n实验室内聚（无穷大，1）-拓扑

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本条目是关于粘性地形这里的定义表达了一种与E-∞环上的内聚（∞，1）-预切但这些定义是不相关的，适用于一些不相关的上下文。

上下文

有结合力的∞\英菲-主题

粘性地形

内聚（∞，1）-拓扑

内聚同伦型理论

背景

定义

通过站点进行演示

模型

离散和具体对象

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想法

A类有结合力的(∞,1)（第1页）-地形是一个格罗斯 （∞，1）-拓扑 H（H）\矩阵{H}它提供了一个广义的上下文空格在哪儿高等几何尤其有道理高等微分几何。另请参阅衔接拓扑的理据进行非技术性讨论。

从技术上讲，它是一个(∞,1)（\infty，1）-拓扑，其全局剖面 （∞，1）-几何态射 (光盘⊣Γ):H（H）⟶Γ←光盘（Disc\dashv\Gamma）：\mathbf{H}\stackrel{\overset{Disc}{\leftarrow}}{\underset{\Gamma}{\longrightarrow{}} ∞Grpd允许进一步左边 伴随（∞，1）函子 Π\Pi公司和另一个右伴随词coDisc公司coDisc公司:

(Π⊣光盘⊣Γ⊣coDisc公司):H（H）→∞Grpd公司（\Pi\dashv Disc\dashv\Gamma\dashv-coDisc）：\mathbf{H}\to\infty Grpd

具有光盘光盘和coDisc公司coDisc公司二者都完全忠实（∞，1）函子s和这样的Π\Pi公司而且保持有限（∞，1）-乘积s.（对于衔接的概念相对的一般基础，参见备注.)

在这里

  1. 的存在coDisc公司coDisc公司诱导一个sub-（∞，1）-拟拓扑 混凝土(H（H）)↪H（H）Conc（\mathbf｛H｝）\hookrightarrow\mathbf｛H｝属于混凝土物体表现得像∞-广群秒具有额外的内聚结构，例如连续结构,光滑结构等。

  2. 的存在Π\Pi公司引出一个概念几何的 基本∞-广群，因此低于|−|:∞Grpd公司≃|-|：\infty Grpd\simeq 顶部属于几何实现 |Π(−)||\Pi（-）|中对象的H（H）\矩阵{H}.

函子Γ\伽马射线它本身可以被认为是传递了一种凝聚力∞-广群 X（X）X（X）到其底层裸体∞\英菲-广群Γ(X（X）)\伽马（X）。这是X（X）X（X）和所有人凝聚力被遗忘（例如，忘记了连续或平滑的结构）。

相反，光盘光盘和CoDisc公司CoDisc公司发送∞\英菲-广群A类A类要么到离散∞-广群 光盘(A类)阀瓣（A）具有离散的内聚结构（例如离散拓扑)或发送到共离散∞-广群 Codisc公司(A类)科迪斯（A）使用协同搜索内聚结构（例如共离散拓扑).

这种类型的伴随四元组直接类似于威廉·劳弗尔对于内聚拓扑，诱导三个伴随模态它们又相互伴随，从而产生伴随字符串形状形态 ⊣\仪表盘 平坦模态 ⊣\仪表盘 尖锐形态 ∫⊣♭⊣♯\int\dashv\flat\dashv\sharp它可以被认为是表达“连续体”和“数量”的意义黑格尔的逻辑科学（如此处详细解释的。）

这样一个伴随四元组伴随的(∞,1)（\infty，1）-仅函子就意味着丰富内部的 高等几何在里面H（H）\数学函数｛H｝它的内部概念是伽罗瓦理论,谎言理论,微分上同调,Chern-Weil理论.

内聚力示例(∞,1)（\infty，1）-地形包括

在ETop∞Grpd以及包含它的上下文几何实现,几何同伦和伽罗瓦理论包含通常的那些（在表现良好的拓扑空间上）。在光滑∞Grpd也包括谎言理论,微分上同调和Chern-Weil理论包含常用的。在SynthDiff∞Grpd内部概念李代数和李代数体包含了传统几何体，并将其推广到更高的光滑几何体。

定义

我们以几种等效的方式阐述了该定义。

  1. 外部在环境背景下；

  2. 内部凝聚力(∞,1)（\infty，1）-拓扑本身；

  3. 内部和同伦类型理论中的公式化

外部

该定义与内聚拓扑.

定义

安（∞，1）-拓扑 H（H）\矩阵{H}是有结合力的如果

  1. 它是一个强∞连通（∞，1）拓扑;

  2. 它是一个局部（∞，1）-拓扑.

备注

一如既往拓扑理论和高等拓扑理论，这样的定义可以在任何基础。这里：超过任何基（∞，1）-拓扑例如，微分代数K理论可以通过在算术方案站点上的∞堆栈基础上的内聚来理解（参见此处）。

在规范基上∞Grpd属于∞-群胚，内聚的定义(∞,1)（\infty，1）-topos相当于以下内容：

这个全局部分 （∞，1）-几何态射 Γ:H（H）→∞Grpd公司\伽马射线：\mathbf{H}\to\infty Grpd提升至伴随四元组属于伴随（∞，1）函子秒

(Π⊣光盘⊣Γ⊣coDisc公司):H（H）←coDisc公司⟶Γ←光盘⟶Π∞Grpd公司（\Pi\dashv Disc\dashv\Gamma\dashv-coDisc）：\矩阵{H}\stackrel｛\stackrel｛\overset｛\Pi｝｛\longrightarrow｝｝｛\overset｛Disc｝｛\leftarrow｝｝｝｝｛\stackrel｛\sunderset｛\Gamma｝｛\longrightarrow｝｝｝｛\sunderset｛coDisc｝｛\leftarrow｝｝｝｝\infty集团\;

哪里Π\Pi公司保存有限的，有限的 （∞，1）-乘积第条。

我们通常会默许重新开始∞Grpd但大多数语句和构造都可以直接推广到任意基。特别是，下面的内部定义关于内聚，固定基本拓扑比使其任意化需要更多的时间。

每伴随四元组诱导伴随三元组内函子。

(Π⊣Ş⊣#):H（H）⟶Γ←光盘⟶Π∞Grpd公司⟶coDisc公司←Γ⟶光盘H（H）.(\mathbf{\Pi}\仪表盘\mathbf{\平面}\仪表盘\mathbf{#}):\矩阵{H}\stackrel{\overset{\Pi}{\longrightarrow}}{\stackrel}\overset{\Disc}{\leftarrow{}{\underset{\Gamma}{\lengrightarror}}}\infty集团\stackrel{\overset{Disc}{\longrightarrow}}{\stackrel{\overs{\Gamma}{\leftarrow{}{\underset{coDisc}{\longlightarrow}}}}\矩阵{H}\,.

这里“♭\mathbf{\平面}意思是发音为“flat”。这三个函子的解释在内聚（∞，1）拓扑结构.

