RIES-找到代数方程及其解

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坏掉的计算器

这个有点像“被遗忘的身份"示例，并基于通常归因于的问题唐纳德·纽曼[3]:

从-和倒数派生运算+、-、x和/。

就像我们有一个带坏了的+、x和/键的计算器，但我们会仍然喜欢用它来加法、乘法和除法。怎么用？

解决此问题在概念上类似于构建完整的LISP0、后续函数和比较函数的函数库（请参阅我的函数计算文章），但我们可以使用RIES公司来帮助我们发现一些功能。

我们从“互易函数”*f开始(x） =1/x个和减法函数如果(一,b条) =一-b条第一个（公平显而易见）步骤是找到一种加法方法。只有几个简单的步骤。我们可以通过从中减去任何东西得到常数0自身：

0 =x个-x个

然后我们得到否定函数通过从0中减去任何值：

-一= 0-一

现在我们有0、负数和减法。有了这些，我们可以添加任何两个值：

一+b条=一-(-b条)

代入0和否定函数，我们得到：

一+b条=一-((x个-x个)-b条)

哪里x个可以是任何东西。

展示如何通过里斯，考虑尝试的任务计算e（电子）+π使用juste（电子），π和减法功能。我们刚刚显示了总数一+b条等于一-((x个-x个)-b条)其中x个可以是任何内容，包括一或b条那么总和e（电子）+π可以表示为以下任意一种：

e（电子）+π =e（电子）-((e（电子）-e（电子）)-π)
e（电子）+π =e（电子）-((π-π)-π)
π+e（电子）= π-((e（电子）-e（电子）)-e（电子）)
π+e（电子）= π-((π-π)-e（电子）)

让我们使用里斯发现答案。这里我们需要使用--单边的将所有内容强制移到右侧的选项等式，以及-S公司选项指定允许的“符号集”。这个里斯我们需要的符号是e（电子）对于e（电子）,第页对于π，-用于减法，以及第页用于互惠。使用普通计算器我们发现了e（电子）+π是5.8598744820488，那么我们问里斯到用四个符号表示：

ries--单边--最大匹配距离1e-9-x-l5 5.8598744820488-9月-r日  x=pi-（（pi-e）-pi）对于x=5.85987448204884{88}x=e-1/（（pi-1/（pi-（pi-1/pi）））-1/pi）对于x=5.85987448204882｛154｝

第一个答案是我们想要的，我们可以很容易地插入对于π和e（电子）并且看到，一般来说，一+b条=一-((一-b条)-一)结果有点不同从我们上面得出的解决方案。

第二个里斯包含互惠的答案也有效，但不必要的复数（例如，注意π-（π-1/π）简化为1/π），因为里斯有时遇到数字舍入错误并将两个结果视为只有当它们产生完全相同的计算结果时才等效。

乘法和除法更难以捉摸，但关键是不要尽量直接去找他们。让我们试着找到一些其他函数计算器可能提供的功能。以下是一些简单的函数：

如果(x个) =x个+1个
如果(x个) = 2x个
如果(x个) =x个/2
如果(x个) =x个²

其中之一，如果(x个)=2x个，是微不足道的，因为我们已经有了添加。这个x个/2功能也很简单。这里是举例说明里斯计算π/2，使用-S公司选择指定唯一允许的符号是π和函数我们已经推导出了上面的公式（倒数、+和-）：

系列1.5707963267949--单面--最大匹配直径1e-9-x-l5-弹簧+-  x=1/（1/pi+1/pi）对于x=1.5707963267949{68}

所以我们有办法x个/2，即1/（1/x个+1/x个).

看似简单的x个+1是难以捉摸的。里斯除非我们允许它使用常数1：

ries--单侧--最大匹配距离1e-9-x-l5 4.1415926535898-Spr+-｛永远搜索…｝  系列--单侧--最大匹配距离1e-9-x-l5 4.1415926535898-S1pr+-x=1+x的pi=4.14159265358979{43}

当我们使用里斯来看看如果(x个) =x个².在这里是使用（φ）的示例²,e（电子）²和π²:

ries--单侧--最大匹配距离1e-9-x-l5 2.6180339887499-S1f+-r  x=1+φ，x=2.61803398874989｛47｝对于x=2.6180339887499{111}，x=1/（1/（1/1（1-phi）+1）+1+1）  ries--单侧--最大匹配距离1e-9-x-l5 7.3890560989306-S1e+-r  x=e-1/（1/（1-e）+1/e），对于x=7.38905609893065{108}  系列--单侧--最大匹配距离1e-9-x-l5 9.8696044010894-S1p+-r  x=pi-1/（1/（1-pi）+1/pi），对于x=9.86960440108936{102}

在Φ中²如果我们得到Φ=1+Φ，这是其中之一Φ的著名特殊恒等式。另一个Φ²答案和一些不太明显的Φ恒等式有关。所以Φ对我们没有帮助，但是e（电子）²和π²,里斯给了我们两个类似的答案。这表明我们应该看看函数：

如果(x个) =x个-1/(1/(1-x个)+1/x个)

其中一部分可以简化：

1/(1-x个) + 1/x个=x个/x个(1-x个) + (1-x个)/x个(1-x个)
= 1/x个(1-x个)

然后我们将其替换回来并简化：

如果(x个) =x个-1/(1/(1-x个)+1/x个)
=x个- 1/(1/x个(1-x个))
=x个-x个(1-x个)
=x个- (x个-x个²)
=x个²

所以我们现在有了“平方函数”如果(x个) =x个²，其中里斯是符号'秒'.

