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埃尔哈特多项式


三角洲表示积分凸多面体属于 n个在格子里M(M),并让l_增量(k)表示晶格在里面三角洲按整数倍数展开k个,

 l_增量(k)=#(k增量交点M)
(1)

对于Z中的k^+.然后l_增量是中的多项式函数k个学位n个具有有理系数

 l_增量(k)=a_nk^n+a_(n-1)k^(n-1+a_0(零)
(2)

称为埃尔哈特多项式(Ehrhart 1967,Pommersheim 1993)。特定系数具有重要的几何解释。

1a_n(名词)内容属于三角洲.

2a(n-1)目录(n-1)-尺寸面三角洲.

三。a_0=1.

S_2(增量)表示三角洲然后是案例n=2对应于皮克斯定理,

 l_Δ(k)=体积(Δ)k+1/2S_2(Δ)k+1。
(3)

S_3(增量)表示二维面的晶格体积之和三角洲然后是案例n=3给予

 l_δ(k)=体积(δ)k^3+1/2S_3(δ)k^2+a_1k+1,
(4)

Pommersheim(1993)给出了一个相当复杂的表达式,因为a_1不幸的是被解释就边缘而言三角洲.带顶点四面体的Ehrhart多项式在(0,0,0)(一,0, 0), (0,b条,0), (0, 0,c(c))

 l_增量(k)=1/6abck^3+1/4(ab+ac+bc+d)k^2+[1/(12)((ac)/b+(bc)/a+(ab)/c+(d^2)/(abc))+1/4(a+b+c+a+b+c)-As((bc,
(5)

哪里s(x,y)是一个Dedekind总和,A=GCD(b,c),B=GCD(a,c),C=GCD(a,b)(此处,GCD是指最大的公约数)、和d=ABC(Pommersheim 1993)。


另请参见

Dehn不变量,Pick的定理

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

贝克,M.和罗宾斯,S。离散连续计算:多面体中的整数点枚举。纽约:施普林格,2007年。Ehrhart,E.“希腊问题研究”迪奥芬汀·莱内尔(diophantine linéaire)。"J.reine angew。数学。 227, 1-29,1967Ellis-Monaghan,J.A。和Merino,C.“图多项式及其应用II:相互关系和解释。”2008年6月28日。网址:http://arxiv.org/abs/0806.4699.加德纳,M。这个科学美国人的第六本数学游戏书。伊利诺伊州芝加哥:大学芝加哥出版社,第2151984页。I.G.麦克唐纳。格子多面体的体积。"程序。外倾角。菲尔·索克。 59, 719-726,1963McMullen,P.“某类资产的估值和欧拉型关系凸多面体类。"程序。伦敦数学。Soc公司。 35, 113-135,1977Pommersheim,J.“Toric Varieries,Lattices Points,and Dedekind”总和。"数学。安。 295, 1-24, 1993.J.E.里夫。“关于格子多面体的体积。”程序。伦敦数学。Soc公司。 7,378-395, 1957.J.E.里夫。“关于晶格多面体。"程序。伦敦数学。Soc公司。 34, 57-62, 1959.

引用的关于Wolfram | Alpha

埃尔哈特多项式

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“埃尔哈特多项式。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/EhrhartPolynomial.html

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