对话：收敛常数表

十进制展开表代码

起初我使用Mathematica代码

安静[表格[{l=x+Random[]；对于[a=1，a<190，c=收敛[l，30]；l=来自ContinuedFraction[c]，a++]；打印[“|-\[IndentingNewLine]|<math>\scriptstyle”，x，“\，<，x \，<\，”1，x+1，“\，</math>||”，N[l，36]]}，{x，0，64}]; // 表格]

然后把桌面贴上去。

然后我发现可以通过增加使用的收敛次数来提高精度，比如

安静[表格[{l=x+Random[]；对于[a=1，a<190，c=收敛[l，50]；l=来自ContinuedFraction[c]，a++]；打印[“|-\[IndentingNewLine]|<math>\scriptstyle”，x，“\，<，x \，<\，”1，x+1，“\，</math>||”，N[l，36]]}，{x，0，64}]; // 表格]

36位数字中仍有太多不确定性，所以我想我应该从中减去10位数字

安静[表格[{l=x+Random[]；对于[a=1，a<80，c=收敛[l，80]；l=来自ContinuedFraction[c]，a++]；打印[“|-\[IndentingNewLine]|<math>\scriptstyle”，x，“\，<，x \，<\，”1，x+1，“\，</math>||”，N[l，10]]}，{x，0，64}]; // 表格形式]

续分数表

安静[表格[{l=x+Random[]；对于[a=1，a<90，c=收敛项[l，90]；l=来自ContinuedFraction[c]，a++]；打印[“|-\[IndentingNewLine]|<math>\scriptstyle”，x，“\，<\，x\，<\，”1，x+1，“\，</math>||”，N[l，15]]｝，｛x，0，64}]; // 表格]

将变量倾斜

我之前将${\显示样式\脚本样式n\，}$具有

\文本{随机}~n

\text{收敛~常数}（n）

因为斜体化变量是常见的数学惯例-丹尼尔·福格斯2011年5月23日14:21（UTC）

未解决问题

一个悬而未决的问题是确定“最多”意味着什么：所有无理数?, 全部的超越数?, ... 所有数字都具有适用于“大多数”数字的未知属性？都是有理数排除？关于二次数? —丹尼尔·福格斯2011年5月20日01:38（UTC）

我认为这是一种更好的措辞，即“他们具有未知的品质”。（其他数字是“特殊情况”。）-马文·雷·伯恩斯2011年5月21日21:09（UTC）

我真的怀疑二次数 ${\显示样式\脚本样式x\，}$可能不会给出中“大多数”数字的收敛常数${\显示样式\脚本样式n\，<，x，<，n+1，}$自从二次数的单连分式是最终是周期性的.可能是那样吗代数数三阶或更高阶和超越数 ${\显示样式\脚本样式x\，}$给出中“大多数”数的收敛常数${\显示样式\脚本样式n\，<，x，<，n+1，}$，因为只有那些${\显示样式\脚本样式x\，}$你得到了一个无限的非最终周期的简单连分式吗。“大多数”，因为超越数是无限的（基数${\displaystyle\scriptstyle\aleph_{1}\，}$)而代数数是可数无限的（基数${\displaystyle\scriptstyle\aleph_{0}\，}$.)

—丹尼尔·福格斯2011年5月22日22:05（UTC）

到目前为止，收敛常数的计算都是由Mathematica完成的，当Mathematia取11/5的连分式时，给出了这个问题的可能答案；它给出了{2,5}答案的整数部分和偏商。然而，如果你要求Mathematica取2.2的cf（一个已知不具备上述未知性质的数字），它只给出整数部分。因此，当您从一个特殊情况开始时，Mathematica返回的cf精度似乎低于预期，并且您得到了一些意外的结果。这就是为什么这些特殊情况如此顽固。—马文·雷·伯恩斯2011年6月7日03:02（UTC）

整数部分和部分分母模式

描述奇数行和偶数行的模式的最佳方式是什么？

[丹尼尔·福格斯2011年5月23日14:21（UTC）]（开始）

模式的暂定公式（因为我们有少量区间）

${\显示样式a{0}（n）=a{1}（n）=n，\quad n\geq 2，\，}$

$显示样式a{2}（n）={\Bigg\lfloor}{\frac{n}{2}{\Big\rfloor}，\quad n\geq 2，\，}$

$显示样式a{3}（n）=1+（2n-1）~{比格（}{frac{1+（-1）^{n}}{2}}{Bigg）}，\quadn\geq6，\，}$

${\显示样式a_{4}（n）=~？，\ldots\，}\ldots\，}$

（结束）

很明显，奇数n的a_4（n），=1，偶数n的4*a_3（n）。马文·雷·伯恩斯2011年5月23日23:57（UTC）

你所说的适用于a_3（n），这是自第一项以来的第四项a_0（n）（a的整数部分连分数被称为a0，）a4（n）并不明显-丹尼尔·福格斯2011年5月24日17:32（UTC）

看起来

$显示样式a_{4}（n）=1\，}$

如果${\显示样式\脚本样式n\，}$很奇怪，而且

$显示样式a_{4}（n）={\Bigg\lceil}{\frac{n}{6}{\Big\rceil}，\quadn\geq6，\，}$

如果${\显示样式\脚本样式n\，}$是偶数，当你进入

安静[表格[{l=x+Random[]；对于[a=1，a<30，c=收敛[l，30]；l=从连续分数[c]，a++]；，编号[l，10]，打印[x，“”，ContinuedFraction[l，Floor[x/2]+2][[5]]}，{x，6, 60}]; // 表格]

