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| A133437号 |
| 用于o.g.f.的直接拉格朗日反演的分区变换系数的不规则三角形，与A134685号例如f。；通过阶乘归一化，这些是关联面体的有符号、精化的面多项式。 |
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25
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1, -2, 12, -6, -120, 120, -24, 1680, -2520, 360, 720, -120, -30240, 60480, -20160, -20160, 5040, 5040, -720, 665280, -1663200, 907200, 604800, -60480, -362880, -181440, 20160, 40320, 40320, -5040, -17297280, 51891840, -39916800, -19958400, 6652800, 19958400, 6652800, -1814400, -1814400, -3628800, -1814400, 362880, 362880, 362880, -40320
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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设f（t）=u（t）-u（0）=Sum_{n>=1}u_n*t^n。
如果u_1不等于0，则f（t）的组成逆由g（t）=Sum_{j>=1}P（n，t）给出，其中u_n由（n'）表示，
P（1，t）=（1'）^（-1）*[1]*t
P（2，t）=（1'）^（-3）*[-2（2'）]*t^2/2！
P（3，t）=（1'）^（-5）*[12（2'）^2-6（1'）（3'）]*t^3/3！
P（4，t）=（1'）^（-7）*[-120（2'）^3+120（1'，2'）（3'）-24（1'）^2（4'）]*t^4/4！
P（5，t）=（1'）^（-9）*[1680（2'）^4-2520（1'）（2'，^2（3'）+360（1'，^2+720（1'）|2'（4'）-120（1'）*3'）]*t^5/5！
P（6，t）=（1'）^（-11）*[-30240（2'）^5+60480（1'）（2'，^3（3'）-20160（1'，^2（2'！
P（7，t）=（1'）^（-13）*[665280（2'）^6-1663200（1''）（5'）+40320（2'）（6'）]-5040（1'）^5（7'）]*t^7/7！
P（8，t）=（1'）^（-15）*[-17297280（2'）^7+51891840（1'4400（3'）^2（4'）+1814400（2'）（4'+362880（2'）（7'）]-40320（1'）^6（8'）]*t^8/8！
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关于associahedra或Stasheff多面体（以及其他组合物体）的几何关系，请参见Loday和McCamond链接。例如，P（5，t）=（1'）^（-9）*[14（2'）^4-21（1'）（2'，^2（3'）+6（1'）^2。对相同尺寸的面求和得出A033282号或A126216号. -汤姆·科普兰，2008年9月29日
o.g.f的这种拉格朗日反演与由“精细Lah数”形成的配分多项式之间的关系A130561型在链接“Lagrange a la Lah”中显示，以及本影二叉树表示。
牛顿意识到了级数反转的幂级数展开。参见Ferraro参考第75页，等式。52. -汤姆·科普兰2017年1月22日
划分多项式的系数除以相关阶乘可枚举称为结合面体的凸有界多面体的面，重整化系数之和的绝对值给出了每个多面体统一的欧拉特征；即，数组每行总和的绝对值为n！（非标准化）或统一（标准化）。此外，面的符号与维数交替，每个多面体具有相同维数的面的系数具有相同的符号-汤姆·科普兰，2019年11月13日
Halvorson和Street提出了关联面形和有向n单形之间的关系-汤姆·科普兰2019年12月8日
设f（x；t，n）=x-t*x^（n+1），给出u_1=（1'）=1和u_（n+1A001764号，n=2）。将此结果与中的相同结果进行比较A134264号给出了结合面体和非交叉分区（以及与这些反演公式和中列出的公式相关的其他组合构造）的面之间的关系A145271号)-汤姆·科普兰2020年1月27日
K_n面、维度（n-1）的结合面体和多边形剖分之间存在映射。剖分的非交叉对角线（即内部不相交）形成亚多边形。将不确定的x_k指定给子多边形，其中k=（子多边形的顶点数）-1。将x_k相乘，形成反演公式的单项式。
对于三维结合面体K_4，基本多边形是六边形，它可以被分割成五边形，与x_4相关联；四角体，x3；三角形到x2；例如，六边形有六个可区分的分区，分成一个三角形和一个五边形，共享两个顶点，与单项式6*x2*x4相关，因为三角形的非共享顶点可以从六边形的一个顶点连续移动到下一个顶点。此项对应于720（1'）^2（2'）（4'）/5！在上面的P（5，t）中，对K_4的六个五边形面进行了离散。（结束）
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参考文献
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G.Ferraro，《直到19世纪20年代初系列理论的兴起和发展》，Springer科学与商业媒体，2007年。
H.Halvorson（编辑），《深度美：通过创新了解量子世界》，剑桥大学出版社，2011年。
H.Turnbull（编辑），《艾萨克·牛顿书信集》第二卷，1676-1687，剑桥大学出版社，1960年，第147页。
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链接
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P.Balduf，变换量子场的微扰理论，arXiv:1905.00686[math-ph]，2019，（参见第4页的示例2.3和第5页的引理2.7）。
泰迪娜·布拉德利，结合面体：乘法的形状，PBS《无限系列》YouTube上的一集，2017年11月。
