介绍

在这里，您将学习以下基本知识阿尔加图代数的实现。每个给定的示例都是可运行的，所以请随时安装alga（带有阴谋集团或堆栈)如果你想尝试这个代码，在你附近有一个GHCi控制台。你只需要在代数。图表模块。别犹豫，看看模块文档如果你想了解更多信息。

如果您遇到任何错误（我希望您不会），请在https://github.com/snowleapard/alga/issues/.

图形定义

这个问题

传统上，图被定义为由一个集合组成的一对V（V）顶点和集合E类 ⊆ V（V） × V（V）边缘。在使用传统命令式语言时，这很好，但在尝试将其用于Haskell等函数式语言时会导致一些问题。

alga的思想是使用图形的另一种定义，更“功能友好”。由于“功能友好的”数据结构的大部分是递归的，因此alga的图形定义如下：

解决方案

数据 图表一= 清空
             | 顶点一
             | 覆盖(图表a）(图表a）
             | 连接(图表a）(图表a）

所以它说：

1. 只有使用构造函数才能构造空图清空这不需要任何论证。

2. 你可以从任何东西构造一个图，使用构造函数在单个顶点中变换它顶点.

3. 你可以叠加两个图形，也就是说把它们一个接一个地放在一起。

   

4. 您可以连接两个图形，即从左侧的每个顶点到右侧的每个顶点绘制一条边。

   

很简单，不是吗…好吧，这不是一种标准的查看图表的方法，但不用担心，你会习惯的。

请记住：创建边的唯一方法是使用 连接.

这个定义允许我们处理定向的图：从顶点1到顶点2的边与从顶点2到顶点1的边不同。

一些示例

那么，如何使用这个定义呢？以下是一些示例：

• 从顶点0到顶点1的单个路径可以视为连接（顶点0）（顶点1）

  

• 三角形的边从顶点0到顶点1，边从顶点0到顶点2，边从顶点1到顶点2可以看作连接（顶点0）（连接（顶点1）（顶点2））.

  

我在桌面上听到你说：

“伯克，但是手写大图形会变得非常烦人！”

别担心，有一些捷径。

深入定义

Num实例

覆盖和连接看起来像操作符，我们想将其用作。因此我们摆出：

(+)= 覆盖
(*)= 连接

事实上，如果我们有号码例如，我们可以使用顶点。这导致了这种情况：

实例 号码一=> 号码(图表a）哪里
    from整数 = 顶点 . from整数
(+)= 覆盖
(*)= 连接
    符号      = 常数 清空
    防抱死制动系统         = 身份证件
    否定      = 身份证件

这意味着，在图表，我们有顶点1==1，这很有用！

你明白为什么alga是代数图表数量？这里有很多数学！不，请不要像在墓地里看到僵尸一样逃跑！别担心，这不是很难的数学。

注释

我们将使用(+)和(*)符号，但即使在处理任何图形时，这些定律也是正确的。

覆盖

像往常一样，(+)是相联的（选择覆盖图形的顺序并不重要）：

(1 + 2)+ 三 == 1 +(2 + 三)

(+)也是可交换的（覆盖一和b条与叠加相同b条和一):

1 + 2 == 2 + 1

(+)有清空作为中性元素（覆盖清空图到另一个图是此图）：

1 + 清空 == 1 == 清空 + 1

(+)是幂等的（将图形与自身重叠是同一个图形）：

1 + 1 == 1

连接

像往常一样，(*)是相联的（选择连接图形的顺序并不重要）：

(1 * 2)* 三 == 1 *(2 * 三)

(*)不是可交换的（从顶点1到顶点2绘制边与从顶点2到顶点1绘制边不同）：

1 * 2 /= 2 * 1

(*)它有清空作为中性元件（连接清空图到另一个图是此图）：

1 * 清空 == 1 == 清空 * 1

(*)可以饱和（连接同一个图形的三倍与连接同一图形的两倍相同）

1 * 1 * 1 == 1 * 1

为什么？(*)不是幂等的? 因为将顶点与其自身连接可以创建一个环:

他们俩在一起

当你发现你可以混合时，你会提醒吗+和*在同一方程式中？这里也是一样的！

1 *(2 + 三)== 1 * 2 + 1 * 三

将单个顶点1连接到2和3可以通过两个步骤完成相等的方式：

• 要么是将1连接到2，要么是将3“叠加”。

• 或者你把两条边叠起来了(1,2)和(1,3).