有时需要添加更多的公理，例如以下内容。

定义

我们这么说块有点对于对象X（X）X（X）具有凝聚力(∞,1)（\infty，1）-地形H（H）\矩阵{H}如果点对块变换

ΓX（X）→Γ光盘ΠX（X）≃ΠX（X）\Gamma X\到\ Gamma光盘\Pi X\simeq\Pi X

是一个（∞，1）范畴中的有效满射，等效地（如在那里所讨论的），使得这是满态在有联系的组件。

这里第一个形态主义是下面的图像Γ\伽马射线的(光盘⊣Γ)（光盘\dashv\Gamma）-单元第二个是(Π⊣光盘)（\Pi\dashv光盘）-counit（这是可逆的，因为光盘光盘是充分而忠实在局部（∞，1）-拓扑.)

定义

我们说离散对象是具体的在里面H（H）\矩阵{H}如果是所有人S公司∈S\英寸∞Grpd态射

光盘S公司→coDisc公司Γ光盘S公司⟶≃coDisc公司S公司光盘S\到coDisc\Gamma光盘S\stackrel{\simeq}{\longrightarrow}coDisc S

诱导单态全部打开同伦带轮.

以下附加条件可确保形状形态由几何图形明确给出路径∞-广群结构。

定义

赋予凝聚力∞\英菲-地形H（H）\矩阵{H}和一个对象𝔸 1∈H（H）\mathbb{A}^1\in\mathbf{H}，我们这么说𝔸 1\mathbb｛A｝^1 表现出内聚力如果形状形态 Π\Pi公司等于“A1本地化”L（左） 𝔸 1L_{\mathbb{A}^1}，因此本地化属于H（H）\矩阵{H}在班级里投影形式的形态(−)×𝔸 1⟶(−)（-）\times\mathbb{A}^1\longrightarrow（-），即如果

Π≃L（左） 𝔸 1.\Pi\simeq L_{\mathbb{A}^1}\,.
备注

在以下示例中平滑内聚力及其变体，如欧几里德拓扑内聚，标准实线 𝔸 1=ℝ 1\mathbb{A}^1=\mathbb}R}^1表现出定义意义上的衔接。（由这次讨论). 因此，也可以说，如果一个对象𝔸 1\mathbb｛A｝^1具有凝聚力∞\英菲-topos展现了内聚性，然后它发挥了这个连续体类似于几何学中这个术语的传统用法。另请参阅连续体——在内聚同伦理论中.

另一个额外的公理是（参见扬弃更多信息）：

定义

说的是凝聚力∞\英菲-地形，定义。，已扬弃属于相配的如果尖锐形态保留初始对象

♯∅≃∅.\夏普\emptyset\simeq\emptystet\,.

内部

我们重新制定了上述公理对于内聚力(∞,1)（\infty，1）-不引用函子的拓扑在它，而完全是在结构方面在里面它。

引理

A类全子（∞，1）范畴 B类↪H（H）\mathbf{B}\hookrightarrow\mathbf}是

  • 反射嵌入如果每个对象 X（X）∈H（H）X\in\mathbf{H}有一个同构

    本地 X（X）:X（X）→L（左）X（X）位置_X:X\至L X

    （单元)带有L（左）X（X）∈B类↪H（H）L X \in\mathbf{B}\hookrightarrow\mathbf{H}，这样对所有人来说年∈B类↪H（H）Y\in\mathbf{B}\hookrightarrow\mathbf{H}的值（∞，1）-范畴hom空间-函子

    H（H）(本地 X（X）,年):H（H）(L（左）X（X）,年)⟶≃H（H）(X（X）,年)\mathbf{H}（loc_X，Y）：\矩阵{H}（L X，Y）\stackrel｛\simeq｝｛\langle-rightarrow｝\矩阵{H}（X，Y）

    是一个等效（第页，共页）∞-广群s） ●●●●。

  • 如果每个对象 年∈H（H）Y\in\mathbf{H}有一个同构

    哥伦比亚 年:对年→年coloc_Y:R Y\到Y

    （该科尼特)带有对年∈B类↪H（H）R Y\in\mathbf{B}\hookrightarrow\mathbf{H}这样所有人X（X）∈B类↪H（H）X\in\mathbf{B}\hookrightarrow\mathbf{H}的值（∞，1）-范畴hom空间-函子

    H（H）(X（X）,科洛克 年):H（H）(X（X）,对年)→≃H（H）(X（X）,年)\mathbf{H}（X，coloc_Y）：\矩阵{H}（X，R Y）\stackrel{\simeq}{\to}\矩阵{H}（X，Y）

    是一个等效（第页，共页）∞-广群s） ●●●●。

这已被证明在这里.

引理

反光嵌入

coDisc公司:B类 鳕鱼↪coDisc公司←Γ˜H（H）coDisc:\mathbf{乙}_{cod}\stackrel{\overset{\tilde\Gamma}{\leftarrow}}{\underset{coDisc}{\hookrightarrow{}}\mathbf{H}

和一个共反射嵌入

光盘:B类 圆盘←Γ↪光盘H（H）光盘：\mathbf{乙}_{disc}\stackrel{\overset{disc}{\hookrightarrow}}{\underset{\Gamma}{\leftarrow{}}\mathbf{H}

适合单个伴随三元组

H（H）↩coDisc公司→Γ↩光盘B类\矩阵{H}\斯塔克雷尔{\重叠{Disc}{\hookleftarrow}}{\堆垛机{\超集｛\Gamma｝｛\to｝}{\下划线{coDisc}{\hookleftarrow}}}\矩阵{B}

（因此存在等价性B类 圆盘≃B类 鳕鱼\马特布夫{乙}_{光盘}\simeq\mathbf{乙}_｛鳕鱼｝此外，它还可以成为共向反射器Γ˜\波浪线\Gamma属于光盘光盘与反射器重合Γ\伽马射线属于coDisc公司coDisc公司)如果是单元和counit由引理给出我们有左边的形态

(1)coDisc公司Γ˜(光盘ΓX（X）→X（X）)=:(coDisc公司Γ˜光盘ΓX（X）→≃coDisc公司Γ˜X（X）)coDisc\tilde\Gamma（光盘\Gamma-X\到X）\;=:\;（coDisc\tilde\Gamma-Disc\Gamma X\stackrel{\simeq}{\to}coDisc\tilde\Gamma X）
(2)光盘Γ(X（X）→coDisc公司Γ˜X（X）)=:(光盘ΓX（X）→≃光盘ΓcoDisc公司Γ˜)光盘\Gamma（X\ to coDisc\tilde\Gamma-X）\;\;=:\;\;(光盘\Gamma X\stackrel｛\simeq｝｛\to｝光盘\Gamma-coDisc\tilde\Gamma)

是（天然的）等价物对于所有对象X（X）∈H（H）X\in\mathbf{H}，如右图所示。

证明

很明显，如果我们有一个伴随三元组，然后(1)和(2)暗示。现在我们讨论相反的问题。

首先要注意的是，这两个嵌入总是组合成形式的附加词

B类 圆盘←Γ↪光盘H（H）↩coDisc公司→Γ˜B类 鳕鱼.\马特布夫{乙}_{光盘}\堆叠｛\overset｛Disc｝｛\hookrightarrow｝｝｛\underset｛\Gamma｝｛\leftarrow｝｝\矩阵{H}\stackrel{\overset{\tilde\Gamma}{\to}}{\underset{coDisc}{\hookleftarrow}}}\马特布夫{乙}_{cod}（化学需氧量）\,.

