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| A001653号 |
| 数字k，使得2*k^2-1是一个正方形。
（原名M3955 N1630）
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201
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1, 5, 29, 169, 985, 5741, 33461, 195025, 1136689, 6625109, 38613965, 225058681, 1311738121, 7645370045, 44560482149, 259717522849, 1513744654945, 8822750406821, 51422757785981, 299713796309065, 1746860020068409, 10181446324101389, 59341817924539925
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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考虑所有按Z递增排序的毕达哥拉斯三元组（X，X+1，Z）；序列给出Z值。
定义的公式是X^2+（X+1）^2=Z^2，加倍后得到2Z^2=（2X+1）*2+1。因此序列给出了Z，2Z^2=奇数平方+1(A069894号).
（x，y）=（a（n），a（n+1））是x<y为x/（yz）+y/（xz）+z/（xy）=3且z=2的解-楼层van Lamoen2001年11月29日
编号n，使2*n^2=天花板（平方米（2）*n*地板（平方米）*n））-贝诺伊特·克洛伊特2003年5月10日
此外，S_5 X P_2n中多米诺瓷砖的数量-拉尔夫·斯蒂芬2004年3月30日。这里S_5是5个顶点上的星图，边为{1,2}，{1,3}，}1,4}，1,5}。
如果x在序列中，那么x*也是（8*x^2-3）-詹姆斯·布登哈根2005年1月13日
一般来说，和{k=0..n}二项式（2n-k，k）j^（n-k）=（-1）^n*U（2n，i*sqrt（j）/2），i=sqrt-保罗·巴里2005年3月13日
将T形圆定义为第一象限圆，其积分半径与x轴和y轴相切。这样一个圆的坐标等于它的半径。设C（0）为半径为1的T圆。然后，对于n>0，将C（n）定义为与C（n-1）相交的最大T圆。C（n）的半径为a（n），其与C（n-1）的交点坐标为A001108号（n） 和A055997号（n） ●●●●。囊性纤维变性。A001109号. -查理·马里昂2005年9月14日
字母{0,1,2,3,4,5}中长度为n且不以0结尾的01-避免单词数-塔尼亚·霍瓦诺娃2007年1月10日
下主收敛到2^（1/2），从1/1、7/5、41/29、239/169开始，构成严格递增序列；分子=A002315号并且分母＝{a（n）}-克拉克·金伯利2008年8月26日
显然Ljunggren表明169是最后一个平方项。
如果（p，q）是丢番图方程的解：X^2+（X+1）^2=Y^2，那么（p+q）或（p+q+1）是完美平方。如果（p，q）是丢番图方程的解：X^2+（X+1）^2=Y^2，那么（p+q）或（p+q/8）是完美平方。如果（p，q）和（r，s）是丢番图方程的两个连续解：X^2+（X+1）^2=Y^2，其中p<r，则s-r=p+q+1-穆罕默德·布哈米达2009年8月29日
如果（p，q）和（r，s）是丢番图方程的两个连续解：X^2+（X+1）^2=Y^2，p<r，则r=3p+2q+1和s=4p+3q+2-穆罕默德·布哈米达2009年9月2日
a（n）是当有5种类型的1和4种其他自然数时n的组成数-米兰Janjic2010年8月13日
a（n）除以a（k）后的余数似乎属于周期序列：1，5。。。，a（k-1），0，a（k）-a（k-1。。。，（k）-1，（k）-1-。。。，a（k）-a（k-1），0，a（k-1。。。，5, 1. 参见Bouhamida 2009年9月1日的评论-查理·马里昂，2011年5月2日
（a（n+1），2*b（n+1=A001109号（n） ，分别给出毕达哥拉斯三元组（x，y，z）的（u（2*n），v（2*n））和（u（2*n+1），v*u+v）如果u>v。这导致了基元三元组，因为gcd（u，v）=1是受尊重的。这对应于（原始）毕达哥拉斯三角形，|x-y|=1（catheti相差一个长度单位）。这个（u，v）序列以（1,2）、（5,2）、-沃尔夫迪特·朗2012年3月6日
满足x^2-6xy+y^2+4=0的x（或y）正值-科林·巴克2014年2月4日
满足x^2-34xy+y^2+144=0的x（或y）正值-科林·巴克2014年3月4日
原始毕达哥拉斯三元组树（参见维基百科链接）的每个三元组中斜边的值，从根（3,4,5）开始，递归地选择树的每个三节点的中心分支-斯图亚特·安德森2015年2月5日
