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A000172号 Franel数a(n)=和{k=0..n}二项式(n,k)^3。
(原M1971 N0781)
+40个
120
1、2、10、56、346、2252、15184、104960、739162、5280932、38165260、278415920、2046924400、15148345760、112738423360、843126957056、633229924282、47732557620361077477684436、2739270870994736、2083682703535351596 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,2个

评论

Cusick给出了一种求r阶Franel数(这是三阶Franel数的序列)和floor((r+3)/2)项的递推的一般方法。

这是Beauville描述的曲线上一个特殊点的泰勒展开式-马蒂亚斯·科斯特2004年4月28日

a(1)=2是唯一的素数Franel数。半素Franel数包括:a(2)=10=2*5,a(4)=346=2*173,a(8)=739162=2*369581-乔纳森·沃斯·波斯特2005年5月22日

V.Strehl的一个恒等式表明a(n)=和{k=0..n}C(n,k)^2*二项式(2*k,n)。孙志伟猜想,对于每n=2,3,…多项式f帴n(x)=和{k=0..n}二项式(n,k)^2*二项式(2*k,n)*x^(n-k)在有理数域上是不可约的-孙志伟2013年3月21日

猜想:a(n)==2(模n^3)如果n是素数-加里·德特勒夫斯2013年3月22日

a(p)==2(mod p^3),因为p | C(p,k)对于所有k=1,…,p-1-孙志伟2013年8月14日

a(n)是3个博弈者的完全混合纳什均衡的最大数目,每个人有n+1个纯期权-雷蒙达斯·维杜纳斯2014年1月22日

这是一个类似Apéry的序列-参见交叉引用-雨果·普福特纳2017年8月6日

有理函数对角线1/(1-x*y-y*z-x*z-2*x*y*z),1/(1-x-y-z+4*x*y*z),1/(1+y+z+x*y+y*z+x*z+2*x*y*z),1/(1+x+y+z+2*(x*y+y*z+x*z)+4*x*y*z)-格奥尔赫·科塞雷亚2018年7月4日

a(n)是((1+x)*(1+y)+(1+1/x)*(1+1/y))^n的展开式中的常数项_靖一 文山_2019年10月27日

有理函数1/((1-x)*(1-y)*(1-z)-x*y*z)的对角线-_靖一 文山_2020年7月11日

以瑞士数学家Jérôme Franel(1859-1939)命名-阿米拉姆埃尔达2021年6月15日

在(1+x+y-z)^n*(1+x-y+z)^n*(1-x+y+z)^n*中,a(n)等于(x*y*z)^n的系数。囊性纤维变性。A036917型. -彼得·巴拉2021年9月20日

参考文献

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链接

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孙志伟,包含g\u n(x)=和{k=0..n}C(n,k)^2c(2k,k)x^k的同余,arXiv预印本arXiv:1407.0967[math.NT],2014年。

雷蒙达斯·维杜纳斯,麦克马洪主定理与完全混合纳什均衡,arxiv 1401.5400【数学公司】,2014年。

埃里克·韦斯坦的数学世界,二项式总数.

埃里克·韦斯坦的数学世界,弗兰尔数.

埃里克·韦斯坦的数学世界,施密特问题.

唐·扎吉尔,类递推方程的积分解。见第5页零星解决方案表A行。

朱宝萱,组合序列的高阶对数单调性,arXiv预印本arXiv:1309.6025[math.CO],2013年。

公式

A002893号(n) =和{m=0..n}二项式(n,m)*a(m)[巴鲁坎德]。

和{k=0..n}C(n,k)^3=(-1)^n*积分{x=0..无穷}L_k(x)^3 exp(-x)dx.-摘自阿斯基的书,第43页

D-有限递归(n+1)^2*a(n+1)=(7*n^2+7*n+2)*a(n)+8*n^2*a(n-1)[Franel]。-Felix Goldberg(felixg(AT)tx.technion.ac.il),2001年1月31日

a(n)~2*3^(-1/2)*Pi^-1*n^-1*2^(3*n)。-乔·基恩(jgk(AT)jgk。org),2002年6月21日

O、 g.f.:A(x)=和{n>=0}(3*n)/n^3*x^(2*n)/(1-2*x)^(3*n+1)-保罗·D·汉娜2010年10月30日

G、 f.:超几何([1/3,2/3],[1],27 x^2/(1-2x)^3)/(1-2x)-迈克尔·索莫斯2010年12月17日

G、 f.:和{n>=0}a(n)*x^n/n^3=[Sum{n>=0}x^n/n!^3]^2-保罗·D·汉娜2011年1月19日

G、 f.:A(x)=1/(1-2*x)*(1+6*(x^2)/(G(0)-6*x^2)),

其中G(k)=3*(x^2)*(3*k+1)*(3*k+2)+((1-2*x)^3)*((k+1)^2)-3*(x^2)*((1-2*x)^3)*((k+1)^2)*(3*k+4)*(3*k+5)/G(k+1);(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月3日

2011年孙志伟求出了和{k=0..n}C(2*k,n)*C(2*k,k)*C(2*(n-k),n-k)=2^n*a(n),并用Zeilberger算法进行了证明-孙志伟2013年3月20日

0=a(n+2)*(a(n+1)*(2048*a(n+2)-3392*a(n+3)+768*a(n+4)的+a(n+4))+a(n+2)*(1280*a(n+2)-2912*a(n+3)+744*a(n+4))+a(n+3)*(加上288*a(n+3)-96*a(n+4))))+a(n+1)*(a(n+1)*(a(n+1)*(704*a(n+2)-1232*a(n+3)+288*a(n+4)的(a(n+4))+a(a(n+4))+a(n+3+288*a(n+4)a(n+2)*(-560*a(n+2)-1372*a(n+3)+364*a(n+4))+a(n+3)*(+154*a(n+3)-53*a(n+4))+a(n+2)*(a(n+2)*(+24*a(n+2)+70*a(n+3)-20*a(n+4))+a(n+3)*(-11*a(n+3)+4*a(n+4)))表示Z中的所有n-迈克尔·索莫斯2014年7月16日

对于非负整数,求和{k=r..n}C(k,r)^3*C(n,k)^3=C(n,r)^3*a(n-r),其中n<0取a(n)=0-彼得·巴拉2016年7月27日

a(n)=(n!)^3*[x^n]超几何([],[1,1],x)^2-彼得·卢什尼2017年5月31日

格奥尔赫·科塞雷亚2018年7月4日:(开始)

a(n)=和{k=0..floor(n/2)}(n+k)/(k!^3*(n-2*k)!)*2^(n-2*k)。

G、 f.y=A(x)满足:0=x*(x+1)*(8*x-1)*y'+(24*x^2+14*x-1)*y'+2*(4*x+1)*y。(结束)

a(n)=[x^n](1-x^2)^n*P(n,(1+x)/(1-x)),其中P(n,x)表示第n个勒让德多项式。见古尔德,第56页-彼得·巴拉2022年3月24日

a(n)=(2^n/(4*Pi^2))*积分{x,y=0..2*Pi}(1+cos(x)+cos(y)+cos(x+y))^n dx dy=(8^n/(Pi^2))*积分{x,y=0..Pi}(cos(x)*cos(y)*cos(x+y))^n dx dy(Pla,1995)-阿米拉姆埃尔达2022年7月16日

例子

O、 g.f.:A(x)=1+2*x+10*x^2+56*x^3+346*x^4+2252*x^5+。。。

O、 g.f.:A(x)=1/(1-2*x)+3*x^2/(1-2*x)^4+(6!/2!^3)*x^4/(1-2*x)^7+(9!/3!^3)*x^6/(1-2*x)^10+(12!/4!^3)*x^8/(1-2*x)^13+-保罗·D·汉娜2010年10月30日

设g.f.A(x)=和{n>=0}A(n)*x^n/n^3,那么

A(x)=1+2*x+10*x^2/2^3+56*x^3/3^3+346*x^4/4^3+…在哪里

A(x)=[1+x+x^2/2!^3+x^3/3!^3+x^4/4!^3+…]^2-保罗·D·汉娜

枫木

A000172号:=过程(n)

添加(二项式(n,k)^3,k=0..n);

结束过程:

顺序(A000172号(n) ,n=0..10)#R、 J.马萨2014年7月26日

A000172号_list:=proc(len)系列(超几何([],[1,1],x)^2,x,len);

顺序((n!)^3*系数(%,x,n),n=0..len-1)结束:

A000172号_列表(21)#彼得·卢什尼2017年5月31日

数学

表[总和[二项式[n,k]^3,{k,0,n}],{n,0,30}](*哈维·P·戴尔2011年8月24日*)

表[supergeometricpfq[{-n,-n,-n},{1,1},-1],{n,0,20}](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗,2012年7月16日,符号求和*)

a[n_u]:=总和[二项式[2k,n]*二项式[2k,k]*二项式[2(n-k),n-k],{k,0,n}]/2^n;表[a[n],{n,0,20}](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2013年3月20日,之后孙志伟*)

a[n_u]:=系列系数[1/3,2/3,1,27 x^2/(1-2 x)^3]/(1-2 x),{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2014年7月16日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=polcoeff(和(m=0,n,(3*m)!/m!^3*x^(2*m)/(1-2*x+x*O(x^n))^(3*m+1)),n)}\\保罗·D·汉娜2010年10月30日

(PARI){a(n)=n!^3*polcoeff(和(m=0,n,x^m/m!^3+x*O(x^n))^2,n}\\保罗·D·汉娜2011年1月19日

(哈斯克尔)

a000172=总图a000578.a007318_行

--莱因哈德·祖姆凯勒2013年1月6日

(圣人)

定义A000172号():

x、 y,n=1,2,1

如果是真的:

收益率x

n+=1

x、 y=y,(8*(n-1)^2*x+(7*n^2-7*n+2)*y)//n^2

a=A000172号()

[范围(21)中i的下一个(a)]#彼得·卢什尼2013年10月12日

(平价)A000172号(n) ={sum(k=0,(n-1)\2,二项式(n,k)^3)*2+if(!比特(n,0),二项式(n,n\2)^3)}\\M、 哈斯勒2015年9月21日

交叉引用

囊性纤维变性。A002893号,A052144型,A005260型,A096191号,A033581号,A189791号。第二行数组A094424号.

囊性纤维变性。A181543号,A006480号,A141057号,A000578号,A007318型.