自然对等(1)应用于codiscrete对象X（X）:=coDisc公司A类X:=光盘A给出了那个coDisc公司coDisc公司这个复合附加词的成分是等价的

coDisc公司Γ˜光盘ΓcoDisc公司A类→≃coDisc公司Γ˜coDisc公司A类→≃coDisc公司A类coDisc\tilde\Gamma光盘\Gamma-coDisc A\stackrel{\simeq}{\to}coDisc\tilde\Gamma coDisc A\stackrel{\simeq}{\to}光盘A

为所有人A类A类，自coDisc公司coDisc公司是充分而忠实复合counit也是

Γ˜光盘ΓcoDisc公司A类→≃Γ˜coDisc公司A类→≃A类\波浪线\伽玛光盘\伽玛coDisc A\stackrel{\simeq}{\to}\波浪线\Gamma coDisc A\stackrel{\simeq}{\to}A类

本身。类似地，(2)暗示复合附加词的单位是等价的。因此(1)和(2)共同意味着附加词本身展示了等效 B类 圆盘≃B类 鳕鱼\马特布夫{乙}_｛磁盘｝\simeq\mathbf{乙}_{cod}（化学需氧量）.

然后，我们使用这个为每个X（X）∈H（H）X\in\mathbf{H}复合自然等价

光盘Γ˜X（X）→≃光盘ΓcoDisc公司Γ˜X（X）→≃光盘ΓX（X）光盘\波浪线\Gamma X\stackrel{\simeq}{\to}光盘\Gamma-coDisc\tilde\Gamma X\stackrel{\simeq}{\to}光盘\Gamma X

其中第一个态射在codiscrete对象上使用上述等价Γ˜X（X）\波浪线\Gamma X第二个是选择(2).

自光盘光盘是完全和忠实的，这意味着我们有对等的

Γ˜X（X）≃ΓX（X）\波浪线\Gamma X\西马克\伽马X射线

在中自然X（X）X（X），因此Γ˜≃Γ\波浪线\Gamma\simeq\Gamma.

备注

在上述情况下，定义附加对等

H（H）(ΠX（X）,A类)≃H（H）(X（X）,ŞA类)\mathbf{H}（\mathbf{\Pi}X，A）\西马克\mathbf{H}（X，\平面A）

展出(Π⊣♭)（\mathbf{\Pi}\dashv\flat）由自然等价物的组合给出

H（H）(ΠX（X）,A类)→≃H（H）(ΠX（X）,科洛克 A类) −1H（H）(ΠX（X）,ŞA类)→≃H（H）(本地 X（X）,♭A类)H（H）(X（X）,♭A类)\mathbf{H}（\mathbf{\Pi}X，A）\欠置{\simeq}{\mathbf{H}（\mathbf{\Pi}X，coloc_A）^{-1}}{\to}\mathbf｛H｝（\mathbf｛\Pi｝X，\平面A）\欠置{\simeq}{\mathbf{H}（loc_X，\flat A）}{\to}\mathbf{H}（X，\平面A）

从引理，两者都用ΠX（X）\矩阵{\Pi}X以及♭A类\平面A是离散的。

使用这些引理，我们现在可以在内部重申内聚性。

推论

对于光盘:B类↪H（H）光盘：\mathbf{B}\hookrightarrow\mathbf{H}一子（∞，1）范畴，包含扩展到伴随四元组形式的

H（H）↩coDisc公司→Γ↩光盘→ΠB类\矩阵{H}\stackrel{\overset{\Pi}{\to}}{\stackrel{\overeset{Disc}{\hookleftarrow}}{\stackrel{\ overset}\Gamma}{\to}}{\ underset{coDisc}{\hokeleftarror}}}}\矩阵{B}

如果每个对象都存在X（X）∈H（H）X\in\mathbf{H}

  1. 同态X（X）→Π(X（X）)X\到\mathbf{\Pi}（X）具有Π(X（X）)∈B类↪光盘H（H）\mathbf｛\Pi｝（X）\in\mathbf｛B｝\stackrel｛Disc｝｛\hookrightarrow｝\mathbf｛H｝;

  2. 同态♭X（X）→X（X）\mathbf{\flat}X\到X具有♭X（X）∈B类↪光盘H（H）\mathbf{\flat}X\in\mathbf}B}\stackrel{Disc}{\hookrightarrow}\mathbf{H};

  3. 同态X（X）→#X（X）X\至#X具有#X（X）∈B类↪coDisc公司H（H）#X\in\mathbf｛B｝\stackrel｛coDisc｝｛\hookrightarrow｝\mathbf｛H｝

这样所有人年∈B类↪光盘H（H）Y\in\mathbf{B}\stackrel{Disc}{hookrightarrow}\mathbf{H}和年˜∈B类↪coDisc公司H（H）\波浪线Y\in\mathbf{B}\stackrel{coDisc}{hookrightarrow}\mathbf{H}诱导态射

  1. H（H）(ΠX（X）,年)→≃H（H）(X（X）,年)\mathbf｛H｝（\mathbf｛\Pi｝X，Y）\stackrel｛\simeq｝｛\to｝\mathbf｛H｝（X，Y）;

  2. H（H）(年,♭X（X）)→≃H（H）(年,X（X）)\mathbf{H}（Y，\mathbf{\flat}X）\stackrel{\simeq}{\to}\mathbf{H}（Y，X）;

  3. H（H）(#X（X）,年˜)→≃H（H）(X（X）,年˜)\mathbf{H}（#X，\tilde Y）\stackrel{\simeq}{\to}\mathbf}（X，\titde Y）;

  4. #(♭X（X）→X（X）)#（X到X的平面）;

  5. ♭(X（X）→#X（X）)\扁平（X\至#X）

是等价物（前三个∞-群胚最后两个H（H）\矩阵{H}).

此外，如果H（H）\矩阵{H}是一个笛卡尔闭范畴，然后Π\Pi公司如果光盘光盘-包含是一个指数理想.

最后一条语句来自(∞,1)（\infty，1）-讨论的类比在这里.

在同伦型理论中

内聚性公理内部版本，可以在同伦型理论，的（∞，1）-拓扑的内部语言.