用加法、减法、倒数和平方函数，我们能不能乘法？遗憾的是，这些搜索圆周率*e（电子）（嗯，馅饼！）和圆周率/e（电子）不工作：

ries 8.5397342226736-单边-最大比赛距离1e-9-x-l6-Ssepr+-{永远搜索…}  系列1.1557273497909--单侧--最大匹配距离1e-9-x-l6-Ssepr+-｛永远搜索…｝

但我们知道我们可以做到2x个和x个/2很容易，所以让我们试着得到2π/e（电子）:

系列2.3114546995818--单面--最大匹配直径1e-9-x-l6-Ssepr+-  x=2.31145469958184{129}时，x=（1/e+pi）^2-（pi^2+1/e^2）

现在我们正在取得进展。类似里斯搜索2Φ/e（电子）快速显示它是（1/e（电子）+Φ)²-(Φ^2+1/e（电子）^2） 导致一般解决方案：

2一/b条= (1/b条+一)²-(一^2+1/b条^2)

这很容易用代数验证。我们可以将此公式用于2一/b条使用先前导出的公式x个/2获得一/b条公式。

一旦我们分裂了，我们就自由了。如果你的大脑因为所有这些，里斯将很容易显示产品实验室是一/(1/b条).

启发性发现

我编写了一个简单的例程来计算Lanczos近似对于这个伽玛函数使用最简单的Lanczos系数我能找到。它给了我以下近似值：

伽马（0.5）≈1.772453850902053
伽马（1.0）≈1.00000000000000
伽马（1.5）≈0.886226925452798
伽马（2.0）≈1.00000000000000
伽马（2.5）≈1.329340388179131
伽马（3.0）≈2.00000000000000
伽马（3.5）≈3.323350970447838
伽马（4.0）≈5.999999999999997
伽马（4.5）≈11.631728396567436
伽马（5.0）≈23.999999999999993
伽马（5.5）≈52.342777784553668
伽马（6.0）≈119.999999999999872
伽马（6.5）≈287.885277815044162
伽马（7.0）≈719.99999999998863

Lanczos近似的粗糙性可以从整数中看出参数：Gamma（4.0）应该正好是3！这是6。类似错误可以在Gamma（5.0）和更高版本中看到。

关于Gamma函数，我已经了解了以下每一项：

• 伽马射线(x个)等于阶乘属于x个-1（对于任何阳性整数x个),

• 伽马射线(x个+1） 等于x个倍Gamma(x个)（对于所有人x个,不仅仅是整数），

• 伽马射线(x个+1/2）有一个使用π的精确公式，

我想找出涉及π的精确公式，但只是为了好玩，我想在不应用归纳公式的情况下这样做伽马射线(x个+1) =x个伽马射线(x个).

使用里斯查看半整数参数：

系列1.772453850902053x^2=pi代表x=T+3.46301e-12{38}  0.886226925452798里亚尔2 x=sqrt（pi），x=T-4.00791e-14｛55｝  里斯1.329340388179131x/sqrt（pi）=3/4，对于x=T+5.77316e-15{79}  第3.323350970447838列x/sqrt（pi）=2-1/8，对于x=T+3.9968e-15{87}  系列11.631728396567436x/sqrt（pi）+1=（3-1/4）^2，x=T+1.24345e-14｛109｝  系列-l3 52.342777784553668x/（1-1/8^2）=5*6平方（pi），对于x=T-1.49214e-13{136}

在某些情况下里斯打√π在左边，在另一边右边的案例。其中一个方程式（第一个）没有√π总之，但很容易看出，一旦你解决了x个。公式中的所有其他内容都相当于整数：例如，“x/sqrt（pi）=2-1/8”是x/√π=15/8或x个= 15√π/8.解决所有问题x个，得到分数把每个分数的分子分解成简化形式，我们获取：

伽马（1/2）=√π
伽马（3/2）=√π/ 2
伽马（5/2）=3√π/4个
伽马（7/2）=5×3√π/ 8
伽马（9/2）=7×5×3√π/ 16
伽马（11/2）=9×7×5×3√π/ 32

伽玛射线的模式(n个+1/2）很容易看到。将军公式为：

伽马射线(n个+1/2) = (2n个-1)!! √π/ 2^n个

使用双阶乘得到奇数的乘积（斯隆的A001147号).

卢卡斯数的精确公式

这是另一个“开明发现”的例子。卢卡斯数字，（OEIS序列A0032美元，我的MCS13770842号机组)是数字：2、1、3、4、7、11、18、29、47、76、123、199、322。。。具有简单的递推关系 我_n个=我_n个-1+我_n个-2.

