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| A145271号 |
| （g（x）d/dx）^n（x）的膨胀系数；计算h（x）=（d/dx）^（-1）1/g（x）组成逆的精细欧拉数；迭代导数作为流的无穷小生成器。 |
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41
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1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 11, 4, 7, 1, 1, 26, 34, 32, 15, 11, 1, 1, 57, 180, 122, 34, 192, 76, 15, 26, 16, 1, 1, 120, 768, 423, 496, 1494, 426, 294, 267, 474, 156, 56, 42, 22, 1, 1, 247, 2904, 1389, 4288, 9204, 2127, 496, 5946, 2829, 5142, 1206, 855, 768, 1344, 1038, 288, 56, 98, 64, 29, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,6
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评论
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给定解析函数F（x）和FI（x），使得F（FI（x））=FI（F（x
W（s，x）=经验（s g（x）d/dx）x=F（s+FI（x））<流量fct.>，
W（s，0）=F（s）<流动轨道>，
W（0，x）=x<单位属性>，
dW（0，x）/ds=g（x）=F'[FI（x）]<无穷小生成器>，这意味着
dW（0，F（x））/ds=g（F（x，和
W（s，W（r，x））=F。（请参阅下面的MF链接。）（结束）
dW（s，x）/ds-g（x）dW（x，s）/dx=0，因此（1，-g（x-汤姆·科普兰2011年10月26日
与椭圆曲线的形式群定律相关（参见霍夫曼）-汤姆·科普兰2012年2月24日
函数方程W（s，x）=F（s+FI（x））或其限制有时被称为Abel方程或Abel函数方程（见Houzel和Wikipedia），与Schröder函数方程和用于成分迭代的Koenigs函数（Alexander、Goryainov和Kudryavtseva）有关-汤姆·科普兰2012年4月4日
g（W（s，x））=F'（s+FI（x））=dW（s、x）/ds=g（x）dW（sx）/dx，将这里的算符连接到孔特雷拉斯等人论文的Koenigs/Königs函数和Loewner/Löwner演化方程的表示-汤姆·科普兰，2018年6月3日
上述自治微分方程在重整化群方程或Beta函数中也出现了形式为x=log（u）的变量变化。参见维基百科，Zinn-Justin方程式2.10和3.11，以及Krajewski和Martinetti方程式21-汤姆·科普兰2020年7月23日
这些划分多项式的一个变体出现在Petreolle等人的第83页上，其中的不定项e_n与以下示例中给出的不定值e_n=n*（n’）。系数被解释为枚举某些类型的树。另请参见A190015标准. -汤姆·科普兰2022年10月3日
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参考文献
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D.S.Alexander，《复杂动力学史：从Schröder到Fatou再到Julia，Friedrich Vieweg&Sohn》，1994年。
T.Mansour和M.Schork，交换关系，正规序和斯特林数，查普曼和霍尔/CRC，2015年。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年。
F.Bracci、M.Contreras、S.Díaz-Madrigal和A.Vasil’ev，经典和随机Löwner-Kufarev方程，arXiv:1309.6423[math.CV]，（参见例如第23页），2013年。
C.布罗德，树、重整化和微分方程，BIT数值数学，44:425-4382004，（流动/自治微分方程，第429页）。
M.Contreras、S.Díaz-Madrigal和P.Gumenyuk，装置盘中的Loewner链，arXiv:0902.3116【数学简历】，2009年第29页。
P.Feinsilver、R.Schott、，李群上的Appell系统，J.Theor。普罗巴伯。5 (2) (1992) 251-281.
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学2009年，第526和527页。
C.胡泽尔，尼尔斯·亨利克·阿贝尔的作品《尼尔斯·亨利克·阿贝尔的遗产——阿贝尔二百周年纪念》，奥斯陆，2002年（编辑O.Laudal和R Piene），斯普林格·弗拉格（2004），第24-25页。
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配方奶粉
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设R=g（x）d/dx；然后
R^0克（x）=1（0'）^1
R^1克（x）=1（0'）^1（1'）^1
R^2克（x）=1（0'）^1（1'）^2+1（0`）^2（2'）^ 1
R^3克（x）=1（0'）^1（1'）^3+4（0'
R^4克（x）=1（0'）^1（1'）^4+11（0`）^2（1'，^2（2'）^1+4（0'，^3（2'，^2+7（0'
R^5克（x）=1（0'）（1'）^5+26（0'
R^6克（x）=1（0'）（1'）^6+57（0'+（0'）^6（6'）
式中，（j'）^k=（（d/dx）^jg（x））^k。在x=0时计算的R^（n-1）g（x。
隔墙的顺序与阿布拉莫维茨和斯特根第831页中的隔墙相反。对（0'）的类似幂的系数求和得出A008292年.