类Apery数[或Apery样序列,Apery样数字,Apery样序列]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895型,A005258号,A005259号,A005260型,A006077号,A036917型,A063007年,A081085型,A093388号,A125143(除标志外),A143003号,A143007号,邮编:A143413,邮编:A143414,邮编:A143415,邮编:A143583,邮编:A183204,A214262号,A219692年,A226535号,A227216号,A227454号,A229111号(除标志外),A260667号,A260832号,A262177号,A264541号,A264542号,A279619号,邮编:A290575,邮编:A290576(“仿制品”一词的定义并不明确。)

对于不划分序列项的素数A000172号,A005258号,A002893号,A081085型,A006077号,A093388号,A125143,A229111号,A002895型,邮编:A290575,邮编:A290576,A005259号看见邮编:A260793,A291275-甲291284A133370号分别。

m=1..12时求和{k=0..n}C(n,k)^m:A000079号,A000984号,A000172号,A005260型,A005261号,A069865号,邮编:A182421,邮编:A182422,邮编:A182446,邮编:A182447,A342294飞机,A342295飞机.

关键字

,容易的,美好的

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

A005259号 一个数:和{k=0..n}(二项式(n,k)*二项式(n+k,k))^2。
(原M4020)
+40个
106
1、5、73、1445、33001、819005、21460825、584307365、16367912425、468690849005、13657436403073、403676083788125、12073365010564729、364713572395983725、11111 571997143198073、3410345045218271054455、10534522198396293262825、327259338516161442321485 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,2个

评论

猜想:对于每一个n=1,2,3,…阿佩里多项式A_n(x)=和{k=0..n}二项式(n,k)^2*二项式(n+k,k)^2*x^k在有理数域上是不可约的-孙志伟2013年3月21日

exp(Sum{n>=1}a(n)*x^n/n)=1+5*x+49*x^2+685*x^3+11807*x^4+232771*x^5+…和exp(Sum{n>=1}a(n-1)*x^n/n)=1+3*x+27*x^2+390*x^3+7038*x^4+144550*x^5+…的展开式似乎都是整数系数。看到了吗A267220型. -彼得·巴拉2016年1月12日

有理函数R(x,y,z,w)=1/(1-(w*x*y*z+w*x*y+w*z+x*z+x*y+x*z+y+z));有理函数H(x,y,z,w)=1/(1-w*(1+x)*(1+y)*(1+z)*(x*y*z+y*z+y+z+1))的对角线-格奥尔赫·科塞雷亚2018年6月26日

以希腊-法国数学家罗杰·阿佩里(1916-1994)命名-阿米拉姆埃尔达2021年6月10日

参考文献

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埃里克·韦斯坦的数学世界,Aéry编号.

埃里克·韦斯坦的数学世界,斯特雷尔恒等式.

埃里克·韦斯坦的数学世界,施密特问题.

夏欧内斯特和姚晓薇,组合序列对数凸性的一个判据《组合学电子杂志》,第20卷(2013年),#第3页。

公式

D-有限递归(n+1)^3*a(n+1)=(34*n^3+51*n^2+27*n+5)*a(n)-n^3*a(n-1),n>=1。

表示为超几何函数4F3的一个特殊值,用Maple表示法:a(n)=超几何([n+1,n+1,-n,-n],[1,1,1],1),n=0,1-卡罗尔·彭森2002年7月24日

a(n)=和{k>=0}A063007年(n,k)*A000172号(k) )。A000172号=法兰编号-菲利普·德莱厄姆2003年8月14日

G、 f.:(-1/2)*(3*x-3+(x^2-34*x+1)^(1/2))*(x+1)^(-2)*超几何([1/3,2/3],[1],(-1/2)*(x^2-7*x+1)*(x+1)^(-3)*(x^2-34*x+1)^(1/2)+(1/2)*(x^3+30*x^2-24*x+1)*(x+1)^(-3))^2)-马克·范霍伊2011年10月29日

设g(x,y)=4*cos(2*x)+8*sin(y)*cos(x)+5,让P(n,z)表示n次的勒让德多项式。然后g.A.Edgar发布了Alexandru Lupas的一个猜想,A(n)等于二重积分1/(4*Pi^2)*int{y=-Pi..Pi}int{x=-Pi..Pi}P(n,g(x,y))dx dy。(2015年1月7日添加:在数学溢出问题178790中肯定地回答)-彼得·巴拉2012年3月4日;编辑G、 A.埃德加2016年12月10日

a(n)~(1+sqrt(2))^(4*n+2)/(2^(9/4)*Pi^(3/2)*n^(3/2))-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年11月1日

a(n)=和{k=0..n}C(n,k)^2*C(n+k,k)^2-乔尔阿恩特2013年5月11日

0=(-x^2+34*x^3-x^4)*y''+(-3*x+153*x^2-6*x^3)*y'+(-1+112*x-7*x^2)*y'+(5-x)*y,其中y是g.f-格奥尔赫·科塞雷亚2016年7月14日

彼得·巴拉2020年1月18日:(开始)

a(n)=和{0<=j,k<=n}(-1)^(n+j)*C(n,k)^2*C(n+k,k)^2*C(n,j)*C(n+k+j,k+j)。

a(n)=和{0<=j,k<=n}C(n,k)*C(n+k,k)*C(k,j)^3(见Koepf,第55页)。

a(n)=和{0<=j,k<=n}C(n,k)^2*C(n,j)^2*C(3*n-j-k,2*n)(见Koepf,第119页)。

有理函数1/((1-x-y)*(1-z-t)-x*y*z*t的对角系数(Straub,2014)。(结束)

a(n)=[x^n]1/(1-x)*(Legendre_P(n,(1+x)/(1-x))^m当m=2时,我们得到Péry数A005258号. -彼得·巴拉2020年12月22日

例子

G、 f.=1+5*x+73*x^2+1445*x^3+33001*x^4+819005*x^5+21460825*x^6+。。。

a(2)=(二项式(2,0)*二项式(2+0,0))^2+(二项式(2,1)*二项式(2+1,1))^2+(二项式(2,2)*二项式(2+2,2))^2=(1*1)^2+(2*3)^2+(1*6)^2=1+36+36=73-迈克尔·B·波特2016年7月14日

枫木

a:=proc(n)选项记忆;如果n=0则1 elif n=1然后5 else(n^(-3))*((34*(n-1)^3+51*(n-1)^2+27*(n-1)+5)*a((n-1))—(n-1)^3*a((n-1)-1);金融机构;结束;

#备选方案:

a:=n->超几何([-n,-n,1+n,1+n),[1,1,1],1):

seq(简化(a(n)),n=0..17)#彼得·卢什尼2020年1月19日

数学

表[supergeometricpfq[{-n,-n,n+1,n+1},{1,1,1},1],{n,0,13}](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2011年4月1日*)

表[总和[(二项式[n,k]二项式[n+k,k])^2,{k,0,n}],{n,0,30}](*哈维·P·戴尔2011年10月15日*)

a[n_9]:=系列系数[系列系数[系列系数[1/(1-t(1+x)(1+y)(1+z)(x y z+(y+1)(z+1))),{t,0,n}],{x,0,n}],{y,0,n}],{z,0,n}],{z,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2016年5月14日*)

黄体脂酮素

(PARI)a(n)=和(k=0,n(二项式(n,k)*二项式(n+k,k))^2)\\查尔斯R格雷特豪斯四世2012年11月20日

(哈斯克尔)

a005259 n=a005259 U列表!!n

a005259_list=1:5:zipWith div(子带(-)

(尾$zipWith(*)a006221 U列表a005259 U列表)

(zipWith(*)(尾a000578 U列表)a005259 U列表))(放置2 a000578 U列表)

--莱因哈德·祖姆凯勒2014年3月13日

(间隙)列表([0..20],n->和([0..n],k->二项式(n,k)^2*二项式(n+k,k)^2))#阿西鲁2018年9月28日

(岩浆)[&+[二项式(n,k)^2*二项式(n+k,k)^2:k在[0..n]]:n在[0..17]]//马吕斯·A·伯提亚2020年1月20日

(蟒蛇)

定义A005259号(n) 公司名称:

m、 g=1,0

对于范围(n+1)内的k:

g+=米

m*=((n+k+1)*(n-k))**2

m//=(k+1)**4

返回g#柴华武2022年10月2日

交叉引用

囊性纤维变性。A002736号,A005258号,A005429号,A005430,A059415,A059416号,A063007年,A000172号.

囊性纤维变性。A006221号,A000578号,A006353号.

关于有理函数的对角线:甲268545-邮编:A268555.

类Apery数[或Apery样序列,Apery样数字,Apery样序列]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895型,A005258号,A005259号,A005260型,A006077号,A036917型,A063007年,A081085型,A093388号,A125143(除标志外),A143003号,A143007号,邮编:A143413,邮编:A143414,邮编:A143415,邮编:A143583,邮编:A183204,A214262号,A219692年,A226535号,A227216号,A227454号,A229111号(除标志外),A260667号,A260832号,A262177号,A264541号,A264542号,A279619号,邮编:A290575,邮编:A290576(“仿制品”一词的定义并不明确。)

对于不划分序列项的素数A000172号,A005258号,A002893号,A081085型,A006077号,A093388号,A125143,A229111号,A002895型,邮编:A290575,邮编:A290576,A005259号看见邮编:A260793,A291275-甲291284A133370号分别。

囊性纤维变性。A092826号(基本条款)。

关键字

,容易的,美好的

作者

西蒙·普劳夫,N、 斯隆1991年5月20日

状态

经核准的

A002893号 a(n)=和{k=0..n}二项式(n,k)^2*二项式(2*k,k)。
(原M2998 N1214)
+40个
86
1、3、15、93、639、4653、35169、272835、2157759、17319837、140668065、1153462995、9533639025、793265595、663835030335、5582724468093、47152425626559、399769750195965、340075573443089、29016970072920387、248256043372999089 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,2个

评论

这是Beauville描述的曲线上一个特殊点的泰勒展开式-马蒂亚斯·科斯特2004年4月28日

a(n)是距平面上3步随机行走原点距离的第2n个矩Peter M.W.Gill(Peter.Gill(AT)nott.ac.uk),2004年2月27日

a(n)是3个字母表上长度为2n的阿贝尔平方数-杰弗里·沙利特2010年8月17日

考虑蜂窝格子上的二维简单随机游动。a(n)给出了长度为2n、以原点结束的路径数-谢尔盖·佩雷佩奇科2011年2月16日

行和A318397型平方A008459号. -彼得·巴拉2013年3月5日

猜想:对于每一个n=1,2,3,…多项式gün(x)=和{k=0..n}二项式(n,k)^2*二项式(2k,k)*x^k在有理数域上是不可约的-孙志伟2013年3月21日

这是仿人序列之一-参见交叉引用-雨果·普福特纳2017年8月6日

a(n)是(x+y+z)^n系数的平方和-迈克尔·索莫斯2018年8月25日

a(n)是(1+(1+x)*(1+y)+(1+1/x)*(1+1/y))^n的展开式中的常数项_靖一 文山_2019年10月28日

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D、 扎吉尔,类仿射递推方程的积分解。见第5页零星解决方案表C行。

公式

a(n)=和{m=0..n}二项式(牛,米)*A000172号(m) 一。[巴鲁坎德]