哎呀，这件事办好了，我们可以向前迈进一步。

制作图表

我还没有回答这个问题：

定义可用吗？我们可以用alga表示法来表示每个图吗？

让我们试着回答这个问题重要的问题。如前所述，图（几乎总是）被定义为一对V（V）顶点和E类 ⊆ V（V） × V（V）一组边。为了证明我们可以表示任何图形，我们需要定义一个函数创建：：[a]->[（a，a）]->图形从这个标准表示创建一个图形。

让我们忘记边缘：我们首先要做的是顶点：：[a]->图形a将顶点列表转换为图表包含所有单个顶点。看起来我们要折叠一份清单

顶点：：【a】-> 图表一
顶点= 文件夹（\v克-> 覆盖(顶点v） g）清空

知道怎么做吗边：：[（a，a）]->图形a? 同样的方式，很明显：

边：：[（a，a）]-> 图表一
边缘= 文件夹
（\（x，y）g-> 覆盖(连接(顶点x）(顶点y） ）克）
  清空

那么，我们的创建：：[a]->[（a，a）]->图形? 简单地说：

创建：：【a】->[（a，a）]-> 图表一
创建v e= 覆盖（顶点v）（边e）

所以我们已经定义了所需的函数，因此我们可以安全地使用alga的定义！

定义的好处

折叠

这种表示法的一个优点是能够定义折叠功能，一种适应折叠对于图形：

文件夹：：b条->（a）->b）->（b）->b条->b）
      ->（b）->b条->b）-> 图表一->b条
折叠视频=去
    哪里
去清空         =e（电子）
去(顶点x）=v x（v x）
去(覆盖x年）=o（转到x）（转到y）
去(连接x y）=c（去x）（去y）

换句话说折叠函数获取基本情况清空图形，用于转换的对象顶点当我们遇到覆盖或连接.

转置

我们有一个很棒的图表，我们想转置换位有向图包括反转所有边的方向。使用折叠，这是小菜一碟：

转置：： 图表一-> 图表一
转置=折叠清空 顶点 覆盖(轻弹 连接)

诱导

还不相信吗？让我们尝试构建一个归纳子图。诱导子图是“忘记”某些顶点以及这些顶点之间的所有边的子图。

所以我们将对induce:：（a->bool）->图a->图a功能。我们将使用折叠当然。

基本情况是什么？我们需要更改清空图表？显然，一点也不：

诱导：：（a）-> 布尔)-> 图表一-> 图表一
诱导谓词=折叠
  清空
  未定义
  未定义
  未定义

然后，如果我们遇到一个顶点，我们需要验证它是否满足谓词。如果没有，我们将简单地替换它清空图形！

诱导：：（a）-> 布尔)-> 图表一-> 图表一
诱导谓词=折叠
  清空
（\x-> 如果谓词x然后 顶点x个其他的 清空)
  未定义
  未定义

最后，我们需要接触基本图之间的连接吗？一点也不！记得，清空是的中性元素二者都 连接和覆盖因此，我们可以将空图放在结构中而不会出现问题（不用担心，真正的实现会去掉这些空图）。因此，我们得出以下结论：

诱导：：（a）-> 布尔)-> 图表一-> 图表一
诱导谓词=折叠
  清空
（\x-> 如果谓词x然后 顶点x个其他的 清空)
  覆盖
  连接

这么简单，不是吗？

这甚至允许我们定义：

删除顶点：：一-> 图表一-> 图表一
移除顶点x=诱导(/=x）

hasEdge公司

折叠和诱导非常酷，Alga API的很大一部分都是由它们制成的。例如，让我们看一下hasEdge公司定义：

hasEdge:： 订单一=>一->一-> 图表一-> 图表一
hasEdge uv=
(连接(顶点u）(顶点v）`是SubgraphOf`).
诱导(`元素`[u，v]）

检查图形是否包含来自x个到年，可以移除不同的每个顶点x个和年，然后检查边缘单独地是诱导子图的子图。请注意hasEdge公司需要一个订单实例，因为是SubgraphOf需要它。

定义的问题

平等

在藻类中没有规范的方法来定义图。例如：

覆盖(顶点 1) (顶点 2)
== 覆盖(顶点 2) (顶点 1)
== 连接 清空(覆盖(顶点 1) (顶点 2))
== 覆盖
(连接(顶点 1)清空)
(连接 清空(顶点 2))

幸运的是，由于等式实例（提供(==))帮你解决这个问题。

Alga还提供(===)其中表示结构的平等，因此：

覆盖(顶点 1) (顶点 2)
===
覆盖(顶点 2) (顶点 1)
== False（错误）

定义函数时要小心

下面是一个你可以定义的讨厌的函数：

关闭: 图表 A类 -> 图表 A类
关闭清空         = 清空
关闭(顶点x）= 顶点x个
关闭(覆盖x年）= 连接x年
关闭(连接x年）= 连接x年

你看到问题了吗？

>>> 让x个= 顶点 0
>>> 让年= 覆盖(顶点 0) (顶点 0)
>>>x个==年
真的
>>> 打印（接近x）
顶点 0
>>> 打印（接近y）
(顶点 0)*(顶点 0)
>>>关闭x==接近y
False（错误）

目前，人们可能会弄乱内部结构，等式失去了其意义（即∀(（f）:G公司第页一第页小时 A类→G公司第页一第页小时 B类) : 克 = 年 ⟹ （f） 克 = （f） 年不保持）。