相应的Coq公司-HoTT公司代码在中(舒尔曼).

有关更多信息，请参阅内聚同伦型理论.

属性

我们讨论了衔接公理所隐含的基本性质(∞,1)（\infty，1）-中的地形

然后我们讨论专题演讲网站中的

作为一个点状空间

提议

非平凡的衔接(∞,1)（\infty，1）-地形

  1. 有形状重点；

  2. 有同伦维数0;

  3. 有上同调维数0

证明

第一个适用于每个∞-连通（∞，1）-拓扑，请看那里。

第二个适用于每个局部（∞，1）-拓扑，请看那里。

第三个位于第二个之后，请参见同伦维数.

备注

这意味着(∞,1)（\infty，1）-地形H（H）\数学函数｛H｝是，当其本身被视为小地形，一个广义空间，一个加厚点.我们可以将其视为标准指向配备有内聚邻里.

从这个意义上说，每个空间X（X）X（X） 建模于由定义的衔接结构H（H）\矩阵{H}是一个故事空间结束X（X）X（X）：其娇小的 (∞,1)（第1页）-地形H（H）/X（X）\矩阵{H}/X坐在旁边局部同胚几何同胚结束H（H）\矩阵{H}

H（H）/X（X）→地方的同源异形H（H）.\mathbf{H}/X\stackrel{local\；homeo}{\to}\mathbf}H}\,.

在一个∞\英菲-粘性场地

我们讨论一个演示文稿内聚类（∞，1）-拓扑是通过a简单预升模型结构超过一个合适的网站.

提议

对于C类C类一个∞-粘性场地这个（∞，1）-带轮类别 (∞,1)Sh公司(C类)（\infty，1）Sh（C）结束C类C类是一种凝聚力(∞,1)（第1页）-满足两个公理的拓扑块有点和离散对象是具体的.

详细讨论见∞-粘性场地.

概述

提议

每个凝聚力(∞,1)（\infty，1）-地形∞Grpd是一个超完备（∞，1）-topos.

证明

由上述命题它有有限的同伦维数。这意味着超能力。看那里。

提议

对于H（H）\矩阵{H}有凝聚力的(∞,1)（\infty，1）-拓扑（1,1）-地形 τ ≤1−1H（H）\τ{\leq 1-1}\mathbf{H}第页，共页-截断的对象是一个粘性地形.

提议

对于内聚性(∞,1)（\infty，1）-地形(Π⊣光盘⊣Γ⊣coDisc公司):H（H）→∞Grpd公司（\Pi\dashv Disc\dashv\Gamma\dashv-coDisc）：\mathbf{H}\to\infty Grpd超过∞-粘性场地，函子Π\Pi公司保存（∞，1）-拉回结束离散对象.

我们首先考虑一个引理。请注意，对于A类∈∞Grpd公司高级Grpd这个（∞，1）-Grothendieck构造给出了一个（∞，1）-范畴的等价性

∞Grpd公司 /A类≃功能(A类,∞Grpd公司)\infty Grpd_｛/A｝\simeq函数（A，\infty Grpd）

来自（∞，1）-范畴上属于∞Grpd公司\infty集团结束A类A类到（∞，1）-函子（∞、1）-范畴从A类A类到∞Grpd公司\infty集团.

引理

对于H（H）\矩阵{H}有凝聚力的(∞,1)（\infty，1）-地形∞-粘性场地和用于A类∈∞Grpd公司A\ in\ infty集团，我们有一个（∞，1）-范畴的等价性

H（H） /光盘A类≃功能(A类,H（H）).\马特布夫{高}_{/Disc A}\simeq函数（A，\mathbf{H}）\,.
证明

我们通过一个演示文稿属于H（H）\矩阵{H}由简单预升模型结构.

让C类C类成为∞-粘性场地的定义H（H）\数学函数｛H｝.然后通过那里的讨论

H（H）≃([C类 操作,sSet（设置）] 项目,本地) ∘.\mathbf{H}\simeq（[C^{op}，sSet]_{proj，loc}）^\circ\,.

此外，选择Kan复合体演示文稿A类A类，我们将用相同的符号表示，我们得到了常数单形前缀常数A类∈[C类 操作,S设置] 项目,本地常量A\在[C^{op}，sSet]_{proj，loc}中是在撒谎。因此这个命题被诱导的超范畴上的模型结构在[C类 操作,sSet（设置）]/常数A类[C^{op}，sSet]/常量A显示给定的（∞，1）-范畴上

H（H） /光盘A类≃(([C类 操作,sSet（设置）]/常数A类) (项目,本地)/常数A类) ∘.\马特布夫{高}_{/光盘A}\西马克\左(\左（[C^{op}，sSet]/const A\right）_{（项目，位置）/const A}\右）^\circ\,.

现在请注意，我们有一个普通的范畴的等价性

[C类 操作,sSet（设置）]/常数A类≃[C类 操作,sSet（设置）/A类][C^{op}，sSet]/常量A\西马克[C^op，设置/A]

其中模型结构成为局部投影结构函子的模型结构模型结构中包含值(S设置/A类) 奎伦/A类（设置/A）_{Quillen/A}呈现的∞Grpd公司 /A类\infty组{/A}.

那就让我们sSet（设置） +/A类s设置^+/A表示左腓骨的模型结构。通过讨论，这也表明∞Grpd公司 /A类\infty组{/A}。因此这个命题我们有一个（∞，1）-范畴的等价性

H（H） 光盘A类 ≃([C类 操作,sSet（设置）/A类] 项目,本地) ∘ ≃([C类 操作,sSet（设置） +/A类] 项目,本地) ∘.\开始{对齐}\马特布夫{高}_{光盘A}&\simeq（模拟）\左([C^{op}，sSet/A]_{proj，loc}\右）^\circ\\&\simeq（模拟）\左([C^{op}，sSet^+/A]_{proj，loc}\右）^\circ\结束{对齐}\,.

这允许现在应用这个演示文稿的（∞，1）-Grothendieck构造要查找

⋯≃([C类 操作,[w个(A类),sSet（设置） 奎伦] 项目] 项目,本地) ∘,\cdots\simeq光盘\左([C^{op}，[w（A），sSet_{Quillen}]{proj}]_{proj，loc}\右）^\大约\,,

哪里w个(A类)w（A）是简单充实范畴对应于A类A类（如上所述拟范畴与单纯范畴的关系)和[w个(A类),sSet（设置） 奎伦] 项目[w（A），sSet_{Quillen}]_{proj}是全球性的sSet富集预应力的模型结构.

然后使用笛卡尔闭合简单预升类别（即地形)在内部(−) ∘（-）^\大约我们有

⋯≃([w个(A类),[C类 操作,sSet（设置） 奎伦] 项目,本地] 项目) ∘.\光盘\西马克\左([w（A），[C^{op}，sSet_{Quillen}]{proj，loc}]_{proj}\右）^\circ\,.

