Omega（n），n的素因子数（具有多重性）

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功能${\显示样式\脚本样式\欧米茄（n）\，}$计算n的素因子（具有多重性），其中${\显示样式\脚本样式n\，}$是一个正整数，每个n的不同素因子被计算为其正分权数的倍${\显示样式\脚本样式n\，}$.

来自标准素因式分解属于${\显示样式\脚本样式n\，}$

${显示样式n=\prod_{i=1}^{ω（n）}{p{i}}^{alpha{i}，\，}$

哪里${\显示样式\脚本样式\ omega（n）\，}$是n的不同素因子数和每个${\displaystyle\scriptstyle\alpha_{i}\，=\，\nu_{p{i}}（n）\，}$，其中${\显示样式\脚本样式\nu_{p{i}}（n）\，}$是${\显示样式\脚本样式p_{i}\，}$-的进位阶${\显示样式\脚本样式n\，}$，我们有

${显示样式\Omega（n）\equiv\sum_{i=1}^{\Omega（n$

哪里${\显示样式\脚本样式\nu_{p}（n）\，}$是p-adic阶属于${\显示样式\脚本样式n\，}$，即最高指数${\显示样式\脚本样式\菜单\，}$质数的${\显示样式\脚本样式p\，}$这样的话${\显示样式\脚本样式p^{\菜单}\，}$划分${\显示样式\脚本样式n\，}$.

例如，对于${\显示样式\脚本样式n\，=，44100\，=，（3\cdot 7）^{2}\cdot（2\cdot 5）^{2}\，=\，2^{2}3^{2} 5个^{2}7^{2}\,}{2}3^{2} 5个^{2}7^{2}\,}$我们有$｛\displaystyle\scriptstyle\Omega（44100）\，=\，\Omega（2^{2}3^{2} 5个^{2}7^{2} ）\，=\，8\，｝{2}3^{2} 5个^{2}7^{2} ）\，=\，8\，｝$，作为${\显示样式\脚本样式n\，}$是2、2、3、3、5、5、7和7。

显然${\显示样式\脚本样式\欧米茄（1）\，=\，0\，}$因为1是no的乘积素数、和用于${\显示样式\脚本样式p\，}$我们有最好的${\显示样式\脚本样式\欧米茄（p）\，=\，1\，}$因为素数只有一个素因子（本身）。

公式

代数上，我们可以定义${\显示样式\脚本样式\欧米茄（n）\，}$对于复合材料${\显示样式\脚本样式n\，}$作为

${\displaystyle\Omega（n）=\sum_{i=1}^{\pi（\lfloor{\sqrt{n}}\rfloor）}\sum_{j=1}^}\lfloor \log_{p_{i}}n\rfloor}[{p_}i}}^{j}|n]，\，}$

或者更有效地使用短路求值避免计算${\显示样式\脚本样式\日志{p{i}}n\，}$不必要地，如

$｛\displaystyle\Omega（n）=\sum_｛i=1｝^｛\pi（\lfloor｛\sqrt｛n｝｝\ rfloor）｝[p｛i｝|n]｛\Bigg（｝1+\sum_｛j=2｝^｛\lfloor\log _｛p_ i｝｝n \ rfloor｝[｛p_ i｝｝^｛j｝|n]｛\Bigg）｝，\，｝$

哪里$｛\displaystyle\scriptstyle\pi（n）\，｝$是素数计数函数,${\显示样式\脚本样式[\cdot]\，}$是艾弗森支架,${\显示样式\脚本样式p_{i}\，}$是${\显示样式\脚本样式i\，}$^第个 首要的当然，计算素因子分解属于${\显示样式\脚本样式n\，}$然后从中确定${\显示样式\脚本样式\欧米茄（n）\，}$.

属性

${\显示样式\脚本样式\欧米茄（n）\，}$是一个完全可加性 算术函数，即。

${\显示样式\欧米茄（mn）=\欧米加（m）+\欧米伽（n），\ m\，\ geq\，1，\，\ geq\，1.\，}$

如果${\显示样式\脚本样式n\，}$是一个无平方数，然后${\显示样式\脚本样式\欧米茄（n）\，=\，\欧米加（n）/，}$，否则${\显示样式\脚本样式\欧米茄（n）\，>\，\欧米加（n）/，}$（因此质因子数（带重复）函数和的小写字母不同素因子的个数功能）。

相关算术函数

刘维尔函数

刘维尔函数，表示的是$｛\displaystyle\scriptstyle\Omega（n）\，｝$,

${\显示样式\lambda（n）\equiv（-1）^{\Omega（n）}\，}$

当${\显示样式\脚本样式\欧米茄（n）\，}$为偶数，当为-1时${\显示样式\脚本样式\欧米茄（n）\，}$很奇怪。

n的过量

${\显示样式\脚本样式\欧米茄（n）\，-\，\欧米加（n），\，\geq\，1，\，}$ n的过量=n的素因子数（具有多重性）-n的素因子数（无重数）（请参见A046660号.)

