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约瑟夫·舒尼亚：Kevin，任何以b>=F（n）为基数的整数都足够。所以它可以写成多项式。然而，我相信用纯整数形式表示它有好处。例如，我发现它使与模运算的联系更加明显。我还觉得将克罗内克替换应用于商环的效果并不明显，而且确实存在一些必须考虑的边缘情况。基数b=2^n并不是特别特殊的，尽管它是最小整数幂基数，可以不用将指数作为分数使用。要进行优化，可以使用基数b=2^（n*7/10）。这个界限可以使用极限来找到。如果我们想让它更通用，我认为应该这样写：F（n）=（（b+1）^（n-1）mod（b^2+b-1））mod b，其中b>=2^（n*7/10）。或者可以选择F（n）=（（b+1）^（n-1）mod（b^2+b-1））mod b，其中b>=F（n。你的想法是什么？

约瑟夫·舒尼亚：更正：F（n）=（（b+1）^（n-1）mod（b^2+b-1））mod b，其中b>=F（n。

凯文·莱德：我不评价“b+1”形式，因为可能只是从b开始，b比b大1。我认为关键是b^n>phi^n+1或类似的值，这样就可以提取结果，可能在出现一些初始异常之后。

凯文·莱德：（可以关注其他地方。几乎每一次线性递归都会有本质上相同的东西。那些初始值为“0,0，…，1”的递归最直接，但所有这些都是在对剩余部分进行了一些不吸引人的篡改之后。）

约瑟夫·舒尼亚：凯文，你提出了一个重要的观点。目前，我认为最好在适当的情况下给出多项式商环公式，除非应用克罗内克替换提供了独特的见解或优势。随着时间的推移，克罗内克替换在这方面的应用可能会得到更广泛的认可。多项式商环计算目前在实践中效率更高（尽管理论时间复杂度相似），优化仍然是一个悬而未决的问题，也是我正在积极研究的领域。考虑到Hankin和Rideau之前的工作，我修改了我的论文，删除了斐波那契公式，但我添加了Hankin博客的参考。更新版本尚未发布，但很快就会发布。考虑到这一点，我认为在这里恢复我的更改是合适的。如果Hankin或Rideau希望这样做的话，最好让他们声明这个特定的公式。作为替代，如果你和编辑接受这个想法，我愿意为Pell序列添加我的公式。虽然我不认为应该在每个序列中添加这种类型的公式，但包括一两个有代表性的示例可能是有价值的。请让我知道你的想法。

（Python）

定义A000045号（n） ：返回功率（（m:=（1<<n））+1，n-1，m*m+m-1）%m

打印([A000045号（n） 对于范围（100）内的n）#迈克尔·布拉尼基2024年4月21日

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迈克尔·布拉尼基：Kevin，代码已删除。

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凯文·莱德：嗯，是的，不，代码是用来计算项的。这真的不是算法的选择。（只有在数学部分，似乎每一个公式，无论是否有效，都会变成代码——让普通用户对什么是好的一无所知。：-）

凯文·莱德：关于这个公式类型的第一轮谈判有一个幼稚的代码（对作者来说没有冒犯），这肯定是出局了。https://oeis.org/history/view？seq=A000045&v=2125

凯文·莱德：在公式方面，你想用模多项式幂来表示它吗，比如，嗯，x^（n+1）mod（x^2-x-1）mod x？2^n或2^n+1在计算中不是特别的吗？仅大于结果a（n）。（当然，这种动力通常用于线性复发。）

（Python）

定义A000045号（n） ：返回功率（（m:=（1<<n））+1，n-1，m*m+m-1）%m

打印([A000045号（n） 对于范围（100）内的n）#迈克尔·布拉尼基2024年4月21日

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迈克尔·布拉尼基：新公式的代码

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保罗·汉金（Paul Hankin），<a href=“https://blog.paulhankin.net/fibonacci2网址/“>计算斐波那契数的一种新颖有效的方法，博客帖子，2018年5月。

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约瑟夫·舒尼亚：在进行更深入的文献审查后，我发现提交的斐波那契公式的变体之前曾在2018年的一篇博文中由Paul Hankin分享（参见：https://blog.paulhankin.net/fibonacci2网址).在开发了本文中描述的多项式环和Kronecker替换框架后，我独立得出了斐波那契公式，这本身就是我之前关于二项式和多项式系数的工作的自然延伸（参见我之前的工作：https://arxiv.org/search/math？searchtype=author&query=Shunia，+J+M）。然而，汉金和汉金博客的读者法雷·里多（FaréRideau）似乎已经在2018年发现了类似的斐波那契数公式。汉金最初是从对生成函数的十进制展开式的分析中得出他的版本的，里多后来将其简化为与我的形式几乎相同的形式。

约瑟夫·舒尼亚：我目前正在修改我的论文，以表彰汉金和里多的独立发现。有趣的是，Hankin的博客文章最后提出了一个开放性问题，询问该方法是否可以推广到计算其他递归序列的项。事实上，这正是我的研究所回答的确切问题。我发现，在其他应用程序中，该方法可以推广到计算其他递归项。我计划在我的论文中对此进行进一步的扩展和阐述。关于OEIS的加入，我将非常感谢关于最佳方式的任何指导或建议。我倾向于在Hankin的博客上添加一个链接，以承认他和Rideau的发现，并确保获得适当的学分，同时仍然允许我工作的新颖方面，如对其他递归的推广以及多项式环和Kronecker替换框架的发展，可见。我认为，提供历史背景并承认（相对）平行的独立发现将有助于提高参赛资格。或者，我对编辑建议的其他修改持开放态度。感谢您的时间和考虑。

发件人约瑟夫·舒尼亚，4月三032024年：（开始）

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乔恩·肖恩菲尔德：日期格式已更正

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Joseph M.Shunia，<a href=“https://arxiv.org/abs/2404.00332“>多项式商环与导出组合恒等式的克罗内克替换，arXiv预印本arXiv:2404.00332[math.GM]，2024。

发件人约瑟夫·舒尼亚，2024年4月3日：（开始）

F（n）=（（2^n+1）^（n-1）模（4^n+2^n-1））模2^n。

对于n>1，F（n）=（2^（n^2-n）mod（4^n-2^n-1））mod。（结束）

经核准的

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约瑟夫·舒尼亚：给出的公式是将Kronecker代换应用于商环内多项式展开式的结果。我已经包括了一个链接到预印本，详细描述和证明了这种方法。我知道这些公式可能看起来有些不合常规，我欢迎您提出任何问题。我也很高兴收到并考虑所有建设性的反馈。