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| A002315号 |
| 新南威尔士州数字：a（n）=6*a（n-1）-a（n-2）；也可以是a（n）^2-2*b（n）=A001653号（n+1）。
（原M4423 N1869）
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118
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1、7、41、239、1393、8119、47321、275807、1607521、9369319、5460893、318281039、1855077841、10812186007、63018038201、367296043199、2140758220993、124772532827759、72722761475561、423859315570607、2470433131948081、143987739476117879、83922003724759193
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.2个
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评论
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以Newman-Shanks-Williams参考命名。
也对n进行编号，使n^2是一个居中的16角数字；或形式为8k（k+1）+1的数字，其中k=A053141号（n） ={0，2，14，84，492，2870，…}-亚历山大·阿达姆楚克2007年4月21日
值2（a（n）^2+1）都是完美平方，其平方根由下式给出A075870号.-Nelesh Bodas（Neelesh.Bodas（AT）gmail.com），2010年8月13日
a（n）表示所有正整数K，其中2（K^2+1）是一个完美平方。-Neelesh Bodas（Neelesh.Bodas（AT）gmail.com），2010年8月13日
对于正n，a（n）等于沿主对角线具有sqrt（8）的（2n）X（2n-约翰·M·坎贝尔2011年7月8日
备注：x^2-2*y^2=+2*k^2，带正k，和x^2-2*y^2=+2约化为当前的Pell方程a^2-2*b^2=-1，带x=k*x=2*k*b和y=k*y=k*a亚历山大·萨莫克鲁托夫.) -沃尔夫迪特·朗2015年8月21日
如果p是奇素数，a（（p-1）/2）==1（mod p）-阿尔图·阿尔坎2016年3月17日
a（n）^2+1=2*b（n）=A001653号（n） ，是a（n）是一个数k的充分必要条件，其中1 X k矩形的对角线是1 X 1正方形对角线的整数倍。如果正方形沿着水平1 X a（n）矩形的一条对角线排列，从左下角到右上角，则正方形的数量为b（n），并且始终存在一个正方形，其上角正好位于矩形的上边缘内。将方块1从左到右编号为b（n），矩形上边缘有一个角的方块的编号为c（n）=（2*b（n）-a（n）+1）/2，即A055997号（n） ●●●●。矩形边缘正方形角点的水平分量也是一个整数，即d（n）=a（n）-b（n），即A001542号（n） ●●●●-大卫·帕西诺2016年6月30日
考虑一个圆心（0,0）以正x轴和y轴为界的圆的象限。现在考虑，作为系列的开始，这个象限中包含的圆亲吻轴和外边界圆。进一步考虑一系列圆，每个圆都与x轴、外边界圆和序列中的前一个圆相吻合。请参阅Holmes链接。本系列第n个圆的中心为((A001653号（n） *sqrt（2）-1）/a（n-1）(A001653号（n） *sqrt（2）-1）/a（n-1）^2），y坐标也是其半径。因此，a（n-1）是该系列中第n个圆的中心在点（0,0）对向的角度相对于x轴的余切-格雷厄姆·霍姆斯2019年8月31日
分子和分母处的两个序列之间存在联系，这两个序列给出了接吻圆中心的坐标。A001653号是数字k的序列，因此2*k^2-1是一个正方形，在这里，我们有2*A001653号（n） ^2-1=a（n-1）^2-伯纳德·肖特2019年9月2日
设G是满足任意整数i的G（i）=2*G（i-1）+G（i-2）且不考虑G的初始值的序列。则a（n）=（G（i+4*n+2）-G（i））/（2*G（i+2*n+1））只要G（i+2*n+1）！=0. -克劳斯·普拉斯2021年3月25日
3*a（n-1）是第二类的第n个几乎Lucas-cobalancing数（参见Tekcan和Erdem）-斯特凡诺·斯佩齐亚2022年11月26日
在第259页的Moret-Blanc（1881）中，列出了m^2-2n^2=-1的一些解。m的值给出这个序列，n的值给出A001653号. -迈克尔·索莫斯2023年10月25日
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参考文献
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Julio R.Bastida，线性递归序列的二次性质。《第十届东南组合数学、图论和计算会议论文集》（佛罗里达大西洋大学，佛罗里达州博卡拉顿，1979年），第163-166页，国会。数字。，XXIII-XIV，实用数学。，温尼伯，曼彻斯特，1979年。MR0561042（81e:10009）
A.H.Beiler，《数字理论中的娱乐》，纽约州多佛，1964年，第256页。
P.Ribenboim，《素数记录簿》。Springer-Verlag，纽约州，第二版，1989年，第288页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
P.-F.Teilhet，对问题2094的答复，《数学国际》，10（1903），235-238。
P.-F.Teilhet，查询2376，《数学国际》，11（1904），138-139-N.J.A.斯隆2022年3月8日
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链接