有用的实例

Alga的图是一些经典Haskell类的实例：

Eq，秀

当然，您有Graph等式，并且可以显示Graph。藻类也可以出口到DOT文件格式通过代数。图表。出口。点模块。

订单

更不重要的是，有一个在图上定义并在alga中实现的总顺序。它使用size-lexicographic/comparison：

• 比较顶点的数量。如果出现平局，请继续。

• 比较顶点集。如果出现平局，请继续。

• 比较边的数量。如果出现平局，请继续。

• 比较边缘集。

因此，首先，它确实是和顺序（这个关系是传递的、自反的和反对称的），它是全部的（你可以比较任何图表）。第二，这种顺序在某种程度上与图形操作兼容：

• ∀克:（空<=x）==真

• 如果x个是的子图年，然后（x<=y）==真

• ∀x个, 年:（x<=x+y）==真

• ∀x个, 年:（x+y<=x*y）==真

Functor（仿真器）

毫不奇怪，图表是的实例Functor（仿真器）:

实例 Functor（仿真器）(图表a）哪里
  功能性维修计划_清空 = 清空
  功能性维修计划（f）(顶点a）= 顶点 $如果
  功能性维修计划（f）(覆盖a b）= 覆盖(功能性维修计划f a）(功能性维修计划f b）
  功能性维修计划（f）(连接a b）= 连接(功能性维修计划f a）(功能性维修计划f b）

这意味着如果您要转换一在一个b条然后可以转换图a到图b例如：

如果您想测试它，alga表示中的第一个图形是：1*（2+5）*0

警觉的！警觉的！哈斯克勒的警报响了！如果有Functor（仿真器）例如，有一个莫纳德一个？

莫纳德

图表确实是一个莫纳德实例：

实例 莫纳德(图表a）哪里
  返回  = 顶点
克>>=（f）=折叠清空（f）连接 覆盖克

您可以将任何东西转换为图形，只需将其转换为单个顶点即可。此外，如果可以从类型生成图形一然后可以替换图形a结果，将其转换为图b.

例如，可以重新定义先前查看的诱导作为：

诱导：：（a）-> 布尔)-> 图表一-> 图表一
归纳谓词g
  =克>>=（\x-> 如果谓词x然后 顶点x个其他的 清空)

可折叠和可穿越

图表可以是有效的可折叠的和有效的可穿越的实例，但这些是不定义在代数。图表模块。
原因是这些实例与库的其余部分不兼容。例如，vertexList g/=到列表g因为顶点可以在结构中多次出现。

例如：社交网络

目标

好吧，现在我们想用这一切来构建一些真实的东西。比如说一个社交网络：人们可以很容易地通过图形来表示它们。营销团队分析了市场，决定做一些“a la Twitter”。顶点将是用户，边缘来自x个到年将表明x个正在跟踪年.

handleRequest（处理请求）

员工会议选择您建立手柄请求功能：

类型 用户 = 国际

数据 请求M = 添加用户 用户
              | 删除用户 用户
              | 连接U 用户 用户
              | 断开U 用户 用户

handleRequestM:： 请求M -> 图表 用户 -> 图表 用户

现在这是一项非常简单的工作，而且实现非常简单：

handleRequestM:： 请求M -> 图表 用户 -> 图表 用户
处理请求M(添加用户a）= 覆盖(顶点a）
处理请求M(删除用户a）=removeVertex删除顶点a
处理请求M(连接Ua b）=
    覆盖(连接(顶点a）(顶点b） ）
处理请求M(断开Ua b）=删除边缘a b

检查

鉴于你很快就实现了自己的功能，我们要求你帮助一位同事完成他的功能。他正在研究getFollowing:：用户->图形用户->[用户]功能。

一种可能的方法是使用edgeList:：Ord a=>图a->[（a，a）]功能。

获取以下信息： 用户 -> 图表 用户 ->[用户]
获取关注u=
  地图 信噪比 . 滤波器（\（v，_）->单位==v）.边缘列表

您甚至可以盲目地实现获取关注者功能：

获取关注者：： 用户 -> 图表 用户 ->[用户]
获取关注者u=
  地图 fst公司 . 滤波器（\（_，v）->单位==v）.边缘列表

正在进行IO

好的，纯的图表检查很酷，但如何使用IO进行检查？您的上级希望不时了解有多少用户连接。他写过已连接 ：：用户->IO Bool，他让你写信已连接的数量 ：：图形用户->IO Int.使用导线在顶点列表中，您可以快速回答：

已连接的数量： 图表 用户 -> IO（输入输出） 国际
已连接的数量= 功能性维修计划(长度 . 滤波器 身份证件).
折叠(纯净的 清空) (功能性维修计划 顶点 .已连接）（提升A2覆盖)（提升A2连接).
顶点列表

注意，这个版本很容易理解和编写，但效率不高。可以使用折叠和IntSet（IntSet）:

进口 有资格的 数据。IntSet（IntSet） 作为 设置
进口 控制。适用（提升A2）

已连接的数量： 图表 用户 -> IO（输入输出） 国际
已连接的数量= 功能性维修计划设置.大小.折叠
(返回设置为空）
（\x-> 功能性维修计划
（\年-> 如果年
       然后设置单体x
       其他的设置为空
)
（已连接x）
)
（提升A2组活接头）
（提升A2组活接头）