带递归的D-有限:(n+1)^2 a(n+1)=(10*n^2+10*n+3)*a(n)-9*n^2*a(n-1)-马蒂亚斯·科斯特2004年4月28日

和{n>=0}a(n)*x^n/n^2=贝塞利(0,2*sqrt(x))^3-弗拉德塔·乔沃维奇2003年3月11日

a(n)=和{p+q+r=n}(n!/(p!*q!*r!))^2,p,q,r>=0-迈克尔·索莫斯2007年7月25日

a(n)=3*A087457型(n) n>0时-菲利普·德莱厄姆2008年9月14日

a(n)=超几何([1/2,-n,-n],[1,1],4)-马克·范霍伊2010年6月2日

G、 f.:2*sqrt(2)/Pi/sqrt(1-6*z-3*z^2+sqrt((1-z)^3*(1-9*z))*椭圆体(8*z^(3/2)/(1-6*z-3*z^2+sqrt((1-z)^3*(1-9*z)))-谢尔盖·佩雷佩奇科2011年2月16日

G、 f.:和{n>=0}(3*n)/n^3*x^(2*n)*(1-x)^n/(1-3*x)^(3*n+1)-保罗·D·汉娜2012年2月26日

渐近:a(n)~3^(2*n+3/2)/(4*Pi*n)-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年9月11日

G、 f.:1/(1-3*x)*(1-6*x^2*(1-x x)(Q(0)+6*x^2*(1-x))),式中Q(k)=(54*x^3-54*x 3-54*x ^2+9*x-1)*k^2+(81*x x ^3-81*x x x 2+18*x-2)*k+33*x^3-33*x 2+2+18*x-2)*k+33*x^3-33*x 2+9*x-1-3*x*2*(1-x)*(1-3*3*x)3*3*3*x*2*(1-3*x)3*(k+1)2)2*(3*k+1)2*(3*k+5)/Q(k+1);(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月16日

G、 f.:G(0)/(2*(1-9*x)^(2/3)),其中G(k)=1+1/(1-3*(3*k+1)^2*x*(1-x)^2/(3*(3*k+1)^2*x*(1-x)^2-(k+1)^2*(1-9*x)^2/G(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月31日

a(n)=[x^(2n)]1/年度股东大会(sqrt((1-3*x)*(1+x)^3),sqrt((1+3*x)*(1-x)^3))-格奥尔赫·科塞雷亚2016年8月17日

+a(n+4))+a(n+2)-1539*a(n+3)+243*a(n+3)+243*a(n+4)的+a(n+4))+a(n+2)*(567*a(n+2)+1665*a(n+3)-297*a(n+4))+a(n+3)*(117*a(n+3)+27*a(n+4))))+a(n+1)*(a(n+1)*(加a(n+1)*(324*a(n+2)+720*a(n+3)-117*a(n+4)117*a(n+4))+a(n+4))+a(n+3)-117*a(n+4)的(n+4))+a a(n+2)*(+315*a(n+2)-1000*a(n+3)+185*a(n+4))+a(n+3)*(+80*a(n+3)-19*a(n+4))+a(n+2)*(-9*a(n+2)+35*a(n+3)-7*a(n+4))+a(n+3)*(-4*a(n+3)+a(n+4)))对于Z中的所有n-迈克尔·索莫斯2017年10月30日

G、 f.y=A(x)满足:0=x*(x-1)*(9*x-1)*y'+(27*x^2-20*x+1)*y'+3*(3*x-1)*y-格奥尔赫·科塞雷亚2018年7月1日

例子

G、 f.:A(x)=1+3*x+15*x^2+93*x^3+639*x^4+4653*x^5+35169*x^6+。。。

G、 f.:A(x)=1/(1-3*x)+6*x^2*(1-x)/(1-3*x)^4+90*x^4*(1-x)^2/(1-3*x)^7+1680*x^6*(1-x)^3/(1-3*x)^10+34650*x^8*(1-x)^4/(1-3*x)^13+-保罗·D·汉娜2012年2月26日

枫木

级数(1/GaussAGM(sqrt((1-3*x)*(1+x)^3),sqrt((1+3*x)*(1-x)^3)),x=0,42)#格奥尔赫·科塞雷亚2016年8月17日

A002893号:=n->超几何([1/2,-n,-n],[1,1],4):

seq(简化(A002893号(n) ),n=0..20)#彼得·卢什尼2017年5月23日

数学

表[总和[二项式[n,k]^2二项式[2k,k],{k,0,n}],{n,0,20}](*哈维·P·戴尔2011年8月19日*)

a[n_u]:=如果[n<0,0,超几何pfq[{1/2,-n,-n},{1,1},4]];(*迈克尔·索莫斯2013年10月16日*)

a[n\uU]:=系列系数[BesselI[0,2*Sqrt[x]]^3,{x,0,n}]*n^二;表[a[n],{n,0,20}](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2013年12月30日*)

a[n\ux]:=如果[n<0,0,块[{x,y,z},展开[(x+y+z)^n]/。{t_Integer->t^2,x->1,y->1,z->1}]];(*迈克尔·索莫斯2018年8月25日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=如果(n<0,0,n!^2*polcoeff(besseli(0,2*x+O(x^(2*n+1))^3,2*n))};

(PARI){a(n)=和(k=0,n,二项式(n,k)^2*二项式(2*k,k))}/*迈克尔·索莫斯2007年7月25日*/

(PARI){a(n)=波尔科夫(和(m=0,n,(3*m)!/m!^3*x^(2*m)*(1-x)^m/(1-3*x+x*O(x^n))^(3*m+1)),n)}\\保罗·D·汉娜2012年2月26日

(平价)N=42;x='x+O('x^N);v=Vec(1/agm(平方英尺((1-3*x)*(1+x)^3),sqrt((1+3*x)*(1-x)^3));向量((#v+1)\2,k,v[2*k-1])\\格奥尔赫·科塞雷亚2016年8月17日

(岩浆)[&+[二项式(n,k)^2*二项式(2*k,k):k in[0..n]]:n in[0..25]]//文琴佐·利班迪2018年8月26日

交叉引用

囊性纤维变性。A000172号,A002895型,A000984号,A006480号,A087457型,A274600个,A318397型.

囊性纤维变性。邮编:A169714邮编:A169715. -彼得·巴拉2013年3月5日

类Apery数[或Apery样序列,Apery样数字,Apery样序列]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895型,A005258号,A005259号,A005260型,A006077号,A036917型,A063007年,A081085型,A093388号,A125143(除标志外),A143003号,A143007号,邮编:A143413,邮编:A143414,邮编:A143415,邮编:A143583,邮编:A183204,A214262号,A219692年,A226535号,A227216号,A227454号,A229111号(除标志外),A260667号,A260832号,A262177号,A264541号,A264542号,A279619号,邮编:A290575,邮编:A290576(“仿制品”一词的定义并不明确。)

对于不划分序列项的素数A000172号,A005258号,A002893号,A081085型,A006077号,A093388号,A125143,A229111号,A002895型,邮编:A290575,邮编:A290576,A005259号看见邮编:A260793,A291275-甲291284A133370号分别。

关键字

,容易的,步行,美好的

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

A005260型 a(n)=和{k=0..n}二项式(n,k)^4。
(原M2110)
+40个
63
1、2、18、164、1810、21252、263844、3395016、44916498、607041380、8345319268、116335834056、1640651321764、23365271704712、335556407724360、485413348455664、70666388112940818、1034529673001901732 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,2个

评论

这个序列是库珀论文中的10-杰森·金伯利2012年11月25日

有理函数R(x,y,z,w)=1/(1-(w*x*y+w*x*z+w*y*z+x*y*z+x*y*z+w*x+y*z))-格奥尔赫·科塞雷亚2016年7月13日

这是一个类似Apéry的序列-参见交叉引用-雨果·普福特纳2017年8月6日

每一个素数最终都将这个序列中的某些项分开-阿米塔·马利克2017年8月20日

两个步行者A和B分别站在n×n网格的西南角和东北角。A走北台阶或东台阶,B走南台阶或西台阶。序列值a(n)<二项式(2*n,n)^2计算A和B在n步后相遇并在2*n步后变换位置的同时行走-布拉德利·克莱2019年4月1日

a(n)是((1+x)*(1+y)*(1+z)+(1+1/x)*(1+1/y)*(1+1/z))^n.-_靖一 文山_2019年10月27日

参考文献

H、 W.古尔德,《组合恒等式》,摩根敦,1972,(X.14),第79页。

N、 J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。

链接

靖一 文山,n=0..834的n,a(n)表(Jason Kimberley 0.250条款)

B、 阿达姆泽夫斯基,J.P.贝尔和E.Delaygue,G-函数的代数无关性与同余“a la Lucas”,arXiv预印本arXiv:1603.04187[math.NT],2016年。

Hacene Belbachir和Yassine Otmani,第四个Franel序列的Strehl版本,arXiv:2012.02563[math.CO],2020年。

F、 贝克斯,Apéry数的另一个同余《数论》第25卷(1987年),第2期,201-210页。

W、 陈永川,Q.-H。侯和Y-P。穆,双和的一种伸缩方法,J.Comp.公司。申请。数学。196(2006)553-566,式(5.5)。

S、 库珀,1/pi的零星序列、模型与新级数,Ramanujan J.(2012年)。

M、 科斯特,电子邮件,1990年11月

E、 延迟时间,类Apéry数的算术性质,arXiv预印本arXiv:1310.4131[math.NT],2013年。

C、 埃尔斯纳,关于涉及和的递推公式二项式系数,小谎。Q、 ,43,1(2005),31-45。

戈罗德茨基,所有零星类Apéry序列的新表示及其对同余的应用,arXiv:2102.11839[math.NT],2021年。见s10第3页。

达瑞·格林伯格,现代代数导论(UMN 2019春季数学4281注),明尼苏达大学(2019年)。

阿米塔·马利克和阿明·斯特劳布,偶发类概率数的整除性《数论研究》,2016年,2:5。

罗伯特·奥斯本、阿明·斯特劳布和瓦迪姆·祖迪林,6F5的模块化超级通信:一个类似于Apéry的故事,arXiv:1701.04098[math.NT],2017年。

M、 A.珀尔斯塔特,幂和的一些重复出现二项式系数《数论杂志》27(1987),第304-309页。

五、 斯特里尔,递归与勒让德变换,Séminaire Lotharingien de Combinatoroire,B29b(1992年),22页。

孙志伟,同余的开放猜想南京大学数学系。双季刊第36期(2019年),第1期,1-99页。(参考猜想49-51。)