最后，这意味着使用这个命题.

利用这个引理，我们现在可以给出支撑的证明。.

证明

通过在切片上的伴随（∞，1）-函子我们有这个(Π⊣光盘)（\Pi\dashv光盘）诱导伴随对

(Π/光盘A类⊣光盘/光盘A类):H（H） 光盘A类→∞Grpd公司 /A类.（\Pi/Disc A\dashv Disc/Disc A）: \马特布夫{高}_{光盘A}\至\infty组{/A}\,.

在引理的等价性下函子Π/光盘A类\Pi/光盘A映射到

功能(A类,Π):功能(A类,H（H）)→功能(A类,∞Grpd公司).函数（A，\Pi）：函数（A，\mathbf{H}）\to函数（A，infty Grpd）\,.

自产品属于(∞,1)（\infty，1）-函子(∞,1)（第1页）-类别是按对象计算的，因为Π\Pi公司通过内聚公理保持有限乘积功能(A类,Π)函数（A，\Pi）保留有限乘积，因此也是如此Π/光盘A类\Pi/圆盘A.但产品在切片上光盘A类光盘A是（∞，1）-拉回结束光盘A类光盘A这证明了这一说法。

离散和共离散对象的基础

在内部定义离散/共离散对象的基没有显式公理化为（∞，1）-拓扑自身（基（∞，1）-拓扑)，但这是由公理隐含的。我们在阶段中推导出它和相关属性。

在下面，让H（H）\矩阵{H}成为（∞，1）-拓扑配备有伴随四元组函子到（∞，1）-范畴 B类\矩阵{B}–凝聚力基础，其中光盘光盘和coDisc公司coDisc公司是完全和忠实的。

提议

底座B类\矩阵{B}凝聚力的（∞，1）-极限和（∞，1）-结肠炎.

证明

这是反射和共反射嵌入子类别的一般性质。通过计算极限值H（H）\矩阵{H}然后应用Γ\伽马射线通过计算腹痛H（H）\数学函数｛H｝然后应用Π\Pi公司。对于X（X）:我→B类X:I\到\mathbf{B}任何图表我们有

Γ林 ← 我光盘X（X） 我 ≃林 ← 我Γ光盘X（X） 我 ≃林 ← 我X（X） 我\开始{对齐}\Gamma\lim_{\leftarrow_i}光盘X_i&\simeq（模拟）\lim_{\leftarrow_i}\Gamma光盘X_i\\&\simeq（模拟）\lim_{\leftarrow_i}X_i\结束{对齐}
Π林 → 我光盘X（X） 我 ≃林 ← 我Π光盘X（X） 我 ≃林 ← 我X（X） 我.\开始{对齐}\Pi\lim_{\to_i}光盘X_i&\simeq（模拟）\lim_{\leftarrow_i}\Pi光盘X_i\\&\simeq（模拟）\lim_{\leftarrow_i}X_i\结束{对齐}\,.
备注

自光盘光盘，既是左伴随以及一个右伴随保留了极限和共鸣，因此在H（H）\矩阵{H}它本身又是离散的，并且是下面的图像光盘光盘计算出的相应（co）限值B类\矩阵{B}.

例子

自循环空间对象是（∞，1）-极限由此可知，任何离散对象的循环空间对象本身又是一个离散对象。

我们还有以下更有力的声明。

提议

凝聚力的基础B类\矩阵{B}是一个可表示（∞，1）-范畴事实上（∞，1）-拓扑自身。

证明

通过以下等效特征之一可表示（∞，1）-类别这些是反射子（∞，1）类属于（∞，1）-（∞、1）-预升类别其中嵌入是通过可达（∞，1）函子.

自H（H）\矩阵{H}其本身易于接近并反射地嵌入到预升中PSh（磅/平方英寸）(C类)磅/小时（C）在上（∞，1）-位置根据定义，我们有一个复合反射夹杂物

B类↪光盘H（H）↪PSh（磅/平方英寸）(C类).\矩阵{B}\stackrel{Disc}{\hookrightarrow}\矩阵{H}\钩右箭头磅/小时（C）\,.

自光盘光盘甚至可以保存所有（∞，1）-结肠炎，尤其是可达（∞，1）函子因此上述复合材料也是如此。

最后，因为Γ\伽马射线保留所有（∞，1）-极限，因此特别是有限极限,(Γ,coDisc公司)（\Gamma，coDisc）是一个几何嵌入展示潜艇的-（∞，1）-拓扑.

请注意，反射(Π⊣光盘)（\Pi\dashv光盘）一般不构成几何嵌入，自Π\Pi公司只需要保留有限乘积（在有趣的示例中很少保留比这更多的限制）。

以下声明及其证明内聚1-拓扑也应该逐字逐句保持连贯(∞,1)（\infty，1）-地形。

提议

这个反射子类别离散对象和共离散对象的指数理想.

证明

通过在指数理想a的反射子类别笛卡尔闭范畴正是指数理想，如果反射器保存产品对于共晶物体，反射器Γ\伽马射线保存甚至所有限制对于离散物体，反射器Π\Pi公司这是通过假设强连接来实现的。

与Π\mathbf{\Pi}

我们讨论正交分解系统具有凝聚力(∞,1)（\infty，1）-以反射子范畴带有反射器的混凝土物体Π:H（H）→Π∞Grpd公司↪光盘H（H）\mathbf{\Pi}:\mathbf}H}\stackrel{\Pi}{\to}\infty Grpd\stackrol{Disc}{\hookrightarrow}\mathbf{H}.

定义

对于（f）:X（X）→年f:X\到Y中的同态H（H）\矩阵{H}，写入c（c） Π（f）→年c_{\mathbf{\Pi}}f\到Y对于（∞，1）-回拉在里面

c（c） Π（f） → ΠX（X） ↓ ↓ Π（f） 年 → Π年,\阵列{c_{\mathbf{\Pi}}f&\to&\mathbf{\Pi{X\\\向下箭头&&\向下箭头^{\mathrlap{\mathbf{\Pi}f}}\\Y&\到&\mathbf{\Pi}Y}\,,

其中底部态射是(Π⊣光盘)（\Pi\dashv光盘）-单元我们这么说c（c） Π（f）c_{\mathbf{\Pi}}f是Π\mathbf{\Pi}-闭合属于（f）（f），还有那个（f）（f）是Π\mathbf{\Pi}-已关闭如果X（X）≃c（c） Π（f）X\simeq c_{\mathbf{\Pi}}f.

提议

如果H（H）\矩阵{H}有一个∞-粘性场地定义，然后是每个态射（f）:X（X）→年f:X\到Y在里面H（H）\矩阵{H}因素为

X（X） →（f） 年 ↘ ↗ c（c） Π（f）,\阵列{X&&\stackrel{f}{\to}&&Y\\&\searrow&&\nearrow\\&&c_{\mathbf{\Pi}}f}\,,

这样的话X（X）→c（c） Π（f）X\到c_{\mathbf{\Pi}}f是一个Π\mathbf{\Pi}-等效因为它被Π\mathbf｛\Pi｝.