我知道这些数字接近Φ（黄金比例），但这并不准确。例如Φ⁷是29.034441853……比卢卡斯大一点数我₇=29.我也知道是精确公式这些数字。因此，我想找到这样一个精确的公式：

我_n个= Φ^n个+某物^其他的

首先，我在Hypercalc公司BASIC方言：

1’计算Phi（黄金比率）和Lucas数的幂，2'，并显示一个表格，其中包含两者之间的差异10 l0=2；l1=1；i=1至25时为20；30打印i，phi^i，l1，l1-phi^i40 l2=l0+l1；l0=l1；l1=l2；50下一个i999结束

程序给出了这些值：

n个 Φn个 我n个 我n个-Φn个 1 1.6180339887499 1 -0.6180339887498 2 2.6180339887499 三 0.3819660112501 三 4.2360679774998 4 -0.2360679774997 4 6.8541019662497 7 0.1458980337503 5 11.090169943749 11 -0.0901699437494 6 17.944271909999 18 0.0557280900008 7 29.034441853748 29 -0.0344418537486 8 46.978713763748 47 0.0212862362522 9 76.013155617496 76 -0.0131556174964 10 122.99186938124 123 0.0081306187557

第4个^第个列是必须添加到的“调整”Φ^n个得到精确的公式我_n个。您可能已经能够猜测此调整的公式，但让我们使用里斯到发现它：

系列-s-0.61803398887498x=-（1/φ）系列-s 0.3819660112501x=（1/phi）^2ries-s-0.2360679774997x=2平方（5）序列号：0.1458980337503x=（1/φ^2）^2

除了-0.2360679774997之外，答案符合一个模式：都是-1^n个/Φ^n个= -Φ^-n个.我们可以快速验证2-√5也等于-Φ^-3。这给了我们一个精确的公式卢卡斯数字：

我_n个= Φ^n个+（-Φ）^-n个

调试

里斯有时也可用于查找公式或在使用给定公式进行计算时。

我发现了一个问题Hypercalc公司的阶乘函数，它基于斯特林系列。对于某些值N个,Hypercalc对因子的回答N个是错误的。例如，什么时候N个是一个古戈尔，我正在2.2051589684...×10^{995657055180967481723488710810833949177056029941963334338855462168341353507911292252707750506615682566}而不是正确的答案1.6294043324...×10^{995657055180967481723488710810833949177056029941963334338855462168341353507911292252707750506615682567}.指数在最后一个数字和初始数字（“尾数”）完全不同。Hypercalc的回答也是较小，比率约为16.294/2.205=7.389。

（我现在能听到你们中的一些人……你在说，嘿，有什么大的处理？这是99古戈力的10倍，你担心七因子？我想没人会注意到。但我通知。我喜欢大数字……）

总之，将这个比率7.389056099放入里斯表明它是e（电子）²这给了我一条线索，帮助我找到了问题。自Hypercalc使用自然对数，中间结果几乎精确地偏离了2。我很快就发现了一个问题，导致术语接近0.0改为接近1.0。

在相关调查中，发现某个值的偏差比率为约1.58323701466。把这个放进里斯透露这是4^第个2π的根。有一个涉及√的公式2π，但是显然，平方根被错误地取了两次。

科尔莫戈洛夫复杂性

如上所述里斯“复杂性”分数是科尔莫戈洛夫复杂性所以它可以被用作估计表达式或方程的复杂性，前提是你已经知道方程的根了。例如，φ（该黄金比例)有时被认为是符号本身的复杂性为1。我们可以使用里斯通过使用-F0级（后缀输出格式）和-秒（解决x个)选项：

系列1.61803398874989-s-F0...x=f代表x=T+4.88498e-15{33}

解决方案x个=Φ在右侧有一个符号，因此Φ的“Kolmogorov复杂性”为1。如果我们不被允许怎么办使用内置符号如果代表Φ？

系列1.61803398874989-Nf-s-F0...x=5qxr-对于x=T+5.10703e-15{68}

给出的解决方案是5个符号(5个qxr-)或x个= √5-1/x个在里面更正常的符号，反映了定义Φin的一种方法条款本身。为了获得Φ的更标准定义，我们需要使用-公牛（只允许一个x个并排除C类符号（余弦），因为Φ正好是π/5余弦的两倍。然后我们得到：

系列1.61803398874989-NfC-Ox-s-F0...x=15q+2/对于x=T+4.88498e-15{73}

用6个符号表示Φ为（1+√5)/2.

如果你更关心一个特定符号的出现次数使用，您可以组合里斯使用一些UNIX工具。在这个例子中，我们使用里斯生成序列项A5245型，其中通过计算1的数量来衡量整数的“复杂性”只用加法和乘法就可以得到这个数字。例如，6的“复杂性”是5，因为您可以从五个1是这样的：6=（1+1+1）×（1+1）。

ries--单边-S1*+6|sed的s/{.*}//'|grep精确|tr-cd 1|wc-c5ries--单边-S1*+7|sed的s/{.*}//'|grep精确|tr-cd 1|wc-c6ries--单边-S1*+8|sed的s/{.*}//'|grep精确|tr-cd 1|wc-c6ries--单边-S1*+9|sed的s/{.*}//'|grep精确|tr-cd 1|wc-c6ries--单边-S1*+10|sed的/{.*}//'|grep精确|tr-cd 1|wc-c7ries--单边-S1*+11|sed的/{.*}//'|grep精确|tr-cd 1|wc-c8ries--单边-S1*+12|sed的/{.*}//'|grep精确|tr-cd 1|wc-c7

使用--单边使较大的目标数非常慢，但里斯如果您替换--单边的带有的选项-即（整数子表达式，精确停止match）并允许除法：

ries-ie-S1/*+14|sed的s/{.*}//'|grep精确|tr-cd 1|wc-c8

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2013年Pi日的一些例子

提前圓周率日2013年，我决定在推特上发一条一系列连续逼近圆周率以下是全套。

2015年圆周率日的一些例子

为了庆祝“世纪圆周率日”（2015年3月14日9:26:53！），我准备制作一组新的近似示例，但我很快意识到我主要是重复我在2013年做过的例子。有几个是2015年修订，如下各节所述。