｛0，0，0，1，0，0，2，1，0，1，0，0，0，3，0，1，1，0，0，2，1，0，2，1，0，0，0，0，4，0，0，0，2，0，0，2，0，0，0，1，0，3，1，1，0，1，0，0，2，0，0，0，0，1，5，0，0，0，…｝

非方数的特征函数

补语${\显示样式\脚本样式{\bar{q}}（n）\，=\，1\，-\，q（n）$的方弗雷函数 ${\显示样式\脚本样式q（n）\，}$,${\displaystyle\scriptstyle{\bar{q}}（n）\，\equiv\，\chi_{\{nonsquarefree\}}$是非方数的特征函数,${\displaystyle\scriptstyle\operatorname{sgn}（n）\，}$成为符号函数.

无平方数的特征函数

这个方弗雷函数 ${\displaystyle\scriptstyle q（n）\，\equiv\，1\，-\，{\bar{q}}（n$是无平方数的特征函数,${\displaystyle\scriptstyle\operatorname{sgn}（n）\，}$成为符号函数.

序列

${\显示样式\脚本样式\欧米茄（n），\，\ geq\，1，\，}$ 欧米茄（n）,n的素因子数（具有多重性）（请参见A001222号.)

{0, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 4, 1, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 4, 2, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 5, 2, 2, 2, 4, 1, 2, 2, 4, 1, 3, 1, 3, 3, 2, 1, 5, 2, 3, 2, 3, 1, 4, 2, 4, 2, 2, ...}

${\displaystyle\scriptstyle\sum_{i=1}^{n}\Omega（i），\n\，\geq\，1，\，}$ 求和Omega函数,n的素因子的数目！（具有多重性）（请参见A022559美元$｛\displaystyle\scriptstyle（n），\，n\，\geq\，1\，｝$.)

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 15, 16, 19, 20, 22, 24, 28, 29, 32, 33, 36, 38, 40, 41, 45, 47, 49, 52, 55, 56, 59, 60, 65, 67, 69, 71, 75, 76, 78, 80, 84, 85, 88, 89, 92, 95, ...}

刘维尔函数 ${\displaystyle\scriptstyle\lambda（n）\，\equiv\，（-1）^{\Omega（n）}，\，\geq\，1\，}$（请参见A008836号.)

{1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, 1, 1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, 1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, -1, 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}

部分总和${\显示样式\脚本样式L（n）\，\equiv\，\sum_{i=1}^{n}\lambda（i）\，=\，\sum_{i=1}^{n}（-1）^{\Omega（i）}，\，\geq\，\，}$ 求和Liouville函数（请参见A002819号对于${\显示样式\脚本样式n\，\geq\，1\，}$.)

{1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, -2, -1, 0, -1, -2, -3, -2, -1, 0, -1, -2, -3, -4, -3, -2, -3, -2, -1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -5, -4, -3, -2, -3, -2, -1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, -4, -5, -6, -5, -6, -5, -6, -7, -6, -5, ...}

${\显示样式\脚本样式\ω（n），\ n\，\ geq\，1，\，}$ n的素因子数（无重数）,n的不同素因子数（请参见A001221号.)

{0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 2, ...}

${\displaystyle\scriptstyle{\bar{q}}（n）\，\equiv\，\chi_{\{nonsquarefree\}}$（0，或1，如果n具有非均匀素因子,)非方函数,非方数的特征函数（请参见A107078号.)

{0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, ...}

${\displaystyle\scriptstyle q（n）\，\equiv\，1\，-\，{\bar{q}}（n$（0，或1，如果n具有酉素数仅，）方弗雷函数,无平方数的特征函数（请参见A008966号.)

{1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, ...}

另请参见

• n的不同素因子或n的素因子（无重数）
  • {{独特的主要因素}}或{{数字功率因数}}算术函数模板
• n的不同素因子数或n的素因子数（无重数）（ω（n））
  • {{不同素因子的数量}}或{{小欧米茄}}算术函数模板
• n的不同素因子之和（sopf（n））
  • {{不同素因子之和}}或{{sopf（标准操作程序）}}（素因子之和）算术函数模板
• n的不同素因子的乘积（rad（n），n的根或平方自由核）
  • {{不同素因子的乘积}}或{{拉德}}算术函数模板

• n的素因子（具有多重性）
  • {{素因子（具有多重性）}}或{{最大功率因数}}算术函数模板
• n的素因子数（具有多重性）（欧米茄（n））
  • {{素因子数（具有多重性）}}或{{大欧米茄}}算术函数模板
• n的素因子之和（具有多重性）（sopfr（n））
  • {{质因子之和（具有多重性）}}或{{sopfr公司}}（具有重复的素因子之和）算术函数模板
• n的素因子乘积（具有多重性）（正整数）

外部链接

• 埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。,基本因子之和，来自MathWorld-A Wolfram Web资源。[http://mathworld.wolfram.com/SumPPrimeFactors.html]