埃里克·韦斯坦的数学世界,二项式总数

马克·C·威尔逊,组合类乘积的对角渐近性《组合学,概率与计算》预印本,24(1),2015,354-372。

公式

a(n)~2^(1/2)*Pi^(-3/2)*n^(-3/2)*2^(4*n)。-乔·基恩(jgk(AT)jgk。org),2002年6月21日

D-有限循环:n^3*a(n)=2*(2*n-1)*(3*n^2-3*n+1)*a(n-1)+(4*n-3)*(4*n-4)*(4*n-5)*a(n-2)。

G、 f.:f.:5*超自OM([1/8,3/8],[1],(4/5)*((1-16*x)^(1/2)+(1+4*x)^(1/2))*(((1-16*x)^(1/2)+(1+4*x)^(1/2))^(1/2))^5/(2*(1-16*x)^(1/2)+3*(1+4*x)^(1/2))^4)^4)^2/(2*(1-16*x)^(1/2/2))^2/(2*(1-16*x)^(1/2)+3*(1+4*x)^(1/1/2)(1/2)(1+4*4 2)条)-马克·范霍伊2011年10月29日。

1/Pi=sqrt(15)/18*和{n>=0}a(n)*(4*n+1)/36^n(库珀,方程(5))=sqrt(15)/18*和{n>=0}a(n)*A016813号(n)/A009980型(n) 一-杰森·金伯利2012年11月26日

0=(-x^2+12*x^3+64*x^4)*y''+(-3*x+54*x^2+384*x^3)*y'+(-1+40*x+444*x^2)*y'+(2+60*x)*y,其中y是g.f-格奥尔赫·科塞雷亚2016年7月13日

对于非负整数,求和{k=r..n}C(k,r)^4*C(n,k)^4=C(n,r)^4*a(n-r),其中n<0取a(n)=0-彼得·巴拉2016年7月27日

a(n)=超几何([-n,-n,-n,-n),[1,1,1],1)-彼得·卢什尼2016年7月27日

和{n>=0}a(n)*x^n/(n!)^4=(和{n>=0}x^n/(n!)^4) ^2年-伊利亚·古特科夫斯基2020年7月17日

a(n)=和{k=0..n}C(n,k)*C(n+k,k)*C(2n-2k,n-k)*(-1)^(n-k)。这可以通过Zeilberger算法得到证明-孙志伟2020年8月23日

a(n)=(-1)^n*二项式(2*n,n)*超几何([1/2,-n,-n,n+1],[1,1,1/2-n],1)-彼得·卢什尼2020年8月24日

a(n)=和{k=0..n}二项式(n,k)^2*二项式(2*k,n)*二项式(2*n-k,n)[贝尔巴希尔和奥特曼的定理1]-米歇尔·马库斯2020年12月6日

a(n)=[x^n](1-x)^(2*n)P(n,(1+x)/(1-x))^2,其中P(n,x)表示第n个勒让德多项式。见古尔德,第66页。这个公式相当于二项式上面给出的孙志伟的和身份-彼得·巴拉2022年3月24日

例子

G、 f.=1+2*x+18*x^2+164*x^3+1810*x^4+21252*x^5+263844*x^6+。。。

枫木

A005260型:=过程(n)

添加((二项式(n,k))^4,k=0..n);

结束过程:

顺序(A005260型(n) ,n=0..10)#R、 J.马萨2012年11月19日

数学

表[总和[二项式[n,k]^4,{k,0,n}],{n,0,20}](*韦斯利·伊万受伤了2014年3月9日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=和(k=0,n,二项式(n,k)^4)};

(蟒蛇)

定义A005260型(n) 公司名称:

m、 g=1,0

对于范围(n+1)内的k:

g+=米

m=m*(n-k)**4/(k+1)**4

返回g#柴华武2022年10月4日

交叉引用

第k列=第4列A309010型.

囊性纤维变性。A000172号,A096192号,A328725飞机.

关于有理函数的对角线:甲268545-邮编:A268555.

类Apery数[或Apery样序列,Apery样数字,Apery样序列]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895型,A005258号,A005259号,A005260型,A006077号,A036917型,A063007年,A081085型,A093388号,A125143(除标志外),A143003号,A143007号,邮编:A143413,邮编:A143414,邮编:A143415,邮编:A143583,邮编:A183204,A214262号,A219692年,A226535号,A227216号,A227454号,A229111号(除标志外),A260667号,A260832号,A262177号,A264541号,A264542号,A279619号,邮编:A290575,邮编:A290576(“仿制品”一词的定义并不明确。)

m=1..12时求和{k=0..n}C(n,k)^m:A000079号,A000984号,A000172号,A005260型,A005261号,A069865号,邮编:A182421,邮编:A182422,邮编:A182446,邮编:A182447,A342294飞机,A342295飞机.

关键字

,容易的

作者

N、 斯隆

扩展

编辑迈克尔·索莫斯2002年8月9日

次要编辑依据瓦茨拉夫·科特索维奇2014年8月28日

状态

经核准的

A028246 三角形数组a(n,k)=(1/k)*和{i=0..k}(-1)^(k-i)*二项式(k,i)*i^n;n>=1,1<=k<=n,按行读取。 +40个
60
1、1、1、1、3、2、1、7、12、6、1、15、50、60、24、1、31、180、390、360、120、1、63、602、2100、3360、2520、720、1、127、1932、10206、25200、31920、20160、5040、1、255、6050、46620、166824、317520、332640、181440、40320、1、511、18660、204630、1020600、2739240、4233600、3780000、1814400、362880 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

1,5个

评论

设M=n×n矩阵,第(i,j)-th项a(n+1-j,n+1-i),例如,如果n=3,M=[11 1;3 1 0;2 0 0 0]。给定一个序列s=[s(0)…s(n-1)],设b=[b(0)…b(n-1)]为其逆二项式变换并让c=[c(0)…c(n-1)]=M^(-1)*转置(b)。则s(k)=和{i=0..n-1}b(i)*二项式(k,i)=和{i=0..n-1}c(i)*k^i,k=0..n-1-加里·W·亚当森2001年11月11日

加里·W·亚当森2008年8月9日:(开始)

Julius Worpitzky的1883算法生成伯努利数。

举个例子[维基百科]:

B0=1;

B1=1/1-1/2;

B2=1/1-3/2+2/3;

B3=1/1-7/2+12/3-6/4;

B4=1/1-15/2+50/3-60/4+24/5;

B5=1/1-31/2+180/3-390/4+360/5-120/6;

B6=1/1-63/2+602/3-2100/4+3360/5-2520/6+720/7;

...

注意,在这个算法中,伯努利数的奇数n和为0,而不是1,B1的和=1/2=(1/1-1/2)。B3=0=(1-7/2+13/3-6/4)=0。B4的总和=-1/30。(结束)

根据Worpitzky算法和给定的M=A028246作为一个无限下三角矩阵,M*[1/1,-1/2,1/3,…](即,具有交替符号的调和级数)=以[1/1,1/2,1/6,…]开始的伯努利数-加里·W·亚当森2012年3月22日

汤姆·科普兰2008年10月23日:(开始)

G(x,t)=1/(1+(1-exp(x*t))/t)=1+1 x+(2+t)*x^2/2!+(6+6t+t^2)*x^3/3!+。。。给出行多项式A090582号,关于全自动面体的f-多项式(参见A019538年).

G(x,t-1)=1+1*x+(1+t)*x^2/2!+(1+4t+t^2)*x^3/3!+。。。给出行多项式A008292号,全自动面体的h-多项式。

G[(t+1)x,-1/(t+1)]=1+(1+t)x+(1+3t+2 t^2)x^2/2!+。。。给出当前三角形的行多项式。(结束)

Worpitzky三角形似乎是这个三角形的恰当名称-约翰内斯W.梅杰2009年6月18日

如果帕斯卡三角形被写成下三角矩阵并乘以A028246作为上三角矩阵,乘积是一个矩阵,其中(i,j)-第项是(i+1)^j。例如,

1,0,0,0 1,1,1,1,1,1,1,1

1,1,0,0*0,1,3,7=1,2,4,8

1,2,1,0,0,2,12 1,3,9,27

1,3,3,1 0,0,0,6 1,4,16,64

因此,从0开始对所有三个矩阵的行和列进行编号,乘积的(i,j)项是(i+1)^j杰克·A·科恩(ProfCohen)康卡斯特。净),2010年8月3日

Fi1和Fi2的三角和都是按序列给出的A000670型。有关这些三角形和的定义,请参见邮编:A180662.Worpitzky三角形的镜像是A130850. -约翰内斯W.梅杰2011年4月20日

设S_n(m)=1^m+2^m+…+n^m。然后,对于n>=0,我们有以下S_n(m)表示为二项式系数:

S_n(m)=和{i=1..n+1}a(i+n*(n+1)/2)*C(m,i)。E、 例如,S_2(m)=a(4)*C(m,1)+a(5)*C(m,2)+a(6)*C(m,3)=C(m,1)+3*C(m,2)+2*C(m,3)-弗拉基米尔·谢韦列夫2011年12月21日

给定集合X=[1..n]和1<=k<=n,则a(n,k)是X的子集S的大小为k的集合的个数,使得S为空或包含1和X的另一个元素,并且T的任意两个元素可比或不相交-迈克尔·索莫斯2013年4月20日

使用从-1开始的行和列索引,a(n,k)给出标准n维单纯形的第一个重心细分中的k维面数(应用Brenti和Welker,引理2.1)。例如,2-单纯形(三角形)的重心细分有1个空面、7个顶点、12个边和6个三角形面,该三角形的第4行为(1,7,12,6)。囊性纤维变性。A053440. -彼得·巴拉2014年7月14日

看到了吗A074909号以及以上的g.f.s,来说明这个数组和伯努利多项式及其本影合成逆之间的关联-汤姆·科普兰2014年11月14日

例如g(x,t)=exp[P(,t)x]=1/t-1/[t+(1-t)(1-e^(-xt^2))]=(1-t)*x+(-2t+3t^2-t^3)*x^2/2!+(6t^2-12t^3+7t^4-t^5)*x^3/3!+。。。对于第一个元素为零的移位、反向、有符号多项式,由无穷小生成器g(u,t)d/du=[(1-u*t)(1-(1+u)t)]d/du,即exp[x*g(u,t)d/du]u eval生成。u=0时生成多项式。看到了吗A019538年以及下面的G.Rzadkowski链接,用于连接Bernoulli和Eulerian数、Ricatti微分方程和KdV方程的孤子解。本例例例中x的逆x是Ginv(x,t)=(-1/t^2)*log{[1-t(1+x)[(1-t)(1-t)(1-tx)]}=[1/(1-t)]x+[(2t-t^2)/(1-t)^2]x^2/2+[(3t^2-3t^3+t^4+t^4)/(1-t)^3]x^3/3+3+[(4t^3-6t^4+4+t^5-t^5-t^6)/(1-t)^4]x^3/3+[(4t^3-6t^4+4t^4^5-t^5-t^6)5-t^6)x^4/4+…分子有符号,移位A135278号(反向A074909号),有理函数是A074909号同样,dG(x,t)/dx=g(g(x,t),t)(参考。A145271). (增加了分析G(x,t),并于2015年12月28日对Ginv进行了修正和扩展。)-汤姆·科普兰2014年11月21日