Pi日：第一个近似值

罗伯特·穆纳福     @mrob_27型
庆祝#PiDay，使用#RIES进行经典近似。Pi为约3+平方米（1/50）mrob.com/pub/ries/index。。。#数学#数字

第一个例子是“巴比伦”近似（误差：1.17×10^-4)

里斯善于发现“经典”近似古代使用的公式。在这个里斯指挥部，我们要求它“解决x个“使用-秒选项，并限制其搜索到规矩数s和-c（c）选项（此阻止里斯使用对数等高级函数，指数等，并防止它使用π本身，因为π不具有建设性). 这个里斯命令是：

系列3.14159-c-s

经过一些粗略的近似，我们得到：

x=1/（5√2)+3       = 3.14142135623731...

这个答案相当于3+√2/10, 3+√1/50，或3+1/√50,其中任何一种都很容易记住，可能在古代就已经使用过了次。

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Pi日：第二近似值

罗伯特·穆纳福     @mrob_27型
通过排除所有数字，“ries 20-N123456789”找到Gelfond常数e^pi-pi。mrob.com/pub/ries/index。。。庆祝#PiDay#数学#数字

此示例涉及Gelfond常数（误差：4.1×10^-5)

有一个奇怪的事实，在x千立方码217，那个e（电子）^π-π几乎是精确的20里斯通过告诉它不要使用，很容易发现这个事实任何数字。这里是里斯命令：

系列20-N123456789  您的目标值：T=20 mrob.com/ries  x+π=e ^π，x=T-0.000900021

这个Gelfond常数巧合通常表示为"e（电子）^π-π≈20“，以及里斯如果我们告诉解决x个:

系列20-N123456789-s-x

它给出了神奇的公式：

x个=e（电子）^π-π       = 19.9990999791895...

让我们看看这个公式在近似π时的效果如何。我们转身用变量替换π后的方程x个、和使20成为一个精确的常数：

20 =e（电子）^x个-x个

为解决此问题x个，我们需要一个方程求解器。这是的对立面里斯（这是一个“逆”解算器！）。一个选项是使用新型网络搜索引擎然后放置在“<a href=“http://www.wolframalpha.com/input/？i=E%5Ex-x%3D20“>E^x-x=20</a>";在结果页面上，单击按钮“近似形式",然后更多数字; WolframAlpha会告诉你一个解决方案3.1416333.

要完成圆圈（预期的π参考），请给出该数字返回到里斯使用命令：

系列3.1416333-Np-x

（“-无“部分很重要，这说明里斯不使用π答案是！）。这将得出以下结果：

e（电子）^x个-x个=4*5用于x个= 3.14163330280104...

…我们又回到了e（电子）^x个-x个=20。

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Pi日：第三个近似值

罗伯特·穆纳福     @mrob_27型
使用#RIES将Pi近似为自己的数字：-√（√（三+1)4+1))+5 = 3.1415...mrob.com/pub/ries/index。。。庆祝#PiDay#数学#数字

这个例子是自我描述的公式（误差：1.22×10^-5)

我们可以使用里斯得到使用数字的π公式3、1、4、1和5。我们还将指定它只能使用简单的运算（加、减、乘、除）加平方根。这个里斯命令是：

系列3.14159-S+-*/q--数字阵列31415-Ox-S-x-l5

结果是：

x=5-√（√（4（√三+1)+1))       = 3.14158048413951...

我们可以重新安排，使数字以正确的顺序出现：

π ≈ -√(√((√三+1) *4+1)) +5

  

全π日期（2013年版）

罗伯特·穆纳福     @mrob_27型
#PiDay将为2013/03/14=（π-π*（π^π+π））*=2013.0314…使用#RIEShttp://mrob.com/pub/ries/index。。。#数学#书呆子

我们还可以从各种组合π. 我们的目标是2013年3月31日，即PI日2013年。我们会告诉你里斯只使用符号p（代表π）、+、-、，*、/和^（求幂）。--单面的只生成表达式而非方程式，以及-十五指定“级别5”搜索：

ries 2013.0314-Sp-+*/^--单面-l5
  
您的目标值：T=2013.0314
...
x个=（pi-pi（pi^pi+pi））x个=温度-0.117916

这个搜索花费了将近20秒，因为里斯没有太多因为2013年是一个相对较大的数字。我们有点不太对劲，所以我们将制作另一个公式来近似剩余零件0.117916：

系列0.117916-Sp-+*/^--单面-l5
...
x个=（pi/（（pi-pi/（pi^pi+pi））+π））^pix个=电话+1.32071e-05

将这两部分放在一起：

(π-π×(π^π+π))×(π-π×(π+π)) + (π/((π-π/(π^π+π))+π))^π= 2013.0314129874...

以相同方式推导的另一个公式是：(π^{(π/(π*π+π/π))}+π*π)^π+(π*π*π)^{(π/(π(π+π)-π))}/π =2013.0314545206...

