切比雪夫多项式的特殊情况

这个切比雪夫多项式有许多以其他名称研究过的特殊情况，最著名的是卢卡斯多项式.

表示方式${\显示样式\脚本样式T_{n}（x）\，}$这个第一类切比雪夫多项式和依据${\显示样式\脚本样式U_{n}（x）\，}$这个第二类切比雪夫多项式.

迪克森多项式

第一类狄克逊多项式

Dickson多项式（第一类）${\显示样式\脚本样式D_{n}（x，\，\alpha）\，}$由定义

${\显示样式D_{n}（x，\alpha）={\开始{案例}2，&{\mbox{if}}n=0，\\sum_{p=0}^{\lfloor{\frac{n}{2}}\rfloor}{\frac{n}}~{\binom{n-p}{p}}~（-\alpha）^{p}~x^{n-2p}，&{{案例}2，&{\mbox{if}}n=0，\\sum_{p=0}^{\lfloor{\frac{n}{2}}\rfloor}{\frac{n}}~{\binom{n-p}{p}}~（-\alpha）^{p}~x^{n-2p}，&{$

第一类狄克逊多项式的前几项是

${\显示样式D_{0}（x，\alpha）=2\，}$

${\显示样式D_{1}（x，\alpha）=x\，}$

${\显示样式D_{2}（x，\alpha）=x^{2}-2\阿尔法\，}{2}-2\阿尔法\，}$

${\显示样式D_{3}（x，\alpha）=x^{3} -3倍\阿尔法\，}{3} -3倍\阿尔法\，}$

${\显示样式D_{4}（x，\alpha）=x^{4} -4倍^{2} \alpha+2\alpha^{2}.\，}{4} -4倍^{2} \alpha+2\alpha^{2}.\，}$

第一类Dickson多项式（带𝞪 = 1)

Dickson多项式（带有𝞪=1)${\显示样式\脚本样式D_{n}（x）\，\equiv\，D_{n}（x，1）\，}$由提供

$｛\displaystyle D_｛n｝（x）\equiv D_｛n｝（x，1）=｛\ begin{案例}2，&{\mbox{if}}n=0，\\sum_{p=0}^{\lfloor{\frac{n}{2}}\rfloor}{\frac{n}}~{\binom{n-p}{p}}~（-1）^{p}~x^{n-2p}，&{{案例}2，&{\mbox{if}}n=0，\\sum_{p=0}^{\lfloor{\frac{n}{2}}\rfloor}{\frac{n}}~{\binom{n-p}{p}}~（-1）^{p}~x^{n-2p}，&{$

前几个Dickson多项式（带有𝞪 = 1） 是

${\显示样式D_{0}（x）=2\，}$

${\显示样式D_{1}（x）=x\，}$

${\显示样式D_{2}（x）=x^{2}-2\,}{2}-2\,}$

${\显示样式D_{3}（x）=x^{3} -3倍\,}{3} -3倍\,}$

${\显示样式D_{4}（x）=x^{4} -4倍^{2}+2\,}{4} -4倍^{2}+2\,}$

Dickson多项式（带𝞪=1), ${\显示样式\脚本样式D_{n}（x）\，}$，相当于切比雪夫多项式 ${\显示样式\脚本样式T_{n}（x）\，}$变量发生微小变化

$显示样式D_{n}（2x）=2T_{n}（x）\，}$

第二类狄克逊多项式

第二类Dickson多项式${\显示样式\脚本样式E_{n}（x，\，\alpha）\，}$由定义

$E_{n}（x，\alpha）=\sum_{p=0}^{\lfloor{\frac{n}{2}\rfloor}{\binom{n-p}{p}}~（-\alpha）^{p}~x^{n-2p}，\quadn\geq0.$

它们的研究不多，并且具有类似于第一类狄克逊多项式的性质。

第二类的前几个迪克森多项式是

${\显示样式E_{0}（x，\alpha）=1\，}$

${\显示样式E_{1}（x，\alpha）=x\，}$

${\显示样式E_{2}（x，\alpha）=x^{2}-\阿尔法\，}{2}-\阿尔法\，}$

${\显示样式E_{3}（x，\alpha）=x^{3} -2倍\阿尔法\，}{3} -2倍\阿尔法\，}$

${\显示样式E_{4}（x，\alpha）=x^{4} -3倍^{2} \alpha+\alpha^{2}.\，}{4} -3倍^{2} \alpha+\alpha^{2}.\，}$

斐波那契多项式

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的顺序斐波那契多项式 $｛\displaystyle\scriptstyleF_｛n｝（x）\，｝$是一个多项式序列由定义递推关系（与第二类切比雪夫多项式，位于右侧）

