支撑多边形

给定一个铰链，支撑方形问题问道广场由四个相等的杆组成（上面的红线表示），还有多少个铰接杆必须添加在同一平面中（没有两个杆交叉），以便正方形在平面上是刚性的？已知的最佳解决方案（上图左）使用共27根钢筋（包括四根用于方形），其中,,和是共线的（1964年加德纳；1984年加德纳；1991年威尔斯；Fredrickson 2002，第70页，图T4）。

对应的配置刚性图具有等长边（在不损失通用性的情况下，可以将其视为具有单位长度）将一个正多边形作为子图进行连续化称为支撑（正）多边形。而问题的原始变体假设了不重叠的杆，因此对应于以下图形嵌入固执的和火柴棒图，将条件放宽到允许重叠边提供对应于固执的 单位距离图.

例如，如果允许钢筋交叉形成支撑方形，根据a.Khodulyov和上图，最著名的解决方案需要19根钢筋（Friedman 2006）。

1963年，T.H。奥贝恩发现五角大楼使用69根火柴棒，八角大楼使用113根火柴杆，十二角大楼使用57根火柴棍（弗雷德里克森，2002年，第70页）。O'Beirne的五角大楼支撑如上图所示（Fredrickson 2002，第71页，图T6）。

不使用三角形就可以支撑正方形。21边，12节点，单位距离图如上图所示并构造通过删除某个29节点对称支撑图（Pegg 2018b）的顶点无三角形和支架二正方形（E.Pegg，pers.comm.，2021年1月3日）。此外，任何刚性框架（因此，所有规则多边形）可以通过以下方式转换为无三角的等价物将上面显示的12个12顶点无三角支撑正方形的副本链接起来两条共线边给出（P.Taxel，2021年1月3日）。

下表（更新自Friedman 2006，删除了36边Mireles图，该图并不严格）给出了截至2021年10月的最小已知解，有重叠杆和无重叠杆。其中许多是在沃尔夫拉姆语言作为图形数据[“斜撑方形”，27,1],图形数据[“支撑五角大楼”，69,1],等。

Khodulyov关于七角和十一角的解决方案只是一种“等角”方法的实例，该方法使用了适用于所有人的Peaucellier-Lipkin连杆-gons与（除、9、10和12，产生顶点-顶点退化嵌入）。结果是渐近最优的，需要棒（J.Tan，pers.comm.，10月26日，2021).

	边缘	火柴棒	边缘	单位距离
三	三	三角形图表 （琐碎）	三
4	27	七位发现者（加德纳，1964）	19	安德烈·科杜利约夫（弗里德曼，2006年）
5	69	总高度。1963年的奥贝恩（弗雷德里克森2002年，第70页）	31	安德烈·科杜利约夫（弗里德曼2006）
6	11	弗里德曼（2006；琐碎）	11
7			35	Ed Pegg，Jr.，Parcly Taxel，W.R。索姆斯基（2020年12月）
8	113	总高度。奥贝恩1963年（弗雷德里克森2002年，第70页）	31	安德烈Khodulyov（弗里德曼，2006）
9			51	安德烈·科杜利约夫（弗里德曼2006)
10			55	安德烈·科杜利约夫（弗里德曼，2006年）
11			79	J.Tan（Parcly Taxel 2021）
12	57	总高度。1963年的奥贝恩（弗雷德里克森2002年，第70页）	49	安德烈·科杜利约夫（弗里德曼2006）
13			151	J.Tan（2021年10月）
14			91	W.Somsky（2020年12月）
15			231	安德烈Khodulyov（J.Tan，2021年10月）
16			109	J.Tan先生（2021年10月）
17			269	Andrei Khodulyov（J.Tan，2021年10月）
18			117	J.Tan（2021年10月）