证明

因式分解是由Π\mathbf{\Pi}以及(∞,1)（\infty，1）-def中的拉回。.

X（X） → c（c） Π（f） → ΠX（X） （f）↘ ↓ ↓ Π（f） 年 → Π年.\阵列{X&\到&c{\mathbf{\Pi}}到&\mathbf{\Pi{X\\&{}_{\mathllap{f}}\searrow&\downarrow&&\down arrow^{\mathrlap{\mathbf{\Pi}f}}\\&&Y&\到&\mathbf{\Pi}Y}\,.

然后是道具。函子Π\mathbf{\Pi}保留(∞,1)（\infty，1）-在离散对象上拉回Π年\mathbf｛\Pi｝Y从那以后Π(X（X）→ΠX（X）)\mathbf{\Pi}（X\to\mathbf}\Pi}X）是等价的，如下所示Π(X（X）→c（c） Π（f）)\mathbf{\Pi}（X\到c_{\mathbf}\Pi}f}）是等价的。

提议

这对类

(Π−等价物,Π−关闭态射)（\mathbf{\Pi}-等价，\mathbf{\Pi}-闭态射）

是一个正交分解系统在里面H（H）\矩阵{H}.

证明

以下是在反射因子分解系统:

通过道具。我们有必要的因子分解。仍需检查正交性。

所以让我们

A类 → X（X） ↓ ↓ B类 → 年\阵列{A到X（&X）\\\向下箭头&&\向下箭头\\B&\到Y（&Y）}

在中是一个正方形图H（H）\矩阵{H}其中左态射是Π\mathbf{\Pi}-等价性和右态射是Π\mathbf{\Pi}-已关闭。然后假设右边有一个拉回方块

A类 → X（X） → ΠX（X） ↓ ↓ ↓ B类 → 年 → Π年..\阵列{A&\到X&\到&\mathbf{\Pi}X\\\向下箭头&&\向下箭头&&\向下箭头\\B&\到Y&\到&\mathbf{\Pi}Y\,.}\,.

由于自然辅助装置，总矩形等于

A类 → ΠA类 → Π年 ↓ ↓ ≃ ↓ B类 → ΠB类 → ΠX（X）.\阵列{A&\到&\mathbf{\Pi}A&\to到&\mathbf{\ Pi}Y\\\向下箭头&&\向下箭头^{\mathrlap{\simeq}}&&\向下箭头\\B&\至&\mathbf{\Pi}B&\到&\mathbf{\Pi}X}\,.

这里假设中间态射是等价的。因此，在右侧的方块中有一个基本上独特的升力，因此在整个方块中也有一个升力。同样，由于附加词的普遍性，任何此类提升因素都会通过ΠB类\mathbf{\Pi}B因此，这种升力在本质上也是独一无二的。

最后，由于拉回的普遍性，这导致了一个本质上独特的升力σ\西格玛在里面

A类 → X（X） → ΠX（X） ↓ σ↗ ↓ ↓ B类 → 年 → Π年..\阵列{A&\到X&\到&\mathbf{\Pi}X\\\向下箭头&{}^{\mathllap{\sigma}}\nearrow&\向下箭头&&\向下箭头\\B&\到Y&\到&\mathbf{\Pi}Y\,.}\,.
观察

对于（f）:X（X）→年f:X\到Y一Π\mathbf{\Pi}-闭态射和年:*→年y:*\到y一全局元素，的同伦纤维 X（X） 年:=年 *X（X）X_y:=y^*X是一个离散对象。

证明

根据定义。以及粘贴法我们有这个年 *X（X）年^*X相当于∞\英菲-回撤

年 *X（X） → → ΠX（X） ↓ ↓ * →年 年 → Π年.\阵列{y^*X&\到&&\到&\mathbf{\Pi}X\\\向下箭头&&&&\向下箭头\\*&\stackrel{y}{\to}&y&\stackrel{}{\to}&\mathbf{\Pi}y}\,.

自从终端对象是离散的，因为右伴随 光盘光盘保存∞\英菲-拉回，这个展品年 *X（X）年^*X如下图所示光盘光盘的∞\英菲-拉回∞\英菲-群胚。

内聚结构(∞,1)（\infty，1）-地形

有凝聚力(∞,1)（\infty，1）-topos是高等几何很好地上同调和同伦属性。我们列出了存在于每种黏合物中的基本结构和构造(∞,1)（\infty，1）-地形。

本节位于

内聚力类型

无穷小内聚

差异凝聚力

我们讨论额外结构论衔接(∞,1)（\infty，1）-topos，它将相应的内聚概念的细化编码为无穷小内聚更准确地说，我们考虑夹杂物H（H）↪H（H） 第个\mathbf｛H｝\hookrightarrow\mathbf{高}_{th}具有内聚力(∞,1)（\infty，1）-展示对象的地形H（H） 第个\马特布夫{高}_{th}作为对象的无穷小的内聚邻里H（H）\矩阵{H}.

本节位于

局部环内聚

每个凝聚力(∞,1)（\infty，1）-地形H（H）\矩阵{H}配备有差异内聚力从标准上来说形式étale态射s（如上所述）。结合规范解释H（H）\矩阵{H}作为地形分类的理论属于局部T-代数s、 这从标准上引出了一个概念局部代数ed（∞，1）-拓扑具有衔接结构，概括了局部环空间s和局部环形拓扑锿。

本节位于

内聚力示例∞\英菲-地形

我们列举了衔接的例子(∞,1)（\infty，1）-拓扑，既包括特定的拓扑，也包括以特定方式构造的示例类。

内聚图(∞,1)（第1页）-地形

衔接中的衔接图(∞,1)（\infty，1）-地形

提议

让H（H）\矩阵{H}具有凝聚力(∞,1)（\infty，1）-地形。

让D类D类成为小类别(图表)带有初始对象 ⊥\底部和终端对象 ⊤\顶部，或其他a可表示（∞，1）-范畴.写入

(⊥⊣第页⊣⊤):D类↩⊤→第页↩⊥*（\bottom\dashv p\dashv\top）:D\stackrel{\overset{\bottom}{\hookleftarrow}}{\stackrel{\ overset}{p}{\to}}{\ underset{\top}{\hookleftarrow}{}}*

对于三元组属于伴随（∞，1）-函子由包括⊥\底部和⊤\顶部.