${\显示样式U_{n}（x）等于{\开始{箱}1x^{0}=1，&{\mbox{if}}n=0，\\2x^{1}=2x，&{\nmbox{if}}n=1，\\2x^{1{1}~U{n-1}（x）-1x^{0}~U_{n-2}（x），&{{箱}1x^{0}=1，&{\mbox{if}}n=0，\\2x^{1}=2x，&{\nmbox{if}}n=1，\\2x^{1{1}~U{n-1}（x）-1x^{0}~U_{n-2}（x），&{$

${\显示样式F_{n}（x）={\开始{案例}0x^{0}=0，&{mbox{if}}n=0，\\1x^{0}+0x^{1}=1，&{msox{if{}n=1，\\x^{1} F类_{n-1}（x）+x^{0}传真_{n-2}（x），&{\mbox{if}}n\geq2.\end{cases}}\，}{案例}0x^{0}=0，&{mbox{if}}n=0，\\1x^{0}+0x^{1}=1，&{msox{if{}n=1，\\x^{1} F类_{n-1}（x）+x^{0}传真_{n-2}（x），&{\mbox{if}}n\geq2.\end{cases}}\，}$

这个普通生成函数对于序列斐波那契多项式是

$显示样式G{{F{n}（x）}}（t）=\sum_{n=0}^{infty}F{n{}（x）~t^{n}={frac{t}{1-t（x+t）}}.\，}$

斐波那契多项式

${\显示样式n\，}$	${\显示样式F_{n}（x）=\，}$	${\显示样式a_{0}x^{0}\,}{0}x^{0}\,}$	$｛\displaystyle+a｝_{1} x个^{1}\,}{1} x个^{1}\,}$	${\显示样式+a_{2} x个^{2} \，｝{2} x个^{2} \，｝$	${\显示样式+a_{3} x个^{3}\,}{3} x个^{3}\,}$	${\显示样式+a_{4} x个^{4}\,}{4} x个^{4}\,}$	${\显示样式+a_{5} x个^{5}\,}{5} x个^{5}\,}$	${\显示样式+a_{6} x个^{6}\,}{6} x个^{6}\,}$	${\显示样式+a_{7} x个^{7}\,}{7} x个^{7}\,}$	${\显示样式+a_{8} x^{8}\,}{8} x^{8}\,}$	$｛\displaystyle+a｝_{9} x个^{9}\,}{9} x个^{9}\,}$	${\显示样式+a_{10} x个^{10}\,}{10} x个^{10}\,}$	${\显示样式+a_{11} x个^{11}\,}{11} x个^{11}\,}$	${\显示样式+a_{12} x个^{12}\,}{12} x个^{12}\,}$
0	${\显示样式F_{0}（x）=\，}$	${\显示样式+0\，}$
1	${\显示样式F_{1}（x）=\，}$	${\显示样式+1，}$	${\显示样式+0\，}$
2	${\显示样式F_{2}（x）=\，}$		${\显示样式+x\，}$	$｛\displaystyle+0\，｝$
三	${\显示样式F_{3}（x）=\，}$	${\显示样式+1，}$		${\显示样式+x^{2}\，}$	${\显示样式+0\，}$
4	${\显示样式F_{4}（x）=\，}$		${\显示样式+2x\，}$		${\显示样式+x^{3}\，}$	${\显示样式+0\，}$
5	${\显示样式F_{5}（x）=\，}$	${\显示样式+1，}$		${\显示样式+3x^{2}\，}$		${\显示样式+x^{4}\，}$	${\显示样式+0\，}$
6	${\显示样式F_{6}（x）=\，}$		${\显示样式+3x\，}$		${\显示样式+4x^{3}\，}$		${\显示样式+x^{5}\，}$	${\显示样式+0\，}$
7	$｛\displaystyleF_｛7｝（x）=\，｝$	${\显示样式+1，}$		${\显示样式+6x^{2}\，}$		${\显示样式+5x^{4}\，}$		${\显示样式+x^{6}\，}$	${\显示样式+0\，}$
8	${\显示样式F_{8}（x）=\，}$		${\显示样式+4x\，}$		${\显示样式+10x^{3}\，}$		${\显示样式+6x^{5}\，}$		${\显示样式+x^{7}\，}$	${\显示样式+0\，}$
9	${\显示样式F_{9}（x）=\，}$	${\显示样式+1，}$		${\显示样式+10x^{2}\，}$		${\显示样式+15x^{4}\，}$		${\显示样式+7x^{6}\，}$		${\显示样式+x^{8}\，}$	${\显示样式+0\，}$
10	$｛\displaystyleF_｛10｝（x）=\，｝$		${\显示样式+5x\，}$		${\显示样式+20x^{3}\，}$		${\显示样式+21x^{5}\，}$		${\显示样式+8x^{7}\，}$		${\显示样式+x^{9}\，}$	${\显示样式+0\，}$
11	${\显示样式F_{11}（x）=\，}$	${\显示样式+1，}$		${\显示样式+15x^{2}\，}$		${\显示样式+35x^{4}\，}$		${\显示样式+28x^{6}\，}$		${\显示样式+9x^{8}\，}$		${\显示样式+x^{10}\，}$	${\显示样式+0\，}$
12	${\显示样式F_{12}（x）=\，}$		${\显示样式+6x\，}$		${\显示样式+35x^{3}\，}$		${\显示样式+56x^{5}\，}$		$｛\displaystyle+36x^｛7｝\，｝$		${\显示样式+10x^{9}\，}$		${\显示样式+x^{11}\，}$	${\显示样式+0\，}$

