复共轭对etale上同调的作用

Question

让X美元$成为一个属$克$光滑投影曲线，定义于$\mathbb{Q}$，并让$\覆盖线｛X｝$表示的基本变化X美元$到$\上划线{\mathbb{Q}}$.

众所周知$H^1_{\text{ét}}（\overline{X}，\mathbb{Q} （p）)$具有美元$-adic Galois表示。什么时候？$g=1$，我记得在什么地方读到过这样的表述很奇怪。一般来说，这是真的吗？例如，当$g>1$?

如果是这样的话，我希望你能提及我的发言。如果能直观地解释为什么会出现这种情况，我们将不胜感激。

Answer 1

Weil配对（或传说上同调中的Poincaré对偶）给出了Galois-equivaliant辛形式$$H^1（\overline{X}，\mathbb Q_p）\乘以H^1$$

复共轭对$Q_\ell（-1）$，分圆字符的逆，乘以$-1$，因为单位根位于单位圆上，因此通过复数共轭将其发送到自己的逆函数。

由此可见，复数共轭将辛形式转换为负辛形式。复数共轭还通过一个有序矩阵起作用$2$这样的矩阵必然具有特征值$1$具有多重性$克$和$-1$具有多重性$克$，因为他们$1$和$-1$特征空间必须都是各向同性子空间，因此两者都是最大的。尤其是它们的行列式是$（-1）^g$.