m-1}% }-1)F_{m-1}

并在最后递归展开左因子表达给出了期望的结果。

参考文献。
克里泽克，卢卡，萨默。费马数17讲。CMS数学书籍。

标题	费马数
标准名称	Fermat编号
创建日期	2013-03-22 11:42:46
上次修改时间	2013-03-22 11:42:46
所有者	德里尼（3）
上次修改者	德里尼（3）
数字id	30
作者	德里尼（3）
条目类型	定义
分类	msc 81T45号机组
分类	msc 81T13系列
分类	msc 11A51号机组
分类	msc 20L05级
分类	msc 46L87号
分类	msc 43A35号机组
分类	msc 43A25号
分类	msc 22D25号机组
分类	msc 55U40型
分类	骨髓基质细胞18B40
分类	msc 46L05号
分类	msc 22A22课程
分类	msc 81R50系列
分类	msc 55U35号
定义	费马质数