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马可·阿布拉特（Marco Abrate）、斯特凡诺·巴贝罗（Stefano Barbero）、翁贝托·塞鲁蒂（Umberto Cerruti）和纳迪尔·穆鲁（Nadir Murru），二次曲线上的多项式序列《整数》，第15卷，2015年，#A38。
Elena Barcucci、Antonio Bernini和Renzo Pinzani，正则语言的格雷码《2018年语义传感器网络研讨会》，《CEUR研讨会论文集》（2018）第2113卷。
P.Catarino、H.Campos和P.Vasco，关于平衡数和协平衡数的几个恒等式《Annales Mathematicae et Informaticae》，45（2015），第11-24页。
恩里卡·杜奇（Enrica Duchi）、安德烈亚·弗罗西尼（Andrea Frosini）、伦佐·平扎尼（Renzo Pinzani）和西蒙·里纳尔迪（Simone Rinaldi），关于合理继承规则的注记，J.整数序列。，2003年第6卷。
Alex Fink、Richard K.Guy和Mark Krusemeyer，部件最多出现三次的分区《对离散数学的贡献》，第3卷，第2期（2008年），第76-114页。见第13节。
M.A.Gruber、Artemas Martin、A.H.Bell、J.H.Drummond、A.H Holmes和H.C.Wilkes，问题47阿默尔。数学。月刊，4（1897），25-28。
莫里斯·纽曼（Morris Newman）、丹尼尔·香克斯（Daniel Shanks）和H.C.威廉姆斯（H.C.Williams），简单的平方阶群和有趣的素数序列《阿里斯学报》。，38 (1980/1981) 129-140.
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近，魁北克蒙特利尔大学论文，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
S.F.Santana和J.L.Diaz-Barrero，涉及Pell数和的一些性质，《密苏里州数学科学杂志》18（1），2006年。
Michael Z.Spivey和Laura L.Steil，k二项式变换和Hankel变换，《整数序列杂志》，第9卷（2006年），第06.1.1条。
H.C.Williams和R.K.Guy，一些四阶线性可除序列，《国际数论》7（5）（2011）1255-1277。
H.C.Williams和R.K.Guy，一些单表四阶线性可除序列《整数》，第12A卷（2012），约翰·塞尔弗里奇纪念卷。
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公式
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a（n）=（1/2）*。
a（n）=（1+平方（2））/2*（3+平方（8））-拉尔夫·斯蒂芬2003年2月23日
a（n）=平方（2*(A001653号（n+1））^2-1），n>=0。[佩尔方程a（n）^2-2*Pell（2*n+1）^2=-1-沃尔夫迪特·朗2018年7月11日]
通用名称：（1+x）/（1-6*x+x^2）-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）~（1/2）*（平方（2）+1）^（2*n+1）乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2002年5月15日
极限{n->infinity}a（n）/a（n-1）=3+2*sqrt（2）-格雷戈里·理查德森2002年10月6日
设q（n，x）=Sum_{i=0..n}x^（n-i）*二项式（2*n-i，i）；则（-1）^n*q（n，-8）=a（n）-贝诺伊特·克洛伊特2002年11月10日
当a=3+2*sqrt（2），b=3-2*sqert（2）：a（n）=（a^（（2n+1）/2）-b^（2n+1/2））/2。a（n）=A077444号（n） /2.-马里奥·卡塔拉尼（Mario Catalani），2003年3月31日
a（n）=和{k=0..n}2^k*二项式（2*n+1，2*k）Zoltan Zachar（Zachar（AT）felner.sulinet.hu），2003年10月8日
与：i相同，即sigma（i^2+1，2）mod 2=1.-Mohammed Bouayoun（bouyao（AT）wanadoo.fr），2004年3月26日
a（n）=雅可比_P（n，1/2，-1/2.3）/雅可比-P（n、-1/2,1/2.1）-保罗·巴里2006年2月3日
P_{2n}+P_{2 n+1}，其中P_i是Pell数(A000129号). 此外，Pell数部分和的平方根：P_{2n}+P_{1n+1}=sqrt（Sum_{i=0..4n+1}P_i）（Santana和Diaz-Barrero，2006）-大卫·艾普斯坦2007年1月28日
a（n）=平方米(A001108号（2*n+1））Anton Vrba（antonvrba（AT）yahoo.com），2007年2月14日
a（n+1）=3*a（n）+sqrt（8*a（n）^2+8），a（1）=1-理查德·乔利特2007年9月18日
a（n）=1、4、8、32、64、256、512……的第三个二项式变换Al Hakanson（hawkuu（AT）gmail.com），2009年8月15日
a（n）=（-1）^（n-1）*（1/sqrt（-1））*cos（（2*n-1）*arcsin（sqrt））-阿图尔·贾辛斯基2010年2月17日
a（n）=楼层（（1+平方（2））^（2n+1））/2-托马斯·奥多夫斯基2012年6月12日
（a（2n）+a（2n-1））/a（n）=2*sqrt（2）*（（1+sqrt）（2））^（4*n）-（1-sqrt。[这是我对问题5325的解答，《学校科学与数学114》（2014年12月第8期）。]-亨利·里卡多2015年2月5日
充气序列（b（n））n>=1=[1,0,7,0,41,0,239,0，…]是一个四阶线性可除序列；也就是说，如果n｜m，那么b（n）｜b（m）。这是由Williams和Guy发现的可除序列的3参数族的P1=0、P2=-4、Q=-1的情况。请参见A100047号.