这是WolframAlpha中的第一个：(π-π*(π^π+π))*(π-π*(π+π))+(π/((π-π/(π^π+π))+π))^π

点击图片查看WolframAlpha页面；有几个底部附近有趣的“交替形式”。

全π日期（2015年版）

罗伯特·穆纳福     @mrob_27型
今天，#PiDay，是2015/03/14=（（π+π）^π/（π^π+π）+π）^π-π/（π*π+π+π^π）=2015.0314…使用#RIEShttp://mrob.com/pub/ries/index。。。

使用上述相同的方法，我首先推导出

ries 2015.0314'-Sp-+*/^'-单侧-l5您的目标值：T=2015.0314...x=（（pi+pi）^pi/（pi ^pi+π）+pi）

然后

ries 0.0635406’-Sp-+*/^’--单面-l5您的目标值：T=0.0635406...x=pi/（pi*pi+pi+pi^pi），对于x=T-3.99025e-05

将两者结合得到公式

（（pi+pi）^π/（piπ+pi。。。

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Pi日：第4天^第个近似值

罗伯特·穆纳福     @mrob_27型
用连续的部首√（√（（√5）+2）+8）~3.141589庆祝#PiDay#RIES公司http://mrob.com/pub/ries/index。。。#数字#nerdout#数学

对于这个示例，我们将执行连续根逼近（误差：3.06×10^-6)

我们会告诉你的里斯使用有理近似求3.14159设置-第页还可以启用平方和平方根(-Esq公司),“求解”方程式(-秒)并给出根的值(-x个):

系列3.14159-r-Esq-s-x

这个命令给出了理性和非理性的混合答案，但所有他们中的可建造的。其中包括相当漂亮的结果：

x=√5)+2)+8)       = 3.14158959598692...

这是一个“连根”近似，就像连分数一样而是使用平方根来代替倒数的.

  

使用的权力e（电子）

罗伯特·穆纳福     @mrob_27型
e^（19/18）^（5/2）；e^e^（3*4^√5）；e^2-e/4+2^-6-2ln（6）均为3.14159。。。使用#RIES庆祝#PiDay，更多信息请访问http://mrob.com/pub/ries/index。。。#数字

以下是几个π近似，涉及权力或根源e（电子）（误差：9.5×10^-7至2.33×10^-6)

我给了里斯范围内的各种“随机目标数”π/10⁶π值（也就是说，精确到以内百万分之一）。大多数情况下，我都会问里斯不使用答案中的三角函数或π本身，并使用--最大匹配距离以确保其答案与随机目标也可用作π的近似值。

使用这种技术，可以找到无数不寻常的近似值。以下是我最喜欢的几个：

e（电子）^(19/18)(5/2)= 3.14159032160545... ≈ π - 2.33198×10^-6

e（电子）^{e（电子）3×4-√5}= 3.14159046585759... ≈ π - 2.18773×10^-6

(√三e（电子）+2-√2)²= 3.1415905858962... ≈ π - 2.06769×10^-6

平方英尺((e（电子）/2+2)²-√2) = 3.14159420028712... ≈ π + 1.5467×10^-6

(e（电子）^{e（电子）}-9)^(1/4)(1/3)=3.1415915931007…≈π-1.0605×10^-6

e（电子）²-e（电子）/4 + 2^-6-2ln（6）=3.14159170335978…≈π-9.50229×10^-7

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圆周率日：5^第个近似值

罗伯特·穆纳福     @mrob_27型
今天我们用#RIES找到π的有理逼近http://mrob.com/pub/ries/index。。。庆祝#PiDay#nerdout#数字#数学#乐趣

现在，我们将探讨如何生成受欢迎的收藏夹，有理分式逼近（误差：2.67×10^-7)

许多π扇子知道分数近似335/113。里斯有一个选项-第页（以下简称--有理子表达式)这使得很容易生成以比率表示的近似值整数的。以下是我们如何获得335/113里斯:

系列3.1415926-r-s-x

结果包括：

x个= 1/7+3       = 3.14285714285714...

...

x个= 9*1/(8-1/9)+2       = 3.14084507042254...

...

x个= 1/(1/(4*4)+4+3)+3       = 3.14159292035398...

第一个是众所周知的3 1/7；二是3+10/71；阿基米德证明π在这两者之间。第三个公式“1/（1/4*4+4+3）+3”相当于335/113。

再多做一点工作，里斯可以告诉只搜索表达式属于连分数表单。这是用--单边的选项，并使用-S公司只允许数字、加法和倒数（1/x个)操作。我们还需要做更长的搜索使用-l4级（“4级搜索”）：

里斯命令：

系列3.1415926-Sr+123456789--单面-x-l4

结果：

x个= 1/6+3       = 3.16666666666667...

x个=1/7+3=3.14285714285714。。。

x个= 1/(1/8+7)+3       = 3.14035087719298...

...

x个= 1/(1/(7+9)+7)+3       = 3.14159292035398...

显示的答案相当于3+1/6、3+1/7、3+1/（7+1/8），以及分别为3+1/（7+1/16）。

  

用π计算PIE

（误差：1.18×10^-6)

罗伯特·穆纳福     @mrob_27型
@用pies计算π的numberphile。。。和#RIES用π计算PIE：（π-1/√√π）^π+1/π+1/π=16.0905…=“P I E”http://mrob.com/pub/ries/index。。。

在2013年圆周率日之前，@数一数二的摆出迷人的姿态视频已调用用pie计算pi.我把它转过来，用π计算“PIE”！

“PIE”中的字母是16^第个, 9^第个和5^第个在中字母表。因此，我们将数字16、09和05：

16.0905 = ???