然后（∞，1）-函子范畴 H（H） D类\矩阵{H}^D又是一种凝聚力(∞,1)（\infty，1）-topos，由伴随四元组哪一个是复合材料

H（H） D类↩Ş *→⊥ *↩第页 *→⊤ *H（H）↩coDisc公司→Γ↩光盘→Π∞Grpd公司,\矩阵{H}^D\stackrel{\overset{\top^*}{\to}}{\stackrel{\overeset{p^*}{\hookleftarrow}}{\stackrel{\ overset}\bottom^*}}{\ to}}{\ underset{\bottom _*}{\ hookleft arrow{}}}}\矩阵{H}\stackrel{\overset{\Pi}{\to}}{\stackrel{\overeset{Disc}{\hookleftarrow}}{\stackrel{\ overset}\Gamma}{\to}}{\ underset{coDisc}{\hokeleftarror}}}}\infty集团\,,

其中伴随四元组左边是根据（∞，1）-Kan扩张从(⊥⊣第页⊣⊤)（\bottom\dashv p\dashv\top）.

证明

通过在（∞，1）-Kan扩张最初的三个函子中的每一个都会诱导[如前所述，伴随三元组等。特别是a，因此保留有限乘积（以及所有小的、偶数的）。]

通过最初的附加词，人们发现⊥ !≃第页 *\底部_！\模拟p^*和第页 !≃⊤ *p_！\模拟\top^*，这意味着伴随四元组，如上所示，伴随词的本质唯一性。

最后很明显⊤ *第页 *≃身份证件\顶部^*p^*\simeq Id，这意味着第页 *第页^*是一个完全忠实（∞，1）函子（因此也是如此⊥ *\底部_*).

特别是我们有

推论

对于H（H）\矩阵{H}有凝聚力的(∞,1)（第1页）-topos，也是它的箭头（∞，1）-类别 H（H） Δ[1]\mathbf{H}^{\Delta[1]}具有凝聚力。

例子

对于H（H）=\矩阵{H}= ∞Grpd（“离散内聚力”，见在下面)相应的衔接(∞,1)（第1页）-地形∞Grpd公司 Δ[1]\infty Grpd ^{\增量[1]}被称为Sierpinski（∞，1）-拓扑.

内聚中的简单对象(∞,1)（\infty，1）-地形

对于H（H）\矩阵{H}有凝聚力的(∞,1)（\infty，1）-拓扑its单形对象的（∞，1）-范畴 H（H） Δ 操作\mathbf{H}^{\Delta^{op}}具有凝聚力H（H）\矩阵{H}

H（H） Δ 操作⟵coDisc公司 我⟶Γ 我⟵光盘 我⟶Π 我H（H）.\mathbf{H}^{\Delta^{op}}\stackrel{\Pi_I}{\stackrel{\longrightarrow}{\stackrel{\ overset{Disc_I}{\ longleftarrow}}{\tackrel}{\ overeset{\Gamma_I}{longlightarrow}}{\ underset{coDisc_I{\longlefartarrow{}}}}\矩阵{H}\,.

在这里

  • Π 我\Pi_I（_I）发送一个单纯形对象到同伦大肠杆菌它的组件，因此它的“几何实现“如中所示H（H）\数学函数｛H｝.

  • Γ 我\伽马_I在0-单形上求值；

  • 光盘 我光盘_I在中发送对象H（H）\矩阵{H}对于简单常量的简单对象A类A类.

因此H（H） Δ 操作\mathbf{H}^{\Delta^{op}}相对于H（H）\矩阵{H}表示路径的离散和有向概念的存在。

单纯形区间Δ 1∈H（H） Δ 操作\增量^1\in\mathbf{H}^{\Delta^{op}}（根据（∞，1）-Yoneda嵌入)表现出内聚力属于H（H） Δ 操作\mathbf{H}^{\Delta^{op}}结束H（H）\矩阵{H}在定义的意义上。，因为相对形状形态 Π 我\Pi_I（_I）相当于“A1校准“于𝔸 1=Δ 1\mathbb{A}^1=\增量^1

Π 我≃L（左） Δ 1.\Pi_I\simeq L_{\增量^1}\,.

请注意，有一个包含项

Grpd公司(H（H）)↪猫(H（H）)↪H（H） Δ 操作Grpd（\mathbf{H}）\钩右箭头猫（\mathbf{H}）\钩右箭头\mathbf{H}^{\Delta^{op}}

的广群对象内部到H（H）\数学函数｛H｝和的类别对象内部到H（H）\矩阵{H}里面H（H） Δ 操作\mathbf{H}^{\Delta^{op}}.

在这里H（H） Δ 操作\mathbf{H}^{\Delta^{op}}也是地形分类对于线性间隔.它同构型理论 内部语言配备间隔类型.

有关更多信息，请参阅（∞，1）范畴中的单形对象.

内聚谱束

这个正切（∞，1）-范畴 T型H（H）T\mathbf{H}成为一个有凝聚力的人∞\英菲-topos本身具有凝聚力∞拓扑的切线∞范畴示例)，的切线内聚（∞，1）-topos.

这个T型H（H）T\mathbf{H}这个∞\英菲-地形参数化光谱在里面H（H）\矩阵{H}，因此是内聚的上下文稳定同伦理论.

刺(H（H）) ←coDisc公司 序列⟶Γ 序列←光盘 序列⟶L（左）Π 序列 刺(∞Grpd公司) ↓ 包括 ↓ 包括 T型H（H） ←coDisc公司 序列⟶Γ 序列←光盘 序列⟶L（左）Π 序列 T型∞Grpd公司 基础↓ 0↑↓ 基础↑ 0 基础↓ 0↑↓ 基础↑ 0 H（H） ←coDisc公司⟶Γ←光盘⟶Π ∞Grpd公司.\阵列{刺（\mathbf{H}）&\堆叠器&刺（infty Grpd）\\\向下箭头^{\mathrlap{incl}}&&\downarrow^{\mathrlap}incl}\\T\mathbf{H}&\stackrel{\overset{L\Pi^{seq}}{\longrightarrow}}{\stackrel{\overeset{Disc^{seq}}{\ leftarrow{}{\statkrel{\overset{\Gamma^{seque}}{longrightarrow}{{underset{coDisc^{seq{}{\leftarror}}}}&T\infty集团\\{}^{\mathllap{base}}\downarrow{}^}\mathllap{0}}\uparrow\downarrow^{mathrlap{base}}\up箭头^{\mathrlap}}&& {}^{\mathllap{base}}\downarrow{}^}\mathllap{0}}\uparrow\downarrow^{mathrlap{base}}\up箭头^{\mathrlap}}\\\数学函数｛H｝&\stackrel{\overset{\Pi}{\longrightarrow}}{\stackrel{\overs{Disc}{\leftarrow{}}{\stackrel{\ overset}\Gamma}{\longrightarrowneneneep}{\underset{coDisc}{\left arrow}}}}&\infty集团}\,.

整体等变同伦理论

请参阅G-等变同伦理论上整体的内聚性.