b（n）=1/2*（（-1）^n-1）*球（n）+1/2*（1+（-1））^（n+1））*球。o.g.f.是x*（1+x^2）/（1-6*x^2+x^4）。
表达式（Sum_｛n>=1｝2*b（n）*x^n/n）=1+Sum_｛n>=1｝2*A026003号（n-1）*x^n。
经验（和{n>=1}（-2）*b（n）*x^n/n）=1+和{n>=1}2*A026003号（n-1）*（-x）^n。
Exp（Sum_{n>=1}4*b（n）*x^n/n）=1+Sum_}n>=1{4*Pell（n）*x^n。
经验（总和{n>=1}（-4）*b（n）*x^n/n）=1+总和{n>=1}4*Pell（n）*（-x）^n。
Exp（Sum_{n>=1}8*b（n）*x^n/n）=1+总和{n>=1}8*A119915年（n） *x ^n个。
例如：（平方（2）*sinh（2*sqrt（2）*x）+余弦（2*sqlt（2）**））*exp（3*x）-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月30日
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）*3^（n-k）*2^k*2^上限（k/2）-大卫·帕西诺2016年7月9日
a（n）=|Im（T（2n-1，i））|，i=sqrt（-1），T（n，x）是第一类切比雪夫多项式，Im是复数的虚部，||是绝对值-Leonid Bedratyuk公司2017年12月17日
a（n）=sinh（（2*n+1）*arcsinh（1））-布鲁诺·贝塞利，2018年4月3日
a（n+1）*a（n+2）=a（n）*a。
a（n）^2+a（n+1）^2=6*a（n。
a（n+1）^2=a（n）*a（n+2）+8。
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例子
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G.f.=1+7*x+41*x^2+239*x^3+1393*x^4+8119*x^5+17321*x^6+-迈克尔·索莫斯2022年6月26日
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MAPLE公司
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选项记忆；
如果n=0，则
1 ;
elif n=1，则
7；
其他的
6*进程名（n-1）-进程名（n-2）；
结束条件：；
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数学
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a[0]=1；a[1]=7；a[n]：=a[n]=6a[n-1]-a[n-2]；表[a[n]，{n，0，20}](*罗伯特·威尔逊v2004年6月9日*）
转置[NestList[Flatten[{Rest[#]，ListCorrelate[{-1，6}，#]}]&，{1，7}，20]][[1](*哈维·P·戴尔，2011年3月23日*）
线性递归[{6，-1}，{1，7}，20](*布鲁诺·贝塞利2018年4月3日*）
a[n_]：=-I*（-1）^n*ChebyshevT[2*n+1，I]；(*迈克尔·索莫斯2022年6月26日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=subst（poltchebi（abs（n+1））-poltchebi（abs，n）），x，3）/2}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，-a（-1-n），polsym（x^2-2*x-1，2*n+1）[2*n+2]/2）}；
（PARI）{a（n）=my（w=3+四元数（32））；imag（（1+w）*w^n）}；
（PARI）对于（i=1，10000，如果（Mod（sigma（i^2+1，2），2）==1，print1（i，“，”））
（PARI）{a（n）=-I*（-1）^n*polchebyshev（2*n+1，1，I）}/*迈克尔·索莫斯2022年6月26日*/
（哈斯克尔）
a002315 n=a002315_列表！！n个
a002315_list=1:7:zipWith（-）（map（*6）（tail a002315-list））a002315列表
（岩浆）I:=[1,7]；[n le 2选择I[n]else 6*自我（n-1）-自我（n-2）：n in[1..30]]//文森佐·利班迪2015年3月22日
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交叉参考
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参考下列类型（1/k）*sinh（（2*n+1）*arcsinh（k））的类似序列A097775号.
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关键字
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非n,容易的,美好的,改变
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作者
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状态
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经核准的
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