我会告诉你的里斯它可以使用基本运算加平方根和指数，并要求它“匹配所有数字”--疯了选项：

ries 16.0905-S+-*/^nqrp-Ox-S--疯狂

这很容易给出答案：

ries 16.0905-S+-*/^nqrp-Ox-S--疯狂  您的目标值：T=16.0905 mrob.com/ries  x=（pi-1/sqrt（sqrt（pi）））^pi+1/pi+1/pi=16.09054124440。。。x=（pi ^sqrt（sqrt）+pi pi）pi 1/（pi-1/pi）=16.090558519588。。。x=（（pi“/-（1/（pi/pi^pi-sqrt（sqrt（pi））））^2+pi）^2=16.090548718255。。。...

我选择了第一个，因为它是最简单的：

将其放入新型网络搜索引擎我们可以看到这个值确实是16.0905。。。

π在近似PIE方面有多好？我们将扭转局面通过更换x个使用16.0905，然后将π改为x个的：

(x个-1/平方英尺（平方英尺(x个)))^x个+1/x个+1/x个= 16.0905

和请WolframAlpha解决.答案是：

x个≈ 3.14159147147955...

与π的实际值相差约1.18×10^-6.

快乐圓周率日!

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Pi日：第6天^第个近似值

罗伯特·穆纳福     @mrob_27型
π约为（4/（4*4（4（4+4）-4）+4））*4*4-（4/4-4）=3.1415929……使用#RIES庆祝#PiDayhttp://mrob.com/pub/ries/index。。。#书呆子数学数字

安四人近似（误差：2.67×10^-7)

在这个例子中，我们将告诉里斯只使用数字4（使用-S4系列),给出有理（分数）答案(-第页)，且不使用互操作(-编号). 这提供了近似值仅使用数字4与各种符号组合：

系列3.14159265-S4-r-Nr-s-x-l5

一些结果：

x个= 4-(4-4/(4+4))/4       = 3.125
x个= 4/(4(4+4)-4)-(4/4-4)       = 3.14285714285714...
...
x个= (4/(4*4(4(4+4)-4)+4))*4*4-(4/4-4)       = 3.14159292035398...

敏锐的读者会注意到，其中两个解决方案与有理近似在上面.耐心（使用更长的类似搜索-16岁或-17岁)里斯可以找到335/113近似值具有许多其他数字：

(3/((3*3(3+3)-3/(3+3))+3))(3-3/(3*3))+3   （1 1/2分钟）
(4/(4*4(4(4+4)-4)+4))*4*4-(4/4-4)   （11秒）
(6/((6(6+6+6)-6/6)+6))(6(6+6)+6)-6/6   （约1分钟）
(7(7*7*7+7+7)-(7+7))/((7*7+7)(7+7)+7)   （约1分钟）
(8+8+8)/8-8/(8-(8/(8+8)+8*8))   （10秒）

对于数字1、2、5和9里斯仍在搜索几个分钟，所以我给了它一点帮助。允许数字1以及5，然后拆下-编号限制很快给出答案：

系列3.14159265-S15-r-s-x-l5
...
x个= 1/(1/(5(1/(1-5)-5))-1/(1+1))+5       = 3.14159292035398...

然后我做了各种替换，如更改“一/b条“至”5一/5b条":

1/(1/(5*(1/(1-5)-5))-1/(1+1))+5
= 5/(5/(5*(1/(1-5)-5))-5/(1+1))+5
= 5/(5/(5*(5/(5*(1-5))-5))-5/(1+1))+5
= 5/(5/(5*(5/(5*(1-5))-5))-5*5/(5+5))+5
= 5/(5/(5*(5/(5*(5/5-5))-5))-5*5/(5+5))+5

所以我们有所有数字的答案：

1/(1/((1+1+1+1)*(1+1+1+1))+1+1+1+1+1+1+1)+1+1+1
2/(2/(2*2*2*2)+2*2*2*2-2)+2/2+2
5/(5/(5*(5/(5*(5/5-5))-5))-5*5/(5+5))+5
9(9/((9-(9(9+9+9)+9/9))+9)+9/(9+9))-9/9

1和2的版本都来源于“1和2”版本为1/（1/（2*2*2x2）+2+2+1+2）+1+2，您可以轻松地这等于1/（1/（7+9）+7）+3昨天.

对于数字0，可以应用通用定义0⁰=1和更改间隔将“所有1”表达式中的1转换为0⁰.

  

迭代近似

罗伯特·穆纳福     @mrob_27型
从任意数字开始，点击+1=√1/x个* 3e（电子）^x个= √; 然后重复。你得到了什么？用#RIES庆祝#PiDayhttp://mrob.com/pub/ries/index。。。#数学

迭代Matrix博士例子（误差：2.89×10^-8)

这次我们不会从答案中排除π，但使用--最小匹配距离禁止简单答案的选项"x个=π“里斯命令是：

系列3.141592653589--最小匹配距离1e-8-NSCT-s

从而得出以下结果：

x个= √((1/√1+π)e（电子）^三)

替换x个对于右边的π，我们得到：

x个= √((1/√1+x个)e（电子）^三)

这可以用作从任意数字开始的迭代公式。例如，从开始x个=2，然后计算√((1/√(1+x个))e（电子）^三)得到3.405347287。现在将其用作的新价值x个并继续：3.093475530、3.150784303、，3.139852027, ... 重复多次x个收敛于3.1415926825119…，虽然不是π，但可能足以愚弄你的朋友。

