希尔伯特问题

希尔伯特问题是由希尔伯特提出的一组（原本）未解决的数学问题。在印刷地址中出现的23个总数中，有10个是实际呈现的1900年8月8日在巴黎举行的第二届国际会议上。特别是希尔伯特提出的问题是1、2、6、7、8、13、16、19、21和22（德比郡2004年，第377页）。此外，最后列出的23个问题省略了另外一个上的问题证明理论（Thiele，2001年）。

希尔伯特的问题被设计成各种问题的范例，这些问题的解决方案将促进数学学科的发展。因此，有些是需要调查的领域，因此严格来说并不是“问题”

1.“连续统基数的康托问题”可数的设置以及连续体已得到答复哥德尔和科恩在解决连续体假设答案取决于集合论假设。问题是连续体个数字中的个被视为有序集是与Zermelo有关选择公理1963年，这个选择公理被证明是独立的所有其他的公理在里面集合论.对于这些结果是否能解决这个问题，人们达成了普遍共识。

2.“算术公理的兼容性。”哥德尔第二不完全性定理表示无法证明公理逻辑的一致性是指任何形式的系统有趣到足以形成自己的一致性可以证明自己的一致若（iff）这是不一致的。如果结果不一致哥德尔和根岑提供了一个解决方案。

3.给两个四面体不能分解成一致的四面体直接或通过相邻一致的四面体Dehn（19001902）表明正四面体不能分解为有限个全等四面体（直接或通过连接全等四面体），可以重新组装以形成立方体。从这个结果可以看出，两个四面体不能分解，正如希尔伯特提议的那样。

4.查找几何图形谁的公理最接近欧几里德几何如果订购和发病率公理保留同余公理减弱，以及等效的平行假设略。这个问题由G.Hamel解决。

5.定义连续变换的函数的可微性假设组避免吗？（这是对柯西函数方程1930年，John von Neumann求解了双紧群。也解决了阿贝尔（Abelian）情况，对于可解的1952年的案例，蒙哥马利和Zippin的补充结果（随后合并1953年由Yamabe编写）。安德鲁·格里森（Andrew Gleason）在1952年表示，答案也是“是的”对于所有局部双紧群。

6.物理学能公理化吗？

7.出租是代数的和 不合理的.是然后超越的?特别是Gelfond-Schneider公司常数 和Gelfond常数 超越（Wells 1986，第45页）？已知在特殊情况下是先验的属于非理性的代数数，如中所述1934年，Aleksander Gelfond在一个现在被称为Gelfond的定理（Courant和Robins，1996年）。然而，非代数无理的情况尚未解决，有解决方案仅适用于退化结构，例如,.

8.证明黎曼假设. The猜想至今仍未得到证实或反驳。

9.构造互惠定理属于数论.

10.是否存在通用算法来求解丢番图方程? 尤里证明了不可能得到一般的解决方案1970年的马蒂亚塞维奇1982年，Matiyasevich 1993年）（其中是第个斐波那契数)是丢番图。更具体地说，Matiyasevich证明了存在多项式在里面,,以及其他一些变量,,, ... 拥有 若（iff）存在整数,,, ... 这样的话.

11.将二次域的结果推广到任意整数代数域。

12.通过使用特殊值显式构造Hilbert类域，将Kronecker定理推广到任意代数域。这需要建造全纯函数在几个变量中具有类似于指数函数和椭圆模函数的性质（Holzapfel，1995年）。

13.证明用两个变量的函数求解一般七次方程的不可能性。

14.显示相对积分函数系统的有限性。

15.证明舒伯特的枚举几何（贝尔1945）。

16.研究实数的拓扑代数曲线和曲面参见古德科夫和乌特金（1978），伊利亚申科以及Yakovenko（1995）和Smale（2000），了解更多细节。

17.通过正方形.

18.建造一致的空间多面体.

19.分析变分问题解的解析性质。

20.解决一般问题边值问题.

21.求解给定a的微分方程单峰群。更严格地说，证明始终存在紫红色系统具有给定的奇点和给定的单峰组.已解决了几个特殊情况，但消极的解决方案由B.Bolibruch于1989年发现（Anasov和Bolibruch1994）。

22.均匀化。

23.扩展变分法.