充气序列（b（n））n>=1=[1,0,5,0,29,0,169,0，…]是一个四阶线性可除序列；也就是说，如果n｜m，那么b（n）｜b（m）。这是威廉姆斯和盖伊发现的可除序列的3参数族中的P1=0、P2=-8、Q=1的情况。请参见A100047号与切比雪夫多项式的联系-彼得·巴拉2015年3月25日
等价地，将x编号为（x-1）*x/2+x*（x+1）/2=y^2+（y+1）^2。y值列于A001652号例如：对于x=29和y=20，28*29/2+29*30/2=20^2+21^2-布鲁诺·贝塞利2018年3月19日
（a（n），a（n+1）），其中a（0）：=1，给出Markoff三元组（m，m1，m2）的所有适当正解m1=m1（n）和m2=m2（n）A002559号)对于m=2，即m1^2-6*m1*m2+m2^2=-4。因此，最大值m=2的唯一Markoff三元组为（1，1，2）（对于一般mA002559号这是著名的唯一性猜想）。
对于X=m2-m1和Y=m2，这将成为简化的不定二次型表示X^2+4*X*Y-4*Y^2=-4，带有判别式32，并且只有适当的基本解（X（0），Y（0））=（0，1）。对于所有非负真（X（n），Y（n））解，请参见(A005319号（n） =a（n+1）-a（n），a（n+1）），对于n>=0。（结束）
k>=3的每个Pell（2*k+1）=a（k+1）数显示为有序Markoff（Markov）三元组[x，y，m]的最大数，最小值x=2为[2，Pell（2*k-1），Pell。这个已知结果也来自Pell方程q^2-2*m^2=-1的所有正真解，即q=q（k）=A002315号（k） 且m=m（k）=Pell（2*k+1），对于k>=0。y=y（k）=m（k）-2*q（k）=Pell（2*k-1），Pell（-1）=1。k=0和1的情况不满足x=2<=y（k）<=m（k）。数字1和5也是最大的Markoff三元组，因为它们也是斐波那契数，对于这些三元组x=1-沃尔夫迪特·朗2018年7月11日
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参考文献
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链接
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H.C.Williams和R.K.Guy，一些单表四阶线性可除序列《整数》，第12A卷（2012），约翰·塞尔弗里奇纪念卷。
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配方奶粉
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G.f.:x*（1-x）/（1-6*x+x^2）。
a（n）=6*a（n-1）-a（n-2），a（1）=1，a（2）=5。
可以通过a（-n+1）=a（n）向后扩展。
a（n+1）=S（n，6）-S（n-1，6），n>=0，其中S（n、6）=A001109号（n+1），S（-2,6）：=-1。S（n，x）=U（n，x/2）是第二类切比雪夫多项式。Cf.三角形A049310型a（n+1）=T（2*n+1，sqrt（2））/sqrt（2中），n>=0，T（n，x）第一类切比雪夫多项式。[偏移量由修正沃尔夫迪特·朗2012年3月6日]
a（n）~（1/4）*m2（2）*（m2）+1）^（2*n+1）乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2002年5月15日
a（n）=（（（3+2*sqrt（2））^（n+1）-（3-2*sqert（2）。极限_｛n->无穷大｝a（n）/a（n-1）=3+2*sqrt（2）-格雷戈里·理查德森2002年10月12日
设q（n，x）=Sum_{i=0..n}x^（n-i）*二项式（2*n-i，i）；则q（n，4）=a（n）-贝诺伊特·克洛伊特2002年11月10日
对于n和j>=1，Sum_{k=0..j}a（k）*a（n）-Sum_{k=0..j-1}a（k）*a（n-1）=A001109号（j+1）*a（n）-A001109号（j） *a（n-1）=a（n+j）；例如，（1+5+29）*5-（1+5）*1=169-查理·马里昂2003年7月7日
对于n>=k>=0，a（n）^2=a（n+k）*a（n-k）-A084703号（k） ^2；例如，169^2=5741*5-144。
对于n>0，a（n）^2-a（n-1）^2=4*Sum_{k=0..2*n-1}a（k）=4*A001109号（2n）；例如，985^2-169^2=4*（1+5+29+…+195025）=4*235416。
和{k=0..n}（（-1）^（n-k）*a（k））=A079291美元（n+1）；例如-1+5-29+169=144。
（结束）
和{k=0…n}（（2k+1）*a（n-k））=A001333号（n+1）^2-（1+（-1）^（n+1；例如，1*169+3*29+5*5+7*1=288=17^2-1；1*29 + 3*5 + 5*1 = 49 = 7^2. -查理·马里昂2003年7月18日