事实证明，这个“伪迭代近似公式”是与近恒等式π代数相关⁴+π⁵≈e（电子）⁶，正如我们从原始公式开始所见：

x个= √((1/√1+π)e（电子）^三)

然后改变x个到π并去掉平方根：

π ≈ √((1/√1+π)e（电子）^三)

π²≈e（电子）^三/√1+π

π²√1+π≈e（电子）^三

π⁴(1+π) ≈e（电子）⁶

π⁴+π⁵≈e（电子）⁶

π⁴+π⁵是403.4287758…，并且e（电子）⁶为403.4287934。。。；一非常接近的巧合的确！

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Pi日：第7天^第个近似值

罗伯特·穆纳福     @mrob_27型
计算3+1/（e+1/2+e（电子）√2) = ? 你得到了什么…为什么？庆祝#PiDay使用#RIEShttp://mrob.com/pub/ries/index。。。#数学#numbers#nerdout

“简单”Matrix博士例子（错误：9.01×10^-9)

此示例可用于骚扰你的同学（但请不要）。我们问里斯对于π的近似，除了对于π本身和三角函数。

里斯命令：

系列3.141592653589-NpSCT-s-x

结果的底部是：

x个= 1/(e（电子）√2+e（电子）+1/2)+3       = 3.14159266259783...

这样重新安排，你可能会愚弄你的一些朋友认为它是真实的：

对于那些知道π的人来说，这可能更有说服力和e（电子）都是超验的。

  

坏掉的计算器

罗伯特·穆纳福     @mrob_27型
只有x^2、√、e^x和ln（x）的计算器可以计算任何……包括π、 使用#RIES了解如何http://mrob.com/pub/ries/index。。。庆祝#PiDay

这个损坏的计算器（误差：7.52×10^-9)

如果他们太聪明了，不会被1愚弄/(e（电子）√2+e（电子）+1/2）+3，然后尝试这个技巧：

我有一个计算器，它只有五个工作键：x个², √ ,在(x个),e（电子）^x个和电源键。当我打开它时，它开始于数字0。其他键都不行。我能让它显示π吗？

这个很容易里斯。您可以在任何号码上使用它你想要的话，它几乎会立刻给出答案。更好的是，我们会重新配置里斯使用输出--符号-名称和后缀格式选项，因此它确切地告诉我们要按什么键以及在什么位置订单。这里有一个里斯损坏计算器的配置文件：

#我的坏计算器的RIES配置文件：唯一有效的密钥是#e^x，ln（x），x^2和平方根。-SeElq#否，因为解决问题有时会产生负面影响-Ox#不能多次使用x-s-x#将所有操作放在RHS上并显示值-F#使用Postfix格式--符号-名称:.:. # 使用“.”在其余部分中表示空白#符号名称  ：x:0#计算器以0开头:=:. # Make=不可见：e:e^x.e^x#到达任何地方的唯一方法是使用e^x两次  #现在，RIES输出以“x=esqrt-sqrt…”开始#将看起来像“0 e^x e^x sqrt sqrt…”  ：q:，/#看起来有点像平方根符号：l:ln（x）：s:x^2：E:E^x

现在，我们可以近似计算断裂的π（或任何实际值）计算器使用里斯命令：

ries-pbroken-计算器3.1415926535897932

由于配置文件中的特殊符号名称，里斯向我们展示准确计算结果的方法（按此顺序按键）：

0e（电子）^x个 e（电子）^x个√ √ e（电子）^x个 e（电子）^x个√ √ e（电子）^x个 e（电子）^x个√ √ √ 在(x个) √ √ e（电子）^x个 x个² x个²在(x个)在(x个)x个² e（电子）^x个 e（电子）^x个 x个²在(x个)x个² x个² x个²在(x个)在(x个)   
       = 3.14159264606927...

在任何具有x个², √ ，英寸(x个)、和e（电子）^x个键，从0开始。如果你想在那件事上迷失了方向：

0e（电子）^x个 e（电子）^x个√ √ √ √ e（电子）^x个 e（电子）^x个√ e（电子）^x个√ 在(x个)在(x个)x个² e（电子）^x个 x个²
       = 3.14150905114791...

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圆周率：约π至14位数

罗伯特·穆纳福     @mrob_27型
快乐#PiDay！今天，还有几个几乎正确的迭代公式…http://mrob.com/pub/ries/index。。。使用#RIES获得#mathematic和#number乐趣！

在这个例子中，我们将高精度近似对于π（误差范围为1.11×10^-9向下至9.97×10^-15个).

让我们再找几个“iterate”x个=f(x个)“类型近似，就像昨天一样Dr.Matrix示例。这需要答案来自里斯涉及多个x个.我会使用-一个选项将其限制为代数数s、 但也不包括三角函数-NSCT公司。为了获得更多x个我会的降低x个符号，带有--符号重量8:x。我还使用-秒把一切都转移到右侧，除一个x个. The-l5级选项就是这样搜索时间更长。

迭代A.使用里斯命令：

系列3.1415926535897932-a-NSCT--符号重量8:x-s-l5

给出这样的结果：

x个= √5/2+1/3+√√√x个+2

最后一部分是三个平方根，即8^第个根，所以它可以写为“√5/2+ 1/3 +⁸√x个+2“。作为一次迭代，我们先来点x个（如2），并使用它计算新的价值x个':

x个' = √5/2+ 1/3 +⁸√x个+2

如果x个为2，x个'约为3.103。继续，下一个迭代x个''约为3.1404；这在3.1415926546965上收敛得很快。。。（误差1.11×10^-9).

