广义帕斯卡三角形

Adi Dani，2011年7月

关键词：帕斯卡三角形，斐波那契数。
与序列有关：A。。。。。。,

表由行m，m>=0和列k，k>=0构成。如果在表的m行和k列的公共单元格中

我们放置自然数k在集上分为m部分的合成数Is叫做帕斯卡

s阶三角形，s>1。如果我们应用以下两个非常简单的规则，就可以构造固定s的表

${\显示样式{\binom{0}{0}}{s}=1，{\binom{0}{k}}{s}=0，k>0\，}$

2. 放置在第m行中的每个元素，m>0是列中第一个相邻元素的总和

他的s-1直接邻居被安排在左边。此规则基于重复

$显示样式{\binom{m}{k}}{s}=\sum{i=0}^{s-1}{\binom{m-1}{k-i}}{s}，}$

这些表有许多有趣的属性，对于s=2给出了众所周知的Pascal三角形（这是广义的

在许多方面，它们似乎是人为的或被迫的）。我们认为这里的概括比其他的更自然。

首先由Bondarenko完成

对于s=1，我们得到了一个平凡的表，它在第一列中包含1，而所有其他元素都为零。

从上述s=2的公式中，我们可以导出以下公式

${\显示样式{\binom{0}{0}}=1，{\binom{0}{k}}=0，k>0\，}$

${\显示样式{\binom{m}{k}}={\binom{m-1}{k{}}+{\binrom{m-1{k}{}，m>0\，}$

根据这些公式，我们可以逐行构造帕斯卡三角形。根据第一个公式

除第一个元素为1外，第一行的每个元素都为0。根据第二个公式，每个元素是

他的前一排邻居和他的左邻居，这样我们得到下表

米\k	0	1	2	三	4	5	..	$｛\displaystyle\scriptstyle{c}_{m} （I_{2}）}$
0	1	0	0	0	0	0	.	1
1	1	1	0	0	0	0	.	2
2	1	2	1	0	0	0	.	4
三	1	三	三	1	0	0	.	8
4	1	4	6	4	1	0	.	16
5	1	5	10	10	5	1	.	32
..	.	.	.	.	.	.	.	.

根据s=2的公式[V]，我们得到

{\displaystyle\sum_{i=0}^{m}{\binom{m}}{i}}^{2}={\binom{2m}{m}}\，}

帕斯卡三角形第m行中条目的平方和。这些数字构成序列A000984号

根据上述s=3的公式，我们可以导出以下公式

${\显示样式{\binom{0}{0}}{3}=1，{\binom{0}{k}}{3}=0，k>0\，}$

$显示样式{\binom{m}{k}}{3}={\binom{m-1}{k{3}+{\binrom{m-1{k-1}}{{3}+$

根据这些公式，我们可以逐行构造帕斯卡三角形。根据第一个公式

除了第一个元素是1之外，第一行的每个元素都是0。根据第二个公式，每个元素是

他的前一排邻居和他剩下的两个邻居，这样我们得到了下表

A027907号，对角线和A00073

对于s=3，从[V]可以得到

{\displaystyle\sum_{i=0}^{2m}{\binom{m}{i}}{3}^{2}={\binom{2m}}{2m}{3}\，}

对于m-->2m和k-->2m，我们从[SB]得到

显示样式{\binom{2m}{2m}}{3}=\sum_{i=0}^{2m}（-1）^{i}{\binom{2m}{i}}{\biom{4m-3i-1}{2m-3i}}\，}

这就是序列A082758号

根据上述s=4的公式，我们可以推导出以下公式

${\显示样式{\binom{0}{0}}_{4}=1，{\binom{0}{k}}_4}=0，k>0\，}$

${\显示样式{\binom{m}{k}}{4}={\binom{m-1}{k{4}+{\binrom{m-1{k-1}}{k4}+}\binom}m-1}}}{k-2}}{4}+{\biom{m1}{k-3}}{4]，m>0\，}$

根据这些公式，我们可以逐行构造帕斯卡三角形。根据第一个公式

除第一个元素为1外，第一行的每个元素都为0。根据第二个公式，每个元素是

他的前一排邻居和他剩下的三个邻居，这样我们得到了下表

米\k	0	1	2	三	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	..	$｛\displaystyle\scriptstyle{c}_{m} （I_{4}）}$
0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	.	1
1	1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	.	4
2	1	2	三	4	三	2	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	.	16
三	1	三	6	10	12	12	10	6	三	1	0	0	0	0	0	0	.	64
4	1	4	10	20	31	40	44	40	31	20	10	4	1	0	0	0	.	256
5	1	5	15	35	65	101	135	155	155	135	101	65	35	15	5	1	.	1024
..	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.