算符R=x+(1+t)+tee^{-D}/[1+t(1-e^(-D))]=x+(1+t)+t-(t+t^2)D+(t+3t^2+2t^3)D^2/2!-。。。包含当前三角形的反向行多项式的一个e.g.f.,即。,A123125号*A007318型(行和列偏移量为1和1)。本影上,R^n 1=q_n(x;t)=(q.(0;t)+x)^n,其中qμm(0;t)=(t+1)^(m+1)-t^(m+1),则A074909号,且D=D/dx。换句话说,R生成与基序列相关联的Appell多项式A074909号例如,R 1=q q q 1(x;t)=(q.(0;t)+x)=q q 1(0;t)+q q q q q 1(0;t)+q q q q 0(0;t)x=(1+2t)+x,而R^2 1=q q q q 2(x;t)=(q.(0;t)+x)2^2=q q q q 2(0:t)+2q q q q 1(0;t)x x+q q q 0(0;t)x ^ 2=1+3t+3t^2+2(1+2t)x+x+x^2,x=0的多项式评估多项式的x=0=0=0=0 0的q q q q 2(0:t)+2(1+2)评估多项式的重新生成基序列。通过R中的一个简单符号改变,R生成与邮编:A248727. -汤姆·科普兰2015年1月23日

有关此数组的自然优化,请参见A263634号. -汤姆·科普兰2015年11月6日

狼牙2017年3月13日:(开始)

对于{S(n,m)}{m>=0},S(n,m)=Sum{k=1..m}k^n,n>=0,(未定义和为0)的e.g.f.e(n,x)是exp(x)*R(n+1,x),其中指数行多项式R(n,x)=Sum{k=1..n}a(n,k)*x^k/k!。E、 例如n=2时,g.g.f,A000330型:exp(x)*(1*x/1!+3*x^2/2!+2*x^3/3!)。

然后通过拉普拉斯变换得到{S(n,m)}{m>=0}的o.g.f.g(n,x)=p*Sum{k=1..n}a(n+1,k)/(p-1)^(2+k)。

因此G(n,x)=x/(1-x)^(n+2)*和{k=1..n}A008292号(n,k)*x^(k-1)。

E、 g.,n=2:g(2,1/p)=p*(1/(p-1)^2+3/(p-1)^3+2/(p-1)^4)=p^2*(1+p)/(p-1)^4;因此G(2,x)=x*(1+x)/(1-x)^4。

这也是反向的:从o.g.f.到{S(n,m)}}{m>=0}的e.g.f。(结束)

a(n,k)是一组大小为n的两两不相交的非空子集的k元组的个数-多里安·盖约2019年5月21日

拉杰什·库马尔·莫哈帕特拉2020年3月16日:(开始)

a(n-1,k)是由包含排序的n元集的子集构成的部分序集中长度为k的链的数目,使得链的第一项是空集或n元集。

另外,a(n-1,k)是按集合包含排序的n-集的不同k-级根模糊子集的数目。(结束)

哈桑第34页的关系(也是佛朗哥和哈桑的第17页)与A019538年公式部分给出了这个条目-汤姆·科普兰2020年5月14日

链接

靖一 文山,n=1..10000的n,a(n)表

五、 阿布拉莫维奇,自然数的幂和,Kvant,no.5(1973),22-25.(俄语)

彼得·巴拉,幂级数Hadamard积的变形

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汤姆·科普兰,生成元,求逆和矩阵,二项式,以及积分变换

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盖伊·卢查德、沃纳·沙钦格和马克·丹尼尔·沃德,几何分布词中不同相邻对的数目:概率与组合分析,arXiv:2203.14773【数学公共关系】,2022年。见第5页。

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维基百科,伯努利数.

维基百科,重心细分

大卫·C·伍德,多段对数的计算(2014年)。

公式

E、 g.f.:-log(1-y*(经验(x)-1))-弗拉德塔·乔沃维奇2003年9月28日

a(n,k)=S2(n,k)*(k-1)!其中S2(n,k)是第二类斯特林数(cf。A008277号). 同样a(n,k)=T(n,k)/k,其中T(n,k)=A019538年.

与三角形[1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,0,7,…]DELTA[1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,…]基本相同的三角形,其中DELTA是Deléham在A084938号,但符号不同。

第n行项和=A000629号(n)-加里·W·亚当森2005年5月30日

当n>=1时,行生成多项式P(n,t)由P(1,t)=t,P(n+1,t)=t(t+1)(d/dt)P(n,t)给出(见Riskin和Beckwith reference)-德国金刚砂2005年8月9日

戈特弗里德头盔2006年7月12日:(开始)

Delta矩阵可以从H.Hasse关于zeta函数和Bernoulli数之间联系的证明中读到(见下面的链接)。

设P=具有P项的下三角矩阵[row,col]=二项式(行,列)。

设J=交替符号J[r,r]=(-1)^r的单位矩阵。

设N(m)=列矩阵,N(m)(r)=(r+1)^m,N(1)-->自然数。

设V=Vandermonde矩阵,V[r,c]=(r+1)^c。

V也是N(0)| | N(1)| | N(2)| | N(3)…(指数r,c总是从0开始)。

然后Delta=P*J*V和B'=N(-1)'*Delta,其中B是伯努利数的列矩阵,并且'表示转置,或者对于单个第k个Bernoulli数B峎k,使用适当的Delta列,

B_k=N(-1)'*δ[*,k]=N(-1)'*P*J*N(k)。

H.Hasse用单列代替V并假设无限维,证明了在x=N(-1)*P*J*N(s)中,s可以是任何复数,s*zeta(1-s)=x。

他的定理是:s*zeta(1-s)=Sum{n>=0..inf}(n+1)^-1*delta(n,s),其中delta(n,s)=Sum{j=0..n}(-1)^j*二项式(n,j)*(j+1)^s。

(结束)

第k行(k>=1)包含i=1到k的(i,k),其中a(i,k)满足Sum{i=1..n}C(i,1)^k=2*C(n+1,2)*Sum{i=1..k}a(i,k)*C(n-1,i-1)/(i+1)。E、 g.第三行第三包含1,3,2所以Sum Sum{i=1..n}C(i,1)^3=2*C(n+1,2)*[a(1,3)/2+a(2,3)*C(n-1,1)/3+a(3,3)*C(n-1,1)/3+a(3,3)*C(n(n+1)*n]*[1/2+(3/3)*C(n-1,1)+(2/4)*C(n(n-1,2/4)*C(n(n-1,4)*C(n n-1,1,2)2]=(n^2+n)*(n-1+n-1+[C(n-1,3)1,3 1,2)+1]/2)=C(n+1,2)^2。参见A000537号有关详细信息(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+…)-安德烈夫·拉博西2003年9月22日

a(n,k)=k*a(n-1,k)+(k-1)*a(n-1,k-1),其中a(n,1)=1,a(n,n)=(n-1)-约翰内斯W.梅杰2009年6月18日

重新表述上面的Meijer递归:设M是(n+1)X(n+1)双对角矩阵,其中M(r,r)=M(r,r+1)=r,r>=1,在两条对角线和其余的零上。三角形的a行(n+1,)是M^n的第1行-加里·W·亚当森2011年6月24日

汤姆·科普兰2011年10月11日:(开始)

例如f..A(x,t)=g[(t+1)x,-1/(t+1)]-1(来自2008年的注释)=-1+1/[1-(1+t)(1-e^(-x))]=(1+t)x+(1+3t+2t^2)x^2/2!+。。。,比较。x的逆是

B(x,t)=-log(t/(1+t)+1/((1+t)(1+x))=(1/(1+t))x-((1+2t)/(1+t)^2)x^2/2+((1+3t+3t^2)/(1+t)^3)x^3/3+…分子是A074909号,有理函数是(省略初始常数)重新索引的Pascal三角形的有符号列A007318型.

设h(x,t)=1/(dB/dx)=(1+x)(1+t(1+x)),则行多项式P(n,t)=(1/n!)(h(x,t)*d/dx)^n x,在x=0时求值,A=exp(x*h(y,t)*d/dy)y,评估。当y=0,dA/dx=h(A(x,t),P(1,t)=1+t时。(系列于2015年12月29日添加)(结束)

设<n,k>表示欧拉数A173018型(n,k),则T(n,k)=和{j=0..n}<n,j>*二项式(n-j,n-k)-彼得·卢什尼2013年7月12日

矩阵积A007318型*A131689型第n行多项式R(n,x)=和{k>=1}k^(n-1)*(x/(1+x))^k,对开区间内的x有效(-1/2,inf)。囊性纤维变性A038719号.R(n,-1/2)=(-1)^(n-1)*(2^n-1)*伯努利(n)/n-彼得·巴拉2014年7月14日

a(n,k)=邮编:A141618(n,k)/C(n,k-1)-汤姆·科普兰2014年10月25日

对于行多项式,A028246(n,x)=A019538年(n-1,x)*(1+x)-汤姆·科普兰2015年12月28日

邮编:A248727=A007318型*(反向A028246) =A007318型*A130850=A007318型*A123125号*A007318型=A046802型*A007318型. -汤姆·科普兰2016年11月14日

第n行多项式R(n,x)=(1+x)o(1+x)o…o(1+x)(n个因子),其中o表示Dukes和White的黑钻石乘法运算符。请参阅Bala link中的示例E11-彼得·巴拉2018年1月12日

多里安·盖约2019年5月21日:(开始)

和{i=0..k}二项式(k,i)*a(n,i)=(k+1)^n。

和{k=0..n}a(n,k)=2*A000670型(n) 一。

(结束)

当所有偏移量为0时,设A_n(x;y)=(y+E(x))^n,y中的一个Appell序列,其中E.(x)^k=euk(x)是A123125号。则该条目的行多项式,A028246,由x^n*A\n(1+1/x;0)给出。A_n(x;y)的其他专业A046802型,A090582号,A119879年,A130850,和邮编:A248727. -汤姆·科普兰2020年1月24日

行生成多项式R(n,x)=Sum{i=1..n}a(n,i)*x^i满足递推方程R(n+1,x)=R(n,x)+Sum{k=0..n-1}二项式(n-1,k)*R(k+1,x)*R(n-k,x),对于n>=1,初始值R(1,x)=x-沃纳·舒尔特2021年6月17日

例子

三角形a(n,k)开始于:

n\k 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1: 1

2: 11

3: 1 3 2

4: 1 7 12 6

5: 1 15 50 60 24

6: 1 31 180 390 360 120

7: 1 63 602 2100 3360 2520 720

8: 1 127 1932 10206 25200 31920 20160 5040

9: 1 255 6050 46620 166824 317520 332640 181440 40320

…[格式由狼牙2015年3月26日]

-----------------------------------------------------

三角形的第5行是{1,15,50,60,24},它是{1,15,25,10,1}乘以{0!、1!、2!、3!、4!}。

弗拉基米尔·谢韦列夫2011年12月22日:(开始)

