对于任何小于0.7375$的$\alpha,我们可以取$f(n)=\alpha-n$。特别是,在二元展开式中,一个数是零的素数的两倍以上的素数集是无限的。
我发布了一条短消息关于arXiv的文章它正好解决了这类问题。设$s_2(n)$表示以$2$为基数的数字之和。由于$x$大约有$\log_2(x)$个二进制数字,我们将查看$s_2(n)\geq\alpha\log_2。在4页的注释中,我们证明了
$$\left|\left\{p\leqx,\p\\text{prime}\:s_2(n)\geq\alpha\log_2(x)\right\}\right|\gg_{\epsilon}\x^{2\left(1-\alpha\ right)}e^{-c\left(\logx\right)^{1/2+\epsilen}}$$
此外,这样的结果自然扩展到基$q$,从而得出
$$\left|\left\{p\leq x,\p\\text{prime}\:\s_{q}(p)\geq\alpha(q-1)\log_{q}。
该证明利用了多项式分布急剧峰值的事实。出现数字$0.7375$是因为$1-0.525/2=0.7375$,而$0.525$是Baker Harman和Pintz关于质数缺口的工作中出现的指数。