求和{k=0…n}a（k）*a（n）=Sum_{k=0..n}a（2k）和求和{k=0..n}a（k）*a；例如，（1+5+29）*29=1+29+985和（1+5/29）*169=5+169+5741-查理·马里昂2003年9月22日
对于n>=3，a{n}=7（a{n-1}-a{n-2}）+a{n-3}，其中a_1=1，a_2=5，a_3=29。a（n）=（（-1+2^（1/2））/2^（3/2））*（3-2^（2/2））-安东尼奥·阿尔贝托·奥利瓦雷斯2003年10月13日
设a（n）=A001652号（n） ，b（n）=A046090型（n） c（n）=该序列。那么对于k>j，c（i）*（c（k）-c（j））=a（k+i）+…+a（i+j+1）+a（k-i-1）+…+a（j-i）+k-j。对于n<0，a（n）=-b（-n-1）。同时，a（n）*a（n+2k+1）+b（n）*b（n+2k+1）+c（n）*1（n+2k+1）=（a（n+k+1）-a（n+k））^2；a（n）*a（n+2k）+b（n）*1（n+2k）+c（n）*c（n+2 k）=2*c（n+k）^2-查理·马里昂2003年7月1日
设a（n）=A001652号（n） ，b（n）=A046090型（n） c（n）=该序列。那么对于n>0，a（n）*b（n）*c（n）/（a（n；例如，20*21*29/（20+21+29）=5+169=174；a（n）*b（n）*c（n）/（a（n-1）+b（n-1；例如，119*120*169/（20+21+29）=1+29+985+33461=34476-查理·马里昂2003年12月1日
此外，方程楼层（x*r*floor（x/r））的解x>0=floor（x/r*flower（x*r）），其中r=1+sqrt（2）-贝诺伊特·克洛伊特，2004年2月15日
a（n）*a（n+3）＝24+a（n+1）*a（n+2）-拉尔夫·斯蒂芬2004年5月29日
对于n>=k，a（n）*a（n+2*k+1）-a（n+k）*a；例如，29*195025-985*5741=840=29^2-1；1*169-5*29 = 24 = 5^2-1; a（n）*a（n+2*k）-a（n+k）^2=A001542号（k） ^2；例如，169*195025-5741^2=144=12^2；1*29-5^2 = 4 = 2^2. -查理·马里昂2004年6月2日
对于所有k，a（n）是a（（2n+1）*k+n）的因子。a（（2*n+1）*k+n）=a（n）*（和{j=0..k-1}（-1）^j*（a（2*n+1）*（k-j））+a；例如195025＝5*（33461+5741-169-29+1）；7645370045 = 169*(6625109+1136689-1).-查理·马里昂2004年6月4日
a（n）=和{k=0..n}二项式（n+k，2*k）4^k-保罗·巴里，2004年8月30日[偏移量0]
a（n）=和{k=0..n}二项式（2*n+1，2*k+1）*2^k-保罗·巴里，2004年9月30日[偏移量0]
a（n）=（-1）^n*U（2*n，i*sqrt（4）/2）=-保罗·巴里，2005年3月13日[偏移量0]
a（n）=Pell（2*n+1）=Pel（n）^2+Pell（n+1）^2-保罗·巴里，2005年7月18日[偏移量0]
当a=3+2*sqrt（2），b=3-2*sqrt（2）：a（n）=（a^（（2n+1）/2）+b^（2n+1/2））/（2*sqert（2））。a（n）=A001109号（n+1）-A001109号（n） .-马里奥·卡塔拉尼（Mario Catalani），2003年3月31日
a（n）=雅可比_P（n，-1/2,1/2.3）/雅可比-P（n、-1/2,1/2）-保罗·巴里，2006年2月3日[偏移量0]
a（n）=求和{k=0..n}求和{j=0..n-k}C（n，j）*C（n-j，k）*Pell（n-j+1），其中Pell=A000129号. -保罗·巴里，2006年5月19日]偏移量0]
a（n+1）=3*a（n）+sqrt（8*a（n）^2-4），a（1）=1-理查德·乔利特2007年9月18日
6*a（n）*a（n+1）=a（n；例如，6*5*29=29^2+5^2+4；6*169*985 = 169^2+985^2+4. -查理·马里昂，2007年10月7日
2*A001541号（k） *a（n）*a（n+k）=a（n+A001542号（k） ^2；例如，2*3*5*29=5^2+29^2+2^2；2*99*29*5741 = 2*99*29*5741=29^2+5741^2+70^2. -查理·马里昂2007年10月12日
通常，对于n>=k，a（n+k）=2*A001541号（k） *a（n）-a（n-k）；
例如，a（n+0）=2*1*a（n）-a（n）；a（n+1）=6*a（n）-a（n-1）；a（6+0）=33461=2*33461-33461；a（5+1）=33461=6*5741-985；a（4+2）=33461=34*985-29；a（3+3）=33461=198*169-1。
