话题

埃尔哈特多项式

让三角洲表示积分凸多面体属于维 n个在格子里M（M），并让l_增量（k）表示格子点在里面三角洲按整数倍数展开k个,

l_增量（k）=#（k增量交点M）
(1)

对于Z中的k^+.然后_增量是中的多项式函数k个学位n个具有有理系数

l_增量（k）=a_nk^n+a_（n-1）k^（n-1+a_0（零）
(2)

称为埃尔哈特多项式（Ehrhart 1967，Pommersheim 1993）。特定系数具有重要的几何解释。

1a_n（名词）是内容属于三角洲.

2a（n-1）是目录的（n-1）-尺寸面三角洲.

三。a_0=1.

让S_2（增量）表示三角洲然后是案例n=2对应于皮克定理,

l_增量（k）=体积（增量）k^2+1/2S_2（增量）k+1。
(3)

让S_3（增量）表示二维面的晶格体积之和三角洲然后是案例n=3给予

l_δ（k）=体积（δ）k^3+1/2S_3（δ）k^2+a_1k+1，
(4)

Pommersheim（1993）给出了一个相当复杂的表达式，因为a_1不幸的是不被解释就边缘而言三角洲.带顶点四面体的Ehrhart多项式在（0，0，0）(一,0, 0), (0,b条,0), (0, 0,c（c）)是

l_增量（k）=1/6abck^3+1/4（ab+ac+bc+d）k^2+[1/（12）（（ac）/b+（bc）/a+（ab）/c+（d^2）/（abc））+1/4（a+b+c+a+b+c）-As（（bc，
(5)

哪里s（x，y）是一个Dedekind总和,A=GCD（b，c）,B=GCD（a，c）,C=GCD（a，b）（此处，GCD是指最大的公约数)，以及d=ABC（Pommersheim 1993）。

另请参见

Dehn不变量,Pick的定理

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

贝克，M.和罗宾斯，S。离散连续计算：多面体中的整数点枚举。纽约：施普林格，2007年。Ehrhart，E.“希腊问题研究”迪奥芬汀·莱内尔（diophantine linéaire）。"J.reine angew。数学。 227, 1-29,1967Ellis-Monaghan，J.A.和Merino，C.“图多项式及其应用II：相互关系和解释。“2008年6月28日。http://arxiv.org/abs/0806.4699.加德纳，M。这个科学美国人的第六本数学游戏书。伊利诺伊州芝加哥：大学芝加哥出版社，第2151984页。麦克唐纳，I.G.“格子多面体的体积。"程序。外倾角。菲尔·索克。 59, 719-726,1963McMullen，P.“某类资产的估值和欧拉型关系凸多面体类。"程序。伦敦数学。Soc公司。 35, 113-135,1977Pommersheim，J.“Toric Varieries，Lattices Points，and Dedekind”总和。"数学。安。 295, 1-24, 1993.J.E.里夫。“关于格子多面体的体积。”程序。伦敦数学。Soc公司。 7,378-395, 1957.Reeve，J.E.“关于晶格多面体。"程序。伦敦数学。Soc公司。 34, 57-62, 1959.

引用的关于Wolfram | Alpha

埃尔哈特多项式

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“埃尔哈特多项式。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/EhrhartPolynomial.html

主题分类