关于可签约性

Question

让$X\subset\mathbb{P}^3$是由方程式定义的曲面$xy-zw=0$，并考虑曲线$E\子集X$由方程式定义$x=z=0$.

问题。可以$E美元$收缩到一定程度？

不。$E$是$X$的两个规则之一中的一条线，因此它满足$E^2=0$，但如果$X\rightarrow Y$是对另一个曲面的收缩，则所有收缩曲线必须具有负自相交。 — 拉扎罗·坎佩蒂, 5月1日8:19
你能告诉我为什么$E^2=0$，而$E$是两个规则之一吗？我想了解更多关于交叉理论的知识。 — 乔治, 5月1日11:30
这是因为，例如，存在同构$X\cong\mathbf P^1\times\mathbf P^1$，它将规则带到$\mathbfP^1$-纤维之一。很明显，可以将这种纤维移动到不相交的曲线上，因此$E^2=0$。 — 拉扎罗·坎佩奥蒂, 5月1日15:15

弗朗西斯科·波利齐 · Accepted Answer · 2024-05-01 10:11:58分

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阿廷收缩性准则[1]意味着收缩不可约曲线的充分必要条件E美元$在表面上X美元$是那个吗$E^2<0$一般来说，收缩会产生一个表面Y美元$带有一个孤立的奇点。

卡斯特尔诺沃收缩性准则[2，第五章]确保年美元$是光滑的当且仅当E美元$是第一种特殊曲线，即，$E\simeq\mathbb{P}^1$和$E^2=-1$.

在你的例子中，我们有一个光滑的二次曲面$X\subset\mathbb{P}^3$和E美元$是其中一项裁决中的一条线。自$E^2=0$，不能签约吗E美元$.

观察收缩不可能性的一个直观方法是观察规则中的所有曲线美元|欧元|$线性等效，因此数值等效，因此E美元$将自动收缩裁定中的所有线条，图像不再是曲面。

参考文献。

[1]M.Artin：代数曲面上曲线可收缩性的一些数值判据，阿默尔。数学杂志。 84（1962）第485-496页。

[2]A.博维尔：复杂代数曲面剑桥大学出版社，1996年。

回答5月1日8:45

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$\开始组$ 谢谢。这正是我想知道的。但我无法理解为什么$E^2=0$，而$E$是其中之一。如果可能的话，我想知道两件事。1.计算$E^2$的“直接方法”。2.如果$E$是其中一项裁决，$E^2=0$的原因。（有相关的定理吗？）（*我是双有理几何的乞丐） $\端组$
– 乔治
5月1日11:23
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$\开始组$ 在$E$的相同裁定中，再画一条曲线$E'$。由于$E$和$E'$是线性等价且不相交的有效因子，因此根据交积的性质，我们得到$$E^2=EE'=0$$ $\端组$
– 弗朗西斯科·波利齐
5月2日7:01
1

$\开始组$ 另一种方法是注意$E+F$是二次曲面的奇异超平面部分（这里$F$是另一个规则中的一条线）。因此，由于$EF=1$，$$2=\degX=（E+F）^2=E^2+F^2+2EF=E^2+F^2+2$$，但$X$将$E$带到$F$中有一个自同构，所以我们必须有$E^2=F^2$，所以唯一的可能性是$E^2=F^2=0$。 $\端组$
– 弗朗西斯科·波利齐
5月2日7:05
$\开始组$ 谢谢。为什么$（E+F）^2=\deg X$？ $\端组$
– 乔治
5月2日7:44
1

$\开始组$ 如果$X\subset\mathbb{P}^3$是曲面，$H\subset-X$是超平面截面，则$H^2=\degX$。这是贝佐特定理的一个直接推论。 $\端组$
– 弗朗西斯科·波利齐
5月2日8:22

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