B.卡塞尔曼，奇怪的联想，AMS Feature Column，2007年11月。
S.Devadoss、B.Fehrman、T.Heath和A.Vashist，穿孔Poincaré盘的模空间，arXiv:1109.2830[math.AT]，2011年。
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V.Pilaud，协会及其朋友2016年4月4日至6日，为联合国证券交易所（Séminaire Lotharingien de Combinatoire）所作的陈述。
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B.瓦莱特，代数+同伦=运算，arXiv:1202.3245[math.AT]，2012年（第21页）。
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配方奶粉
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P（n，t）的方括号分区的形式为（u_1）^e（1）（u_2）^e。。。（u_n）^e（n），系数由（-1）^（n-1+e（1））*[2*（n-1）-e（1）]给出！/[（e（2））！*（e（3）！*…*（e）（n）！]。
设h（t）=1/（df（t）/dt）
=1/Ev[u./（1-u.t）^2]
=1/（（u_1）+2*（u_2）*t+3*（u_3）*t^2+4*（u_4）*t^3+…），
其中Ev表示阴影评估。
不*P（n，t）=（（t*h（y）*d/dy）^n）y在y=0时计算，
f（t）的成分逆是
g（t）=exp（t*h（y）*d/dy）y，在y=0时计算。
此外，dg（t）/dt=h（g（t））。（结束）
exp[x*PS（.，t）]=exp[t*g（x）]=exp[x*h（y）d/dy]exp（t*y）eval。在y=0时，由R PS（n，t）=PS（n+1，t）和L PS（n、t）=n*PS（n-1，t）定义的提升/创建和降低/湮灭算子为
R=t*h（d/dt）=t*1/[（u_1）+2*（u_2）*d/dt+3*（u_3）*（d/dt^2+…]和
L=f（d/dt）=（u_1）*d/dt+（u_2）*（d/dt）^2+（u_3）*（d/dt）^3+。。。。
那么P（n，t）=（t^n/n！）dPS（n，z）/dz eval。z=0时。（参见。A139605型,A145271号，并在其中链接到Mathemagic Forests，以了解第13页上种植的树木。）（完）
P（n，t）的方括号配分多项式也由（d/dx）^（n-1）1/[u_1+u_2*x+u_3*x^2+…+u_n*x^（n-1）]^n在x=0时求得-汤姆·科普兰2015年7月7日
设PS（n，u1，u2，…，un）=P（n，t）/t^n，即u_k=uk的注释部分逆展开式中的分区多项式的平方部分。
另外，设PS（n，u1=1，u2，…，un）=PB（n，b1，b2，…，bK，…），其中每个bK代表PS的分区，其中u1=1，具有K个组件或块，例如，PS（5,1，u1，…，u5）=PB（5，b1、b2、b3、b4）=b1+b2+b3+b4，其中b1=-u5，b2=6 u2 u4+3 u3^2，b3=-21 u2^2，以及b4=14 u2^4。
无粘Burgers方程的解与组成逆对之间的关系（参见。A086810型)意味着，对于n>2，PB（n，0*b1，1*b2，…，（K-1）*bK，…）=[（n+1）/2]*求和{k=2..n-1}PS（n-k+1，u_1=1，u_2，…，u_（n-k/1））*PS（k，u_1=1，u_2…，u_k）。
例如，PB（5,0*b1，1*b2，2*b3，3*b4 2^3+5 u2 u3-u4）+（2 u2 ^2-u3）^2]。
此外，PB（n，0*b1,1*b2，…，（K-1）*bK，…）=d/dt t^（n-2）*PS（n，u1=1/t，u2，…，un）|_{t=1}=d/dt（1/t）*PS。
（结束）
等效矩阵计算：将下三角Pascal矩阵的第m条对角线（主对角线的指数为m=1）相乘A007318号f_m=m*u_m=（d/dx）^mf（x）在x=0处求值，得到UP（n，k）=二项式（n，k）f{n+1-k}的矩阵UP，或等价地乘以A132159号则P（n，t）=（1，0，0，…）[UP^（-1）*S]^（n-1）FC*t^n/n！，其中S是移位矩阵A129185号，表示在基x^n//n！中的微分！，FC是UP^（-1）的第一列，UP的逆矩阵。这些结果来自A145271号和A133314号.
另外，P（n，t）=（1，0，0，…）[UP^（-1）*S]^n（0，1，0…）^t*t^n/n！与一致A139605型.（结束）
一个递归关系，用于从低阶多项式和精细Lah多项式的系数计算该项的每个划分多项式A130561型在博客条目“形式群定律和二项式Sheffer序列”中介绍-汤姆·科普兰2018年2月6日
划分多项式的导数A350499型对于一个可分辨的不定项，给出与该项的多项式成比例的多项式。该条目的参考文献中给出了该导数关系与无粘Burgers-Hopf演化方程的联系-汤姆·科普兰2022年2月19日
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数学
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行[nn_]：={{1}~与[{s=Inverse Series[t（1+Sum[u[k]t^k，{k，nn}]+O[t]^（nn+1））]}，表[（n+1）！系数[s，t^（n+1；
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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P（6，t）中的缺失系数替换为汤姆·科普兰2008年11月6日
P（7，t）和P（8，t）数据由汤姆·科普兰2016年1月14日
根据分区的反向Abramowitz-Stegun排序排序的术语（每个k’替换为（k-1）’）安德烈·扎博洛茨基，2024年3月7日
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状态
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经核准的
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