话题

点到点距离--三维


在欧几里德空间R^3(参考号:3),使两点之间的距离最小的曲线显然是一条直线段。这可以用以下公式进行数学表示变分法以及所谓的欧拉-拉格朗日微分方程.这个线条元素在里面R^3(参考号:3)由提供

 ds=sqrt(dx^2+dy^2+dz^2),
(1)

所以弧长在这些点之间x_1x2个

 L=intds=int_(x_1)^(x_2)sqrt(1+y^'^2+z^('2))dx
(2)

我们正在最小化的数量是

 f=sqrt(1+y^'^2+z^('2))。
(3)

求导数得出

(部分)/(部分)=0
(4)
(部分)/(部分)=0
(5)

(部分)/(部分^')=(y^')/(平方(1+y^('2)+z^('2)))
(6)
(部分)/(部分^')=(z^')/(平方(1+y^('2)+z^('2))),
(7)

所以欧拉-拉格朗日差速器方程成为

d/(dx)((y^')/(平方(1+y^'^2+z^('2)))=0
(8)
d/(dx)((z^')/(平方(1+y^'^2+z^('2)))=0
(9)

这些给了

 (y^')/(平方(1+y^'^2+z^('2)))=c_1
(10)
 (z^')/(sqrt(1+y^'^2+z^('2)))=c_2。
(11)

取比率,

 z^'=(c2)/(c1)y^'
(12)
 (y^')/(平方(1+y^('2)+((c2)/(c1))^2y^
(13)
 y^('2)=c_1^2[1+y^,
(14)

它给出了

 y^('2)=(c_1^2)/(1-c_1^2-c_2^2)=a_1^2
(15)
 z^('2)=((c2)/(c1))^2y^('2)=。
(16)

因此,y^'=a_1z^'=b_1,所以解决方案是

 [x;y;z]=[x;a_1x+a_0;b_1x+b_0],
(17)

它是带参数的直线的参数表示x in[x_1,x_2].验证长度给予

 L=平方(1+a_1^2+b_1^2)(x_2-x_1)
(18)

哪里

 [y_1;y_2]=[x_11;x_21][a_1;a_0]
(19)
 [z_1;z_2]=[x_11;x_21][b_1;b_0]。
(20)

另请参见

变分法,圆形三角形拾取,伟大的圆形,线条拾取,点对点距离--二维,点-二次曲线距离,球体点拾取

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阿夫肯,G。物理学家数学方法,第三版。佛罗里达州奥兰多:学术出版社,第930-931页,1985

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“点到点距离——三维。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Point-PointDistance3-Dimensional.html

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