另外,对于幂和,我们有

S_0(n)=C(n,1);

S_1(n)=C(n,1)+C(n,2);

S_2(n)=C(n,1)+3*C(n,2)+2*C(n,3);

S_3(n)=C(n,1)+7*C(n,2)+12*C(n,3)+6*C(n,4);

S_4(n)=C(n,1)+15*C(n,2)+50*C(n,3)+60*C(n,4)+24*C(n,5);等。

(结束)

对于X=[1,2,3]的X=[1,2,3]的X=[1,2,3]方面,公司的集合T都是{{}{{{{{{{{{{},{1{{2,3}},{{{{{{{{1,2{{1,3{1,3},{1,3},{1,3},{1,2,2,3,3}{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,是的-迈克尔·索莫斯2013年4月20日

枫木

a:=(n,k)->加((-1)^(k-i)*二项式(k,i)*i^n,i=0..k)/k;

seq(打印(seq(a(n,k),k=1..n)),n=1..10;

T:=(n,k)->添加(欧拉1(n,j)*二项式(n-j,n-k),j=0..n):

seq(打印(seq(T(n,k),k=0..n)),n=0..9#彼得·卢什尼2013年7月12日

数学

a[n,k_u]=总和[(-1)^(k-i)二项式[k,i]*i^n,{i,0,k}]/k;展平[表[a[n,k],{n,10},{k,n}]](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2011年5月2日*)

黄体脂酮素

(PARI){T(n,k)=如果(k<0 | | k>n,0,n!*polcoeff((x/log(1+x+x^2*O(x^n))^(n+1,n-k))}/*迈克尔·索莫斯2002年10月2日*/

(PARI){T(n,k)=斯特林(n,k,2)*(k-1)!}\\G、 C.格雷贝尔2019年5月31日

(圣人)

定义邮编:A163626_第(n)行:

x=多基因(ZZ,'x')

A=[]

对于范围(0,n,1)中的m:

A、 追加((-x)^m)

对于范围(m,0,-1)内的j:

A[j-1]=j*(A[j-1]-A[j])

返回列表(A[0])

对于i in(1..7):打印(邮编:A163626_世界其他地区(i))#彼得·卢什尼2012年1月25日

(Sage)[[斯特林数2(n,k)*k in(1..n)]n in(1..10)的阶乘(k-1)]#G、 C.格雷贝尔2019年5月30日

(岩浆)[[斯特林秒(n,k)*阶乘(k-1):k in[1..n]]:n in[1..10]]//G、 C.格雷贝尔2019年5月30日

(间隙)平坦(列表([1..10],n->列表([1..n],k->斯特林2(n,k)*阶乘(k-1)))#G、 C.格雷贝尔2019年5月30日

(Python)#假设偏移量(n,k)=(0,0)。

定义T(n,k):

如果k>n:返回0

如果k==0:返回1

返回k*T(n-1,k-1)+(k+1)*T(n-1,k)

对于范围(9)中的n:

打印([T(n,k)表示范围(n+1)内的k)#彼得·卢什尼2022年4月26日

交叉引用

删除1的列给出A053440.

分母中没有k(在定义中),我们得到A019538年。另见斯特林数三角形A008277号.

囊性纤维变性。A087127号,A087107号,A087108号,A087109号,A087110号,A087111号,A084938号 A075263号.

行总和给出A000629号(n-1)对于n>=1。

囊性纤维变性。A027642号,A002445号. -加里·W·亚当森2008年8月9日

出现在邮编:A161739(RSEG2三角形),邮编:A161742邮编:A161743. -约翰内斯W.梅杰2009年6月18日

二项式转换是A038719号.Cf。A131689型.

囊性纤维变性。A007318型,A008292号,A046802型,A074909号,A090582号,A123125号,A130850,A135278号,邮编:A141618,A145271,邮编:A163626,邮编:A248727,A263634号.

囊性纤维变性。A119879年.

拉杰什·库马尔·莫哈帕特拉2020年3月29日:(开始)

A000007号(n-1)(k列=1),A000225(n-1)(k列=2),A028243(n-1)(k列=3),A028244号(n-1)(k列=4),A028245(n-1)(k列=5),对于n>0。

对角线给出A000142号(n-1),对于n>=1。

倒数第二个对角线A001710,

第三、第四、第五、第六、第七外对角线分别给出A005460号,A005461号,A005462号,A005463号,A005464号(结束)

关键字

,容易的,美好的,

作者

N、 斯隆,Doug McKenzie(mckfam4(网址)aol.com)

扩展

李国修正定义,2006年12月16日

链接中的错误由更正约翰内斯W.梅杰2009年10月17日

标题错误由更正约翰内斯W.梅杰2010年9月24日

编辑M、 哈斯勒2014年10月29日

状态

经核准的

A026375号 a(n)=和{k=0..n}二项式(n,k)*二项式(2*k,k)。 +40个
50
1,3,11,45,195,873,3989,18483,86515,408105,1936881,9238023,44241261,212601015,1024642875,4950790605,23973456915,116312293305,565280386625,2751474553575,134110443011945,65448142561035,319756851757695 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,2个

评论

a(n)是数组T在中计数的整数字符串s(0),…,s(n)的数目A026374号s(n)=0;同时a(n)=T(2n,n)。

部分和A085362号.从(0,0)到(2n,0)且奇数(正或负)水平上没有H步的双边Schroeder路径(即由步骤U=(1,1)、D=(1,-1)和H=(2,0)组成的格点路径数。示例:a(2)=11,因为我们有HUD,UDH,UDUD,UUDD,UDDU,它们在x轴和HH上的反射-德国金刚砂2004年1月30日

最大系数(1+3*x+x^2)^n;三角形行和邮编:A124733. -菲利普·德莱厄姆2007年10月2日

还有从(0,0)到(n,0)的路径数,使用步骤U=(1,1),H=(1,0)和D=(1,-1),H步骤有三种颜色-东北。法西2008年2月5日

等于反转变换A109033型:(1,2,6,22,88,…),反转变换A111966号,二项式转换A000984号,并反转二项式转换A081671号.与A002212:(1,3,10,36,…)=A026376号:(1,6,30,144,…)。等于的卷积平方根A003463号:(1,6,31,156,781,3906,…)-加里·W·亚当森2009年5月17日

有理母函数为1/(1-(x^2+3*x*y+y^2))的数组对角线-格奥尔赫·科塞雷亚2018年7月29日

链接

靖一 文山,n=0..1000时的n,a(n)表(Vincenzo Librandi提供的0.200条款)

哈塞内·贝尔巴希尔、阿布德尔加尼·迈赫道伊和拉什拉雷,Pascal金字塔中的对角和,II:应用,国际期刊顺序。,第22卷(2019年),第19.3.5条。

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弗朗西斯·菲特和安德鲁·V·萨瑟兰,y^2=x^5-x和y^2=x^6+1扭曲的随机分布,arXiv预印本arXiv:1203.1476[math.NT],2012.-自N、 斯隆2012年9月14日

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H、 D.Nguyen和D.Taggart,挖掘OEIS:十个实验猜想,2013。提到了这个序列N、 斯隆2014年3月16日

托尼·D·诺伊,关于广义中心三项式系数的可除性《整数序列杂志》,第9卷(2006年),第06.2.7条。

公式

用Gauss超几何函数表示,Maple表示法:a(n)=超几何([-n,1/2],[1],-4)-卡罗尔·彭森2001年4月20日

这个序列是二项式转换A000984号. -约翰·W·外行2000年8月11日;证明人德国金刚砂2002年10月26日

E、 g.f.:exp(3*x)*I_0(2x),其中I_0是贝塞尔函数-迈克尔·索莫斯2002年9月17日

G、 f.:1/平方米(1-6*x+5*x^2)-德国金刚砂2002年10月26日

有递推的D-有限:n*a(n)-3*(2*n-1)*a(n-1)+5*(n-1)*a(n-2)=0,n>1-德国金刚砂2004年1月24日

德国金刚砂2004年1月30日:(开始)

a(n)=[t^n](1+3*t+t^2)^n;

a(n)=和{j=上限(n/2)…n}3^(2*j-n)*二项式(n,j)*二项式(j,n-j)。(结束)

a(n)=A026380型(2*n-1)(n>0)-德国金刚砂2004年2月18日

G、 f.:1/(1-x-2*x/(1-x-x/(1-x-x/(1-x-x/(1-x-x/(1-x-x/(1-x…)(续分数)-保罗·巴里2009年1月6日

a(n)=(1+x-x^2)的平方系数之和^n-见三角形A084610号. -保罗·D·汉娜2009年7月18日

a(n)=(1-x-x^2)^n的系数平方和-乔尔阿恩特2011年7月6日

a(n)=(1/Pi)*积分{x=-2..2}((3+x)^n/sqrt((2-x)*(2+x)))dx-彼得·卢什尼2011年9月12日

a(n)~5^(n+1/2)/(2*sqrt(π*n))-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月8日

G、 f.:G(0)/(1-x),其中G(k)=1+4*x*(4*k+1)/((4*k+2)*(1-x)-2*x*(1-x)*(2*k+1)*(4*k+3)/(x*(4*k+3)+(1-x)*(k+1)/G(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月24日

0=a(n)*(+25*a(n+1)-45*a(n+2)+10*a(n+3))+a(n+1)*(-15*a(n+1)+36*a(n+2)-9*a(n+3))+a(n+2)*(-3*a(n+2)+a(n+3))-迈克尔·索莫斯2014年5月11日

a(n)=GegenbauerC(n,-n,-3/2)-彼得·卢什尼2016年5月9日

a(n)=和{k=0..n}5^(n-k)*(-1)^k*二项式(n,k)*二项式(2*k,k)。-_靖一 文山_2019年4月22日

a(n)=和{k=0..floor(n/2)}3^(n-2*k)*二项式(n,2*k)*二项式(2*k,k)。-_靖一 文山_2019年5月4日

a(n)=(1/Pi)*积分{x=-1..1}(1+4*x^2)^n/sqrt(1-x^2)dx=(1/Pi)*积分{x=-1..1}(5-4*x^2)^n/sqrt(1-x^2)dx-彼得·巴拉2020年1月27日

彼得·巴拉2022年1月10日:(开始)

1+x*exp(Sum{n>=1}a(n)*x^n/n)=1+x+3*x^2+10*x^3+36*x^4+…是A002212.