如果你看一下斐波那契多项式三角形，您将看到对应于奇数的上升对角线${\显示样式\脚本样式n\，}$是“（1,1）-Pascal多项式“。1级列有自然数作为系数，2次列具有三角形数作为系数，3次列具有四面体数作为系数，依此类推…（参见（1,1）-Pascal三角形，即。帕斯卡三角形.)

卢卡斯多项式

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这个卢卡斯多项式（或卡丹多项式)由创建埃杜亚德·卢卡斯1878年学习线性递推关系,质数，以及数学的其他方面。

的顺序卢卡斯多项式 ${\显示样式\脚本样式L_{n}（x）\，}$是一个多项式序列由递推关系（与相比第一类切比雪夫多项式右侧重复）

${\显示样式T_{n}（x）等于{\开始{箱}1x^{0}=1，&{mbox{if}}n=0，\\1x^{1}=x，&{msox{if{}n=1，\\2x^{1}~T_{n-1}（x）-1x^{0}~T_}n-2}（x），&{{箱}1x^{0}=1，&{mbox{if}}n=0，\\1x^{1}=x，&{msox{if{}n=1，\\2x^{1}~T_{n-1}（x）-1x^{0}~T_}n-2}（x），&{$

${\显示样式L_{n}（x）={\开始{箱}2x^{0}=2，&{\mbox{if}}n=0，\\1x^{1}=x，&{\ mbox{if}}n=1，\\x^{1} L（左）_{n-1}（x）+x^{0}左_{n-2}（x），&{\mbox{if}}n\geq2.\end{cases}}\，}{箱}2x^{0}=2，&{\mbox{if}}n=0，\\1x^{1}=x，&{\ mbox{if}}n=1，\\x^{1} L（左）_{n-1}（x）+x^{0}左_{n-2}（x），&{\mbox{if}}n\geq2.\end{cases}}\，}$

这个普通生成函数Lucas多项式的

$显示样式G{{L_{n}（x）}}（t）=\sum_{n=0}^{infty}L_{n}（x）~t^{n}={frac{2-xt}{1-t（x+t）}}.\，}$