进入Mathematica。

似乎以下定义${\显示样式\脚本样式a{5}（n）.\，}$

对于${\显示样式\脚本样式n{\bmod{6}}\，=\，0\，}$

${\显示样式a{5}（n）=\，}$

${\显示样式9n+4\，}$对于${\显示样式1<n\leq 6\，}$

${\显示样式9n+2\，}$对于${\显示样式6$

$｛\displaystyle 9n+1\，｝$对于${\显示样式12<n\leq 24\，}$

${\显示样式9n+0\，}$对于$｛\displaystyle 24＜n\leq~？\，｝$

其他的

${\显示样式a{5}（n）=\，}$

${\显示样式（n-1）/2\，}$对于${\显示样式n~{\bmod{~}}6=1\，}$

${\显示样式2\，}$对于${\显示样式n~{\bmod{~}}6=2\，}$

${\显示样式（n-1）/2\，}$对于${\显示样式n~{\bmod{~}}6=3\，}$

${\显示样式1\，}$对于${\显示样式n~{\bmod{~}}6=4\，}$

${\显示样式（n-1）/2\，}$对于${\显示样式n~{\bmod{~}}6=5.\，}$

要在Mathematica中查看，请输入

表[{n，其中[n≤6，其中[Mod[n，6]==0，9 n+4，Mod[n，6]==1，（n-1）/2，Mod[n，6]==2，2，Mod[n，6]==3，（n-1）/2，Mod[n，6]==4，1，模态[n，6]==5，（n-1）/2]，n≤12，其中[Mod[n，6]==0，9 n+2，Mod[n，6]==1，（n-1）/2，Mod[n，6]==2，2，Mod[n，6]==3，（n-1）/2，Mod[n，6]==4，1，模态[n，6]==5，（n-1）/2]，n≤24，其中[Mod[n，6]==0，9 n+1，Mod[n，6]==1，（n-1）/2，Mod[n，6]==2，2，Mod[n，6]==3，（n-1）/2，Mod[n，6]==4，1，模态[n，6]==5，（n-1）/2]，n＜＝100时，其中[Mod[n，6]==0，9 n，Mod[n，6]==1，（n-1）/2，Mod[n，6]==2，2，Mod[n，6]==3，（n-1）/2，Mod[n，6]==4，1，模态[n，6]==5，（n-1）/2]]}，{n，1，60}]//表格

并看到它给出的结果与

安静[表格[{l=x+Random[]；对于[a=1，a<30，c=收敛[l，30]；l=从连续分数[c]，a++]；，编号[l，10]，打印[x，“”，ContinuedFraction[l，Floor[x/2]+7][[6]]}，{x，1, 60}]; // 表格]

—马文·雷·伯恩斯2011年5月29日20:44（UTC）

的模式${\显示样式\脚本样式a{6}（n）\，}$在Mathematica中证明是正确的${\显示样式\脚本样式n\，>\，24\，}$

在[189]中：=p=表[{n，其中[Mod[n，6]==5，Floor[n*2/3]，Mod[n，6]==4，2，Mod[n，6]==3，Floor[n*2/3]-1，Mod[n,6]==2，1，Mod[n，6]==1，Floor[n*2/3]，Mod[n,6]==0，如果[n>24，楼层[（n-1）/24]，“跳过”]}，{n，25，100}]；在[190]中：=q=安静[表[l=x+随机[]；表[c=收敛[l，30]；l=从连续分数[c]，{a，1，30}]；{x，f=连续分数[l，a][[6+1]]}，{x，25100}]]；在[191]中：=FullSimplify[p==q]Out[191]=正确

—马文·雷·伯恩斯2011年6月9日00:32（UTC）

参考注释

Dan，我提到了收敛常数表‎到cc的证明（[1，2]）；这份参考资料需要稍加修饰。—马文·雷·伯恩斯2011年6月22日00:41（UTC）

我必须调试{{Cite网站}}模板，即去掉末尾出现的虚假链接（链接只应包装在标题下）。所有带有web链接的引文模板（例如。{{Cite网站}},{{Cite arXiv公司}}, ...) 这样做。除了这个错误，所有的引文模板都工作正常-丹尼尔·福格斯2011年6月22日01:43（UTC）

Dan I在cc（n）上有一个小发现，其中0<n<1：如果一个iterate（FromContinuedFraction的结果）大于1，那么cc将与其他具有相同积分值的cc相同。例如，当计算cc（3/100）时，迭代次数为

0.02997275204359673, 0.05968841510642278, 1.996553370372146, 1.4141268406012069, 1.4946426911647988, 1.4997306225168652, 1.4999865180117422, 1.4999993258613324, 1.4999999662930517, 1.4999999983146521, 1.4999999999157325, 1.4999999999957867, 1.4999999999997893, 1.4999999999999896, 1.4999999999999996,...

一旦迭代变成1.996553370372146，cc就注定要变成3/2，正如Yuval Filmus所证明的那样。我会把这张便条放在谈话页上。

对于0<x<1

以下Mathematica实验表明${\显示样式\脚本样式0\，<\，x\，<\\，1\，}$如果iterate>1且不是整数，则其他iterate都不是整数，并且收敛常数（cc）将与具有相同积分值的其他cc相同。如果一个iterate变成了一个整数，那么cc就是这个整数。否则cc为0.555753104278

对于合理的起点

表[{l=x/100，表格窗体[表〔｛c＝安静〔收敛〔合理化〔l〕，50〕〕；N[l=FromContinuedFraction[c]]}，{a，6}]，TableHeadings->Automatic]}，{x，1，400}]//表格

.对于不合理的l起点
（这些数字并不是完全无理的，但它们的行为就像无理数，最多可达几个数字。）

表[{l=x/100+随机[]，表格窗体[表[{c=安静[收敛[合理化[l]，50]]；N[l=FromContinuedFraction[c]]}，{a，6}]，TableHeadings->Automatic]}，{x，1，400}]//表格