雷兹克-整体等变同伦理论:

内聚（∞，1）-拓扑它的（∞，1）-位置基（∞，1）-拓扑它的（∞，1）-位置
整体等变同伦理论 PSh（磅/平方英寸） ∞(全球)PSh_\infty（全局）全局等变索引范畴 全球全球∞Grpd ≃PSh（磅/平方英寸） ∞(*)\simeq PSh_\infty（\ast）指向
…切片在终端上或显示屏:PSh（磅/平方英寸） ∞(全球) /𝒩PSh_\infty（全局）_{/\mathcal{N}}全球 /𝒩全球{/\mathcal{N}}或显示屏 PSh（磅/平方英寸） ∞(球)PSh\infty（奥尔布）全球轨道类别
…切片结束B类G公司\马特布夫{B} G公司:PSh（磅/平方英寸） ∞(全球) /B类G公司PSh_\infty（全局）_{/\mathbf{B} G公司}全球 /B类G公司全球{/\mathbf{B} G公司}G公司G公司-等变同伦论属于G-空格 L（左） 我们G公司顶部≃PSh（磅/平方英寸） ∞(球 G公司)L_{we}G顶\simeq PSh\infty（Orb_G）G公司G公司-轨道类别 球 /B类G公司=球 G公司Orb_{/\mathbf{B} 克}=Orb_G

发件人∞\英菲-定义的内聚位点

提议

以下示例∞-粘性场地是

从中可以得到以下内聚示例列表(∞,1)（\infty，1）-地形。

离散的∞\英菲-群胚

拓扑∞\英菲-群胚

平滑∞\英菲-群胚

复杂分析∞\不完整的-群胚

正式平滑∞\英菲-群胚

超级平滑∞\英菲-群胚

平滑∞\英菲-代数上的群胚∞\英菲-烟囱

可以考虑切线（∞，1）-拓扑的内聚（∞，1）-拓扑

Sh公司 ∞(史密斯Mfd,Sh公司 ∞(附表 ℤ))←coDisc公司⟶Γ←光盘⟶ΠSh公司 ∞(附表 ℤ)Sh_\infty\left（SmthMfd，Sh_\infty\leaft（Sch_{\mathbb{Z}}\right）\right\stackrel｛\overset｛\Pi｝｛\longrightarrow｝｝｝｛\stackrel｛\overset｛Disc｝｛\leftarrow｝｝｝｛\stackrel｛\overset｛\Gamma｝｛\longrightarrow｝｝｝｛\sunderset｛coDisc｝｛\leftarrow｝｝｝｝Sh_\infty（Sch_{mathbb{Z}}）

属于∞-堆栈上网站属于光滑流形依次输入值∞-堆栈超过网站属于算术方案，因此由光滑∞-群胚但是超过了基（∞，1）-拓扑代数的∞-堆栈.

这导致微分代数K-理论。有关详细信息，请参阅此处。

E类 ∞E_\信息-算术∞\英菲-群胚

看见差异衔接与表意结构

凝聚在里面E-∞算术几何:

凝聚 模式符号解释
平坦模态♭\扁平正式竣工在
形状形态ʃʃ扭转近似
dR形状模态ʃ 博士ʃ_{dR}本地化离开
dR-平坦模态♭ dR公司\扁平{dR}adic残留物

这个微分上同调六边形/算术断裂平方:

本地化离开从𝔞 ⟶ 𝔞阿迪奇残留物 ↗ ↘ ↗ ↘ Π 𝔞dR公司♭ 𝔞X（X） X（X） Π 𝔞♭ 𝔞dR公司X（X） ↘ ↗ ↘ ↗ 正式的完成在𝔞 ⟶ 𝔞扭转近似,\阵列{&&本地化\；离开\；来自\；\mathfrak{a}&&\stackrel{}{\longrightarrow}&&\mathfrak{a}\；adic \；残留物\\&\nearrow&&\searrow&&\nearrouw&&\searrow\\\Pi_{\mathfrak{a} 数据记录器}\flat_{\mathfrak{a}}X&&&&X&&&\Pi_{\mathfrak}}\flat_{\matchfrak{a} 数据记录器}X（X）\\&\searrow&&\nearrow&&\searrow&&\linearrow\\&&形式\；完成\；位于\；\mathfrak{a}\；&&\longrightarrow&&\mathfrak{a}\；扭转\；近似}\,,

任意基底上的光滑内聚∞\英菲-地形

上述示例与任意基.

例如平滑内聚力超过（∞，1）-拓扑超过一个合适的网站属于计划是的自然环境微分代数K-理论。请参阅此处了解更多信息。

应用

作为几何空间和几何空间中路径的上下文，内聚(∞,1)（\infty，1）-地形是一个自然的环境，在这个环境中，可以形成基本的基本原理物理学。请参阅高等范畴理论与物理学了解更多信息。

另请参见

和

另请参见

不相关的是的概念内聚∞-叠前

工具书类

前驱体

这个分类理论的定义粘性地形由提出比尔·劳弗尔。请参阅上的参考资料粘性地形.

进一步向左伴随的观察Π\Pi公司在局部∞连通（∞，1）拓扑定义了路径的内在概念（∞，1）-拓扑中的几何同伦群由建议理查德·威廉姆森.

进一步的右伴随观察coDisc公司coDisc公司在局部（∞，1）-拓扑用于描述混凝土（∞，1）-滑轮被放大了大卫·卡切迪.

这里讨论的某些方面或多或少是明确的

例如，类似于∞-连接站点以及局部∞连通（∞，1）拓扑中的基本∞群是第2.16节的内容。这个无穷小路∞-广群附加 (红色⊣Π inf公司⊣♭ 基础设施)（\mathbf{Red}\dashv\mathbf{\Pi}_{inf}\dashov\mathbf{\flat}_{inf}）在第3节中进行了基本讨论。几何实现的概念（参见内聚（∞，1）拓扑几何实现中的结构)，在备注2.22处有所涉及，指的是

但是，或多或少明确地说，简单预升的几何实现的表示要古老得多，可以追溯到Artin-Mazur。请参见（∞，1）-拓扑中的几何同伦群获取详细的文献评论列表。

用伴随函子刻画无穷小扩张和形式光滑性（在无穷小内聚)被视为

在…的背景下Q类.

论衔接(∞,1)（第1页）-地形本身

根据此处提供的材料：

中的模型导出微分几何:

说明：

同伦类型理论

中衔接形式化的阐述和讨论同伦型理论在中

相应的Coq公司-代码在中

第一种形式化描述见

下列的

另一种形式化描述见

欲了解更多信息，请访问内聚同伦型理论.

对断裂的概括∞\英菲-地形

概念断裂 ∞ \英菲 -地形是cohesione的一种“局部”泛化，适用于简明数学（参见。凝聚局部收缩性):

说明如下：

上次修订时间：2023年11月8日07:38:40。请参阅历史获取所有贡献的列表。

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