Kenig、Ponce和Vega论文中的一个不等式

Question

我试图阅读Kenig、Ponce和Vega的论文附录，“通过收