（结束）
总尺寸：sqrt（x）*tan（4*arctan（sqrt）（x））/4-约翰内斯·梅耶尔2010年8月1日
给定k=（sqrt（2）+1）^2=3+2*sqrt，a（0）=1，则a（n）=a（n-1）*k-（（k-1）/（k^n））-查尔斯·霍恩2011年3月6日
给定k=（sqrt（2）+1）^2=3+2*sqrt，a（0）=1，则a（n）=（k^n）+（k^（-n））-a（n-1）=A003499号（n） -a（n-1））-查尔斯·霍恩2011年4月4日
G.f.:G（0）*（1-x）/（2-6*x），其中G（k）=1+1/（1-x*（8*k-9）/（x*（8*k-1）-3/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月12日
和{n>=2}1/（a（n）-1/a（n））=1/4-彼得·巴拉2015年3月25日
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）*3^（n-k）*2^k*2^floor（k/2）-大卫·帕西诺2016年7月9日
例如：（平方（2）*sinh（2*sqrt（2）*x）+2*cosh（2*m2）*x））*exp（3*x）/2-伊利亚·古特科夫斯基2016年7月9日
a（n）=圆形（（2+sqrt（2））*（3+2*sqrt-保罗·魏森霍恩2020年5月23日
a（n+1）=Sum_{k>=n}二项式（2*k，2*n）*（1/2）^（k+1）。囊性纤维变性。A102591号. -彼得·巴拉2021年11月29日
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例子
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对于k=1，2*1^2-1=2-1=1=1^2。
对于k=5，2*5^2-1=50-1=49=7^2。
对于k=29，2*29^2-1=1682-1=1681=41^2。
…（结束）
G.f.=x+5*x^2+29*x^3+169*x^4+985*x^5+5741*x^6+-迈克尔·索莫斯2022年6月26日
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MAPLE公司
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a[0]：=1:a[1]：=5:对于2到26的n，做a[n]：=6*a[n-1]-a[n-2]od:seq（a[n]，n=0..20）#零入侵拉霍斯2006年7月26日
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数学
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线性递归[{6，-1}，{1，5}，40](*哈维·P·戴尔2011年7月12日*）
a[n_]：=-（-1）^n切比雪夫[2n-2，I]；(*迈克尔·索莫斯2018年7月22日*）
分子[{1}~连接~
表[FromContinuedFraction[Flatten[Table[{1，4}，n]]，{n，1，40}]]；(*格雷格·德累斯顿2019年9月10日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=subst（poltchebi（n-1）+poltchebi（n），x，3）/4}/*迈克尔·索莫斯2002年11月2日*/
（PARI）a（n）=（[5，2；2，1]^（n-1））[1，1]\\Lambert Klasen（Lambert.Klasen（AT）gmx.de），修正人：Eric Chen（埃里克·陈），2018年6月14日
（PARI）{a（n）=-（-1）^n*polchebyshev（2*n-2，2，I）}/*迈克尔·索莫斯2022年6月26日*/
（哈斯克尔）
a001653 n=a001653_列表！！n个
a001653_list=1:5:zipWith（-）（map（*6）$tail a001653-list）a001653列表
（岩浆）I:=[1,5]；[n le 2选择I[n]else 6*自我（n-1）-自我（n-2）：n in[1..30]]//文森佐·利班迪，2014年2月22日
（间隙）a:=[1,5]；；对于[3..25]中的n，做a[n]：=6*a[n-1]-a[n-2]；od；a#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年3月19日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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