对于素数p和正整数n和k,高斯同余a(n*p^k)==a(n*p^(k-1))(mod p^k)成立(结束)

例子

G、 f.=1+3*x+11*x^2+45*x^3+195*x^4+873*x^5+3989*x^6+。。。

枫木

顺序(添加(二项式(n,k)*二项式(2*k,k),k=0..n),n=0..30)Detlef Pauly(dettodet)雅虎。德国),2001年11月8日

a:=n->简化(GegenbauerC(n,-n,-3/2)):

顺序(a(n),n=0..22)#彼得·卢什尼2016年5月9日

数学

表[系列系数[1/Sqrt[1-6*x+5*x^2],{x,0,n}],{n,0,20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月8日*)

(*来自迈克尔·索莫斯2014年5月11日:(开始)*)

a[n_u]:=总和[二项式[n,k]二项式[2k,k],{k,0,n}];

a[n_x]:=如果[n<0,0,超几何2f1[-n,1/2,1,-4]];

a[n_x]:=如果[n<0,0,系数[(1+3 x+x^2)^n,x,n]];

a[n_x]:=如果[n<0,0,n!系列系数[Exp[3 x]BesselI[0,2 x],{x,0,n}]];

(*(结束)*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=如果(n<0,0,polcoeff((1+3*x+x^2)^n,n))}/*迈克尔·索莫斯2002年9月9日*/

(马克西玛)A026375号(n) :=系数(展开((1+3*x+x^2)^n),x,n);

名单(A026375号(n) ,n,0,12)/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月2日*/

(PARI)a(n)={my(v=Vec((1-x-x^2)^n));和(k=1,#v,v[k]^2);}\\乔尔阿恩特2011年7月6日

(PARI){a(n)=和(k=0,n,5^(n-k)*(-1)^k*二项式(n,k)*二项式(2*k,k))}\_靖一 文山_2019年4月22日

(PARI){a(n)=和(k=0,n\2,3^(n-2*k)*二项式(n,2*k)*二项式(2*k,k))}\_靖一 文山_2019年5月4日

(哈斯克尔)

a026375 n=a026374(2*n)n--莱因哈德·祖姆凯勒2014年2月22日

(间隙)列表([0..25],n->和([0..n],k->二项式(n,k)*二项式(2*k,k)))#阿西鲁2018年7月29日

交叉引用

第3列,共邮编:A292627.第1列,共A110165号.中柱邮编:A272866.

囊性纤维变性。A002893号,A084610号,A000172号,A002212.

第一个区别在于A085362号二等分A026380型.

第m-th二项式变换A000984号:邮编:A126869(m=-2),A002426号(m=-1和m=-3表示签名版本),A000984号(m=0和m=-4表示签名版本),A026375号(m=1和m=-5表示签名版本),A081671号(m=2和m=-6表示签名版本),A098409型(m=3和m=-7表示签名版本),A098410型(m=4和m=-8表示签名版本),A104454电话(m=5和m=-9表示签名版本)。

关键字

作者

克拉克·金伯利

扩展

定义简化为N、 斯隆2012年2月16日

状态

经核准的

A125143 Almkvist Zudilin数:Sum{k=0..n}(-1)^(n-k)*((3^(n-3*k)*(3*k)!)/(k!)^(三)*二项式(n,3*k)*二项式(n+k,k)。 +40个
47
1,-3,9,-3,-279,2997,-19431,65853,292329,-7202523,69363009,-407637387702049401,1722388453,-261933431751,2181064727997,-10299472204311,-15361051476987,900537860383569,-10586290198314843,7489255214902721,-23505495584593843 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,2个

评论

除了符号,这是一个仿人的序列-见交叉引用-雨果·普福特纳2017年8月6日

有理函数的对角线1/(1-(x+y+z+w-27*x*y*z*w))-格奥尔赫·科塞雷亚2018年10月14日

以瑞典数学家Gert Einar Torsten Almkvist(1934-2018)和俄罗斯数学家Wadim Walentinowitch Zudilin(生于1970年)命名-阿米拉姆埃尔达2021年6月23日

参考文献

G、 Almkvist和W.Zudilin,微分方程,镜像映射和zeta值。镜对称V,N.Yui,S.-T。邱和刘易斯(编辑),高等数学中的AMS/IP研究38(2007),国际出版社和Amer。数学。Soc.,第481-515页。引自Chan&Verrill。

海伦娜·维里尔在美国能源研究所年会上的讲话中说。数学。加州,新奥尔良,洛杉矶,2007年1月关于“1/pi系列”。

链接

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Gert Almkvist,Christian Krattenthaler和Joakim Peterson,π的几个新公式,实验。数学。,第12卷(2003年),第441-456页(数学修订版MR2043994,作者:W.Zudilin)

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刘智才,Chan和Verrill 1/Pi公式的p-adic模拟,arXiv:2008.06675[math.NT],2020年。

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孙志红,关于二项式系数与似数,arXiv:2002.12072[math.NT],2020年。

孙志红,涉及类数的新同余,arXiv:2004.07172[math.NT],2020年。

公式

a(n)=和{k=0..n}(-1)^(n-k)*((3^(n-3*k)*(3*k)!)/(k!)^(三)*二项式(n,3*k)*二项式(n+k,k)-阿卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2011年7月13日

循环次数:n^3*a(n)=-(2*n-1)*(7*n^2-7*n+3)*a(n-1)-81*(n-1)^3*a(n-2)-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月11日

Lim sup n->无穷大| a(n)| ^(1/n)=9-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月11日

G、 f.y=A(x)满足:0=x^2*(81*x^2+14*x+1)*y''+3*x*(162*x^2+21*x+1)*y'+(21*x+1)*(27*x+1)*y'+3*(27*x+1)*y-格奥尔赫·科塞雷亚2018年10月15日

G、 f.:超几何([1/8,5/8],[1],-256*x^3/((81*x^2+14*x+1)*(-x+1)^2))^2/((81*x^2+14*x+1)^(1/4)*sqrt(-x+1))-谢尔盖·尤尔凯维奇2020年8月31日

数学

表[总和[(-1)^(n-k)*((3^(n-3*k)*(3*k)!)/(k!)^(三)*二项式[n,3*k]*二项式[n+k,k],{k,0,n}],{n,0,20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月11日*)

黄体脂酮素

(PARI)a(n)=和(k=0,n,(-1)^(n-k)*((3^(n-3*k)*(3*k)!)/(k!)^(三)*二项式(n,3*k)*二项式(n+k,k));

交叉引用

类Apery数[或Apery样序列,Apery样数字,Apery样序列]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895型,A005258号,A005259号,A005260型,A006077号,A036917型,A063007年,A081085型,A093388号,A125143(除标志外),A143003号,A143007号,邮编:A143413,邮编:A143414,邮编:A143415,邮编:A143583,邮编:A183204,A214262号,A219692年,A226535号,A227216号,A227454号,A229111号(除标志外),A260667号,A260832号,A262177号,A264541号,A264542号,A279619号,邮编:A290575,邮编:A290576(“仿制品”一词的定义并不明确。)

对于不划分序列项的素数A000172号,A005258号,A002893号,A081085型,A006077号,A093388号,A125143,A229111号,A002895型,邮编:A290575,邮编:A290576,A005259号看见邮编:A260793,A291275-甲291284A133370号分别。

关键字

容易的,签名

作者

R、 K.盖伊2007年1月11日

扩展

编辑并添加了更多术语阿卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2011年7月13日

状态

经核准的

A047996型 按行读取的三角形:T(n,k)是第(n,k)个圆二项式系数,其中0<=k<=n。 +40个
37
1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、2、2、2、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、5、5、5、3、1、1、1、1、1、5、5、5、3、1、1、1、1、1、1、4、1、1、1、14、14、10、10、4、14、14、10、10、4、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、5、15、15、15、15、15、15、15 5,1,1,1,1,6,19,43,66,80,66,43,19,6,1,1,1,1,6,22 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,13

评论

等价地,T(n,k)=有k个黑色珠子和n-k个白色珠子的项链数量(重量为k的二元项链)。

如果我们用表U(n,k)=有n个黑色珠子和k个白色珠子的项链的数量,并用对角符号(cf。邮编:A241926). -富兰克林·T·亚当斯·沃特斯2014年5月2日

U(n,k)也等于将0表示为Z/nZ中k个元素之和的方法数-詹斯·沃什,富兰克林·T·亚当斯·沃特斯,N、 斯隆,2014年4月30日至2014年5月5日。请参阅链接(“关于模块化隔墙和项链的注释”)。

k列的母函数是由k阶对称群的循环指数x_j->x^j/(1-x^j)代换得到的-R、 J.马萨2018年11月15日

彼得罗斯哈吉科斯塔斯2019年7月12日:(开始)

关于Voss,Adams Watters,以及Sloane的以上评论,注意到Fredman(1975)证明了Fredman(1975)证明了非负整数成分的向量(a,…,a{{n-1})的非负整数组成部分满足_0+…+a{n-1}=k和Sum{i=0.0..n-1}i*a _i=v(modn)由S(n,k,v)=(1/(n+k))*Sum{d{d | gcd(n,k)}gcd(n,k)}gcd(n,k)}gcd(n,k)gcd(n,k)gcd(n,k)gcd(n,}A054535号(d,v)*二项式((n+k)/d,k/d)=S(k,n,v)。

Elashvili等人(1999)也证明了这一结果,他们还证明了S(n,k,v)=和{d | gcd(n,k,v)}S(n/d,k/d,1)。这里,S(n,k,0)=邮编:A241926(n,k)=U(n,k)=T(n+k,k)(其中T(n,k)是当前数组)。还有,S(n,k,1)=A245558号(n,k)。关于更一般的结果和生成函数,另请参见Panyushev(2011)。

最后,请注意A054535号(d,v)=c_d(v)=和{s | gcd(d,v)}s*Moebius(d/s)。这些是Ramanujan和,它也等于von Sterneck函数c_d(v)=phi(d)*Moebius(d/gcd(d,v))/phi(d/gcd(d,v))。我们有A054535号(d,v)=A054534号(v,d)。

很有意思的是看看是否有Fredman(1975)、Elashvili et al.(1999)和Panyushev(2011)对一般v使用Molien级数的结果的证明,正如Sloane(2014)在v=0的情况下所做的那样(在这种情况下,A054535号(d,0)=φ(d))。(即使数组的列A054535号(d,v)从v=1开始,我们也可以从v=0列开始数组。)

(结束)

U(n,k)是模n的残数k元组的等价类的数目,它识别出组成部分不同的常数和置换不同的类-阿尔瓦尔·伊比亚斯2021年9月21日

参考文献

N、 G.de Bruijn,Polya的计数理论,发表于:应用组合数学(E.F.Bekenbach,ed.),John Wiley and Sons,纽约,1964年,第144-184页(此三角形的G.F.含义)。

理查德斯坦利,计数组合学,第二。编辑,第一卷,第一章,问题105,第122和168页,讨论了Z/nZ加上0的子集数-N、 斯隆2014年5月6日

J、 Voß,张贴到序列球迷邮件列表,2014年4月30日。

H、 S.Wilf,与N、 斯隆1990年11月。

看到了吗A000031号为许多额外的参考和链接。

链接

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维基百科,项链动画[断链?]

Wolfram研究所,项链小程序.