卢卡斯多项式

${\显示样式n\，}$	${\显示样式L_{n}（x）=\，}$	${\显示样式a_{0}x^{0}\,}{0}x^{0}\,}$	$｛\displaystyle+a｝_{1} x个^{1}\,}{1} x个^{1}\,}$	${\显示样式+a_{2} x个^{2}\,}{2} x个^{2}\,}$	${\显示样式+a_{3} x个^{3}\,}{3} x个^{3}\,}$	${\显示样式+a_{4} x个^{4}\,}{4} x个^{4}\,}$	${\显示样式+a_{5} x个^{5}\,}{5} x个^{5}\,}$	${\显示样式+a_{6} x个^{6}\,}{6} x个^{6}\,}$	${\显示样式+a_{7} x个^{7} \，｝{7} x个^{7} \，｝$	${\显示样式+a_{8} x^{8}\,}{8} x^{8}\,}$	$｛\displaystyle+a｝_{9} x个^{9}\,}{9} x个^{9}\,}$	${\显示样式+a_{10} x个^{10}\,}{10} x个^{10}\,}$	${\显示样式+a_{11} x个^{11}\,}{11} x个^{11}\,}$	${\显示样式+a_{12} x个^{12}\,}{12} x个^{12}\,}$
0	${\显示样式L_{0}（x）=\，}$	${\显示样式+2\，}$
1	$｛\displaystyleL_｛1｝（x）=\，｝$		${\显示样式+x\，}$
2	${\显示样式L_{2}（x）=\，}$	${\显示样式+2\，}$		${\显示样式+x^{2}\，}$
三	$｛\displaystyle L_｛3｝（x）=\，｝$		${\显示样式+3x\，}$		${\显示样式+x^{3}\，}$
4	${\显示样式L_{4}（x）=\，}$	${\显示样式+2\，}$		${\显示样式+4x^{2}\，}$		${\显示样式+x^{4}\，}$
5	${\显示样式L_{5}（x）=\，}$		${\显示样式+5x\，}$		${\显示样式+5x^{3}\，}$		${\显示样式+x^{5}\，}$
6	${\显示样式L_{6}（x）=\，}$	${\显示样式+2\，}$		${\显示样式+9x^{2}\，}$		$｛\displaystyle+6x^｛4｝\，｝$		${\显示样式+x^{6}\，}$
7	${\显示样式L_{7}（x）=\，}$		${\显示样式+7x\，}$		${\显示样式+14x^{3}\，}$		$｛\displaystyle+7x^｛5｝\，｝$		${\显示样式+x^{7}\，}$
8	${\显示样式L_{8}（x）=\，}$	${\显示样式+2\，}$		${\显示样式+16x^{2}\，}$		${\显示样式+20x^{4}\，}$		${\显示样式+8x^{6}\，}$		${\显示样式+x^{8}\，}$
9	${\显示样式L_{9}（x）=\，}$		${\显示样式+9x\，}$		${\显示样式+30x^{3}\，}$		${\显示样式+27x^{5}\，}$		${\显示样式+9x^{7}\，}$		${\显示样式+x^{9}\，}$
10	$｛\displaystyle L_｛10｝（x）=\，｝$	${\显示样式+2\，}$		${\显示样式+25x^{2}\，}$		${\显示样式+50x^{4}\，}$		${\显示样式+35x^{6}\，}$		$｛\displaystyle+10x^｛8｝\，｝$		${\显示样式+x^{10}\，}$
11	${\显示样式L_{11}（x）=\，}$		${\显示样式+11x\，}$		${\显示样式+55x^{3}\，}$		${\显示样式+77x^{5}\，}$		${\显示样式+44x^{7}\，}$		${\显示样式+11x^{9}\，}$		${\显示样式+x^{11}\，}$
12	${\显示样式L_{12}（x）=\，}$	${\显示样式+2\，}$		${\显示样式+36x^{2}\，}$		${\显示样式+105x^{4}\，}$		${\显示样式+112x^{6}\，}$		$｛\displaystyle+54x^｛8｝\，｝$		${\显示样式+12x^{10}\，}$		${\显示样式+x^{12}\，}$

如果你看一下卢卡斯多项式三角形，您将看到对应于偶数的上升对角线${\显示样式\脚本样式n\，}$是“（1,2）-Pascal多项式“。1级列有奇数作为系数，2次列具有平方数作为系数，3次列具有平方金字塔数作为系数，依此类推…（参见（1,2）-Pascal三角形，即。卢卡斯三角形.)

Boubaker多项式

${\显示样式{\开始{对齐}B_{0}（x）&=1\\B_{1}^{4}-2\\B_{5}（x）&=x^{5} -x个^{3} -3倍\\\结束{对齐}}{对齐}B_{0}（x）&=1\\B_{1}^{4}-2\\B_{5}（x）&=x^{5} -x个^{3} -3倍\\\结束{对齐}}$

Boubaker多项式可以由递推关系

${\显示样式B_{n}（x）={\开始{案例}1,&{\mbox{if }}n=0,\\x,&{\mbox{if }}n=1,\\x^{2}+2,&{\mbox{if }}n=2,\\xB_{n-1}(x)-B_{n-2}(x),&{\mbox{if }}n\geq 3.\end{cases}}\,}{案例}1,&{\mbox{if }}n=0,\\x,&{\mbox{if }}n=1,\\x^{2}+2,&{\mbox{if }}n=2,\\xB_{n-1}(x)-B_{n-2}(x),&{\mbox{if }}n\geq 3.\end{cases}}\,}$

它们由闭式公式

$B_{n}（x）=\sum_{p=0}^{\lfloor{\frac{n}{2}}\rfloor}{\frac{n-4p}{n-p}}{\binom{n-p{p}}~（-1）^{p}~x^{n-2p}.\，$

这个普通生成函数是

${\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}B_{n}（x）~t^{n}={\frac{1+3t^{2}}{1-t（t-x）}}.\，}$

就第二类切比雪夫多项式，我们有

$显示样式B_{n}（x）=U_{n{（{\tfrac{x}{2}}）+3~U_{n-2}$

在这两方面第一类切比雪夫多项式和第二类切比雪夫多项式，我们有

$显示样式B_{n}（2x）=-2~T_{n}（x）+4x~U{n-1}（x）.，}$