等效矩阵计算：将下三角Pascal矩阵的第n对角线（主对角线n=0）乘以g_n=（d/dx）^n g（x），得到VP（n，k）=二项式（n，k）g_（n-k）的矩阵VP。则R^n g（x）=（1，0，0，…）[VP*S]^n（g_0，g_1，g_2，…）^T，其中S是移位矩阵A129185号，表示除权基数x^n/n！中的微分-汤姆·科普兰2016年2月10日（作者于2016年7月19日删除了一项评估。囊性纤维变性。A139605型和A134685号.)
此外，R^n g（x）=（1，0，0，…）[VP*S]^（n+1）（0，1，0…）^T与A139605型. -汤姆·科普兰2016年7月21日
从低阶多项式和循环指数多项式的系数计算该项的每个分区多项式的递归关系A036039号在博客条目“形式群定律和二项式Sheffer序列”中介绍-汤姆·科普兰2018年2月6日
不确定替换，如A356145型导致[E]=[L][P]=[P][E]^（-1）[P]=[P][RT]和[E]*（-1）=[P][L]=[P][E][P]=[RT][P]，其中[E]包含该条目的精细欧拉分划多项式；[E] ^（-1），A356145型，逆集为[E]；[P] ，的置换面多项式A133314号; [五十] ，经典的拉格朗日反演多项式A134685号; 和[RT]，倒数切线多项式A356144型.由于[L]^2=[P]^2=[RT]^2=[I]，代换恒等式，[L]=[E][P]=[P][E]^（-1）=[RT][P]，[RT]=[E]^的（-1）[P]=[P][L][P]=[P][E]，并且[P]=[L][E]=[E][RT]=[E]^（-1）[L]=[RT][E]（-1）-汤姆·科普兰2022年10月5日
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例子
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设h（x）=log（（1+a*x）/（1+b*x））/（a-b）；那么，g（x）=1/（dh（x）/dx）=（1+ax）（1+bx），所以（0'）=1，（1'）=a+b，（2'）=2ab，在x=0处求值，g（x）的高阶导数消失。因此，在x=0时计算，
R^0克（x）=1
R^1克（x）=a+b
R^2克（x）=（a+b）^2+2ab=a^2+4 ab+b^2
R^3克（x）=（a+b）^3+4*（a+b）*2ab=a^3+11 a^2*b+11 ab^2+b^3
R^4克（x）=（a+b）^4+11*（a+b）^2*2ab+4*（2ab）^2
=a^4+26 a^3*b+66 a^2*b^2+26 ab^3+b^4，
等，以及这些二元欧拉多项式(A008292年)是h^（-1）（x）=（e^（ax）-e^（bx））/（a*e^。（完）
三角形开始：
1;
1;
1, 1;
1, 4, 1;
1, 11, 4, 7, 1;
1, 26, 34, 32, 15, 11, 1;
1, 57, 180, 122, 34, 192, 76, 15, 26, 16, 1;
1, 120, 768, 423, 496, 1494, 426, 294, 267, 474, 156, 56, 42, 22, 1;
1, 247, 2904, 1389, 4288, 9204, 2127, 496, 5946, 2829, 5142, 1206, 855, 768, 1344, 1038, 288, 56, 98, 64, 29, 1;
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MAPLE公司
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with（线性代数）：with（ListTools）：
如果n<2，则返回1 fi；
b:=（n，k）->`如果`（k=1或k>n+1，0，二项式（n-1，k-2）*g[n-k+1]）；
M:=n->矩阵（n，b）：
V:=n->矢量[行]（[1，seq（0，i=2..n）]）：
U:=n->矢量矩阵乘法（V（n），M（n）^（n-1））：
G:=n->矢量（[seq（G[i]，i=0..n-1）]）；
R:=n->矢量矩阵乘法（U（n），G（n））：
T:=反向（[op（排序（展开（R（n+1）））]）；
seq（subs（{seq（g[i]=1，i=0..n）}，T[j]），j=1..nops（T））结束：
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交叉参考
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参见(A133437号,A086810型,A181289号)=（LIF，约化LIF，关联g（x）），其中LIF是拉格朗日反演公式。类似于(A134264号,A001263号,A119900个), (A134685号,113491英镑,A019538年), (133932英镑,A111999型,A007318号).
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关键词
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作者
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扩展
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R^5和R^6公式和术语a（19）-a（29）由汤姆·科普兰2016年7月11日
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状态
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经核准的
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