项链相关序列的索引条目

公式

T(n,k)=(1/n)*和{d |(n,k)}φ(d)*二项式(n/d,k/d)。

T(2*n,n)=A003239号(n) ;T(2*n+1,n)=A000108号(n) 一-菲利普·德莱厄姆2006年7月25日

G、 f.对于n行(n>=1):(1/n)*和{i=0..n-1}(x^(n/gcd(i,n))+1)^gcd(i,n)-乔尔阿恩特2012年9月28日

G、 f.:和{n,k>=0}T(n,k)*x^n*y^k=1-和{s>=1}(phi(s)/s)*log(1-x^s*(1+y^s))-彼得罗斯哈吉科斯塔斯2017年10月26日

积{d>=1}(1-x^d-y^d)=积{i,j>=0}(1-x^i*y^j)^T(i+j,j),其中i和j不是都为零。(它来自于Somos对array的无限积A051168号.) -彼得罗斯哈吉科斯塔斯2019年7月12日

例子

三角形起点:

[0]1,

[1]1,1,

[2]1,1,1,

[3]1,1,1,1,

[4]1,1,2,1,1,

[5]1,1,2,2,1,1,

[6]1,1,3,4,3,1,1,

[7]1,1,3,5,5,3,1,1,

[8]1,1,4,7,10,7,4,1,1,

[9]1,1,4,10,14,14,10,4,1,1,

[10] 1,1,5,12,22,26,22,12,5,1,1,

[11] 1,1,5,15,30,42,42,30,15,5,1,1,

[12] 1,1,6,19,43,66,80,66,43,19,6,1,1。。。

枫木

A047996型:=过程(n,k)局部C,d;如果k=0,则返回1;结束if;C:=0;对于数值[除数](igcd(n,k))中的d,做C:=C+numtheory[phi](d)*二项式(n/d,k/d);结束do:C/n;结束过程:

seq(顺序(A047996型(n,k),k=0..n),n=0..10)#R、 J.马萨2011年4月14日

数学

t[nè,kè]:=总计[EulerPhi[#]*二项式[n/#,k/#]&/@除数[GCD[n,k]]]/n;t[0,0]=1;展平[表格[t[n,k],{n,0,13},{k,0,n}]](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗,2011年7月19日,在给出公式后*)

黄体脂酮素

(平价)

p(n)=如果(n<=0,n==0,1/n*和(i=0,n-1,(x^(n/gcd(i,n))+1)^gcd(i,n));

对于(n=0,17,打印(Vec(p(n)));/*打印三角形*/

/*乔尔阿恩特2012年9月28日*/

(平价)

T(n,k)=如果(n<=0,n==0,1/n*sumdiv(gcd(n,k),d,eulerphi(d)*二项式(n/d,k/d)));

/*打印三角形:*/

{for(n=0,17,for(k=0,n,print1(T(n,k),“,”););print(););}

/*乔尔阿恩特2012年10月21日*/

交叉引用

行总和:A000031号。第0-12列:A000012号,A000012号,A004526号,A007997年(n+5),A008610号,A008646号,A032191号-A032197型.

囊性纤维变性。A051168号,A052307型,A052311号-A052313型.

看到了吗A037306号邮编:A241926对于基本相同的三角形。

看到了吗A245558号,A245559号对于一个密切相关的数组。

关键字

,,容易的,美好的

作者

N、 斯隆

扩展

名称编辑人彼得罗斯哈吉科斯塔斯2017年11月16日

状态

经核准的

邮编:A143414 常数1/e的近似数:a(n)=(1/(n-1)!)*和{k=0..n-1}二项式(n-1,k)*(2*n-k)!。 +40个
34
0,2,30,492,9620,222630,5989242,184139480,6377545512,245868202890,10446648201110,4851264443539012,24449173476952380,1329144227959910462,77535552689576436210,48312786746853629040,3202624240876526866405712 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,2个

评论

这个序列满足递归(n-1)^2*a(n)-n^2*a(n-2)=(2*n-1)*(2*n^2-2*n+1)*a(n-1),从而得到常数1/e:1/e=1/2-2*Sum{n>=2}(-1)^n*n^2/(a(n)*a(n-1))。

注意到它与A(n)的理论惊人的相似=A005258号(n) 它满足一个相似的递推关系n^2*a(n)-(n-1)^2*a(n-2)=(11*n^2-11*n+3)*a(n-1),出现在级数加速公式zeta(2)=5*和{n>=1}1/(n^2*a(n)*a(n-1))。与…比较邮编:A143413邮编:A143415.

链接

靖一 文山,n=0..365的n,a(n)表

A、 范德波顿,一个证明欧拉错过了…阿佩里的证明zeta的非理性(3)。非正式报告,数学。Intelligencer1(1978/79),第4期,195-203。

公式

a(n)=(1/(n-1)!)*和{k=0..n-1}二项式(n-1,k)*(2*n-k)!。

递推关系:a(0)=0,a(1)=2,(n-1)^2*a(n)-n^2*a(n-2)=(2*n-1)*(2*n^2-2*n+1)*a(n-1),n>=2。

设b(n)表示此递推的解,初始条件为b(0)=-1,b(1)=1。然后b(n)=邮编:A143413(n) =(1/(n-1)!)*和{k=0..n+1}(-1)^k*二项式(n+1,k)*(2*n-k)!。

有理数b(n)/a(n)相当于在x=-1和b(n)/a(n)->1/e时计算的(n+1,n-1)次经验(x)的Padé近似。例如,| b(100)/a(100)-1/e约为2.177*10^(-437)。

恒等式a(n)*b(n-1)-a(n-1)*b(n)=(-1)^n*2*n^2得到常数1/e和e的快速收敛级数:1/e=1/2-2*Sum{n>=2}(-1)^n*n^2/(a(n)*a(n-1))=1/2-2*(2^2/(2*30)-3^2/(30*492)+4^2/(492*9620)-…);e=2*和{n>=1}(-1)^n*n^2/(b(n)*b(n-1))=2*(1+2^2/(1*11)-3^2/(11*181)+4^2/(181*3539)-…)。

a(n)=(贝塞尔克(n-1/2,1/2)-(1-2*n)*贝塞尔克(n+1/2,1/2))*exp(1/2)/(2*Pi^(1/2))-马克·范霍伊2009年11月12日

a(n)=((2*n)/(n-1)!)*n>0的超几何([1-n],-2*n],1))-彼得·卢什尼2020年5月14日

a(n)~2^(2*n+1/2)*n^(n+1)/exp(n-1/2)-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年7月11日

枫木

a:=n->1/(n-1)*添加(二项式(n-1,k)*(2*n-k)!,k=0..n-1):顺序(a(n),n=0..19);

#备选方案:

邮编:A143414:=n->`if`(n=0,0,((2*n)/(n-1)!)*超几何([1-n],[-2*n],1)):

seq(简化(邮编:A143414(n) ),n=0..16)#彼得·卢什尼2020年5月14日

数学

表[(1/(n-1)!)*总和[二项式[n-1,k]*(2*n-k)!,{k,0,n-1}],{n,0,50}](*G、 C.格雷贝尔2017年10月24日*)

黄体脂酮素

(PARI)对于(n=0,25,print1((1/(n-1)!)*和(k=0,n-1,二项式(n-1,k)*(2*n-k)!),", ")) \\G、 C.格雷贝尔2017年10月24日

交叉引用

囊性纤维变性。邮编:A143413,邮编:A143415.

类Apery数[或Apery样序列,Apery样数字,Apery样序列]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895型,A005258号,A005259号,A005260型,A006077号,A036917型,A063007年,A081085型,A093388号,A125143(除标志外),A143003号,A143007号,邮编:A143413,邮编:A143414,邮编:A143415,邮编:A143583,邮编:A183204,A214262号,A219692年,A226535号,A227216号,A227454号,A229111号(除标志外),A260667号,A260832号,A262177号,A264541号,A264542号,A279619号,邮编:A290575,邮编:A290576(“仿制品”一词的定义并不明确。)

关键字

容易的,

作者

彼得·巴拉2008年8月14日

状态

经核准的

A056045型 a(n)=和{d | n}二项式(n,d)。 +40个
26
1,3,4,11,6,42,8,107,94,308,12,1718,14,3538,3474,14827,18,68172,20,205316,117632,705686,24,3587174,53156,10400952,4689778,41321522,30,185903342,32,611635179,193542210,2333606816,7049188,1042290784,38 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

1,2

链接

靖一 文山,n=1..3329的n,a(n)表(T.D.Noe中的术语1..500)

Y、 普瑞和T.沃德,周期轨道的算法与增长,J.整数序列。,第4卷(2001年),#01.2.1。

公式

五十、 g.f.:A(x)=和{n>=1}log(g(x^n,n)),其中g(x,n)=1+x*g(x,n)^n。五十、 g.f.A(x)满足:exp(A(x))=g.fA110448号. -保罗·D·汉娜2007年11月10日

a(n)=和{k=1。。A000005号(n) }A007318型(n,A027750型(k) )-莱因哈德·祖姆凯勒2013年8月13日

a(n)=和{k=1..n}二项式(n,gcd(n,k))/φ(n/gcd(n,k))=和{k=1..n}二项式(n,n/gcd(n,k))/φ(n/gcd(n,k)),其中φ=A000010号. -理查德L.奥利顿2021年11月8日

当n是素数时,a(n)=n+1-伯纳德·肖特2021年11月30日

例子

A(x)=对数(1/(1-x)*G(x^2,2)*G(x^3,3)*G(x^4,4)*…)

其中函数G(x,n)是已知序列的G.f.s:

G(x,2)=总流量A000108号=1+x*G(x,2)^2;

G(x,3)=总流量A001764号=1+x*G(x,3)^3;

G(x,4)=总流量A002293号=1+x*G(x,4)^4;等。

数学

f[n_x]:=总和[二项式[n,d],{d,除数@n}];阵列[f,37](*罗伯特·G·威尔逊五世,2005年4月23日*)

总计[二项式[#,除数[#]]]&/@Range[40](*哈维·P·戴尔2018年12月8日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=n*polcoeff(和(m=1,n,log(1/x*serreverse(x/(1+x^m+x*O(x^n))))),n)}/*保罗·D·汉娜2007年11月10日*/

(PARI){a(n)=sumdiv(n,d,二项式(n,d))}/*保罗·D·汉娜2007年11月10日*/

(哈斯克尔)

a056045 n=总和$map(a007318 n)$a027750_行n

--莱因哈德·祖姆凯勒2013年8月13日

交叉引用

囊性纤维变性。A110448号(实验(A(x));A000108号(加泰罗尼亚数字),A001764号,A002293号,邮编:A174462.

囊性纤维变性。A000010号(对Dirichlet和公式的评论)。

囊性纤维变性。A308943飞机(与产品类似)。

关键字

美好的,

作者

拉博斯埃勒默2000年7月25日

状态

经核准的

页码12 4 5 6 7 8 9 10...167

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