迭代B.我们不要使用-一个选项，但不包括π在中显式地-N个选项。这个里斯命令变为：

系列3.1415926535897932-NSCTp--符号重量8:x-s-l5

由此我们得到了以下结果：

x=1/e“/（φ/9）+平方英尺（5/x）

这个"/代表n个^第个根目录。这没有好的象征，和里斯将其打印为"/。我会重写为“[^n个√]”和添加括号以显示先取得根：

x个=1/(e（电子）[^n个√](Φ/9))+√5/x个

稍微重新安排：

x个’=√5/x个+(Φ/9)^{(-1/e（电子）)}

该迭代收敛于3.14159264889…（误差4.69×10^-9)

迭代C.相同的另一个结果里斯命令：

x个=e^（（x-5）^2）[^n个√]平方米（ln（9*sqrt（2）））

我们可以重写公式，使其更易于阅读：

x个'=e^{平方（ln（9√2))（1/（（x-5））2))}

迭代此操作，从初始值开始x个接近3，收敛于3.14159265358403…（误差5.79×10^-12)

迭代D。这是另一个结果：

x个=英寸(x个+x个/4)^(1/√e（电子）[^n个√](1/5)+1)

如果如图所示迭代它，它不会收敛，而是发散。何时这种情况我们通常可以解决另一个x个，在这种情况下ln（）内的：

x个'=4/5*e^{x个(1/(1+5(1/√e（电子）)))}

迭代此结果收敛于3.14159265358561……（误差4.18×10^-12)

迭代E。还有一个：

x个=x个[^n个√]（对数₂(7[^n个√]2+5））-1/(x个[^n个√]x个-2)

这有三个“n个^第个“根”符号和底数的对数2，所有这些我都会重写：

x个'=（ln（5+2^(1/7))/ln（2））^(1/x个)- 1/(x个^(1/x个)-2)

这收敛于3.14159265358738…，仅为2.40×10^-12从π。

公式F。我们还获得：

x个= (7[^n个√]2/8+Φ-1/9)/(x个/6)

虽然这有两个x个是的，可以直接求解x个，屈服

平方米（6*（2^(1/7)/8+Φ-1/9)) = 3.1415926535895868...

因此不需要迭代。该值与π相差2.06×10^-13.

  

今天晚些时候，我将添加几个π的“封闭形式”近似，精确到14位数。

准确的封闭式表达式

罗伯特·穆纳福     @mrob_27型
公式（6*（√（7/2）+5））^（-phi/7）+e给出π到14位精度。更多信息请访问http://mrob.com/pub/ries/index。。。使用#RIES庆祝#PiDay！

使我的PiDay（PiDay）例如，我将对非常高精度近似值。我从里斯命令：

ries-NSCTp-Ox 3.141592653589793238-s-l6-x系列

得到许多闭合形式的近似。过一会儿我会增加搜索级别为-l8级并添加选项--最大匹配距离7e-13和--不重新定义得到很多非常接近，但更复杂的答案。

下面是一小部分结果，按顺序列出提高精度：

√(4*√Φ-1/3*Φ²-2） =3.1415926534219…（误差1.68×10^-10)

1/(1/√2^√3*7-(Φ-√三))=3.1415926535752…（误差1.45×10^-11)

√((e（电子）^{√e（电子）}-2^(1/5))/2)+e（电子）-1=3.1415926535764…（误差1.33×10^-11)

(1/(e（电子）^Φ+2+√6))^2+7/√5=3.1415926535908…（误差1.07×10^-12)

√(Φ^(1/√(6²-2） ）*（1/5+1））+2=3.1415926535904…（误差7.01×10^-13)

1/(Φ*(3-e（电子）^三)-1)+√(Φ⁵-1） =3.141592653589232…（错误5.61×10^-13)

1/(1/(2*√(√e（电子）-ln（4））+ln（四））+e（电子）=3.1415926535902…（错误4.72×10^-13)

(Φ*9/7^{e（电子）}+7-e（电子）)/ln（4）=3.1415926535901…（误差3.59×10^-13)

√（1/2（1/（e*（√Φ+1)²)²+ln（Φ）/5）=3.141592653589559…（误差2.34×10^-13)

e（电子）^{（ln（3e（电子）+1） /英寸（6））2)}-√1/7+2=3.1415926535900…（误差2.21×10^-13)

√(6*(Φ+2^(1/7)/8） -2/3）=3.141592653589586…（误差2.06×10^-13)

√（ln（8-ln（4））²)/√(e（电子）⁹))+3=3.141592653589874…（错误8.09×10^-14)

ln（（6^{(e（电子）/2)2}-1/2)-(2-1/e（电子）^{e（电子）})²)=3.141592653589840…（误差4.76×10^-14)

在((e（电子）^{(5/(e（电子）(e（电子）/3)2))}+√三)²/5） =3.1415926535897698…（误差2.34×10^-14)

(6*(√7/2+5))^(-Φ/7)+e（电子）=3.141592653589803…（误差9.97×10^-15个)

  

这就是我的PiDay（PiDay）示例。查看本页其余部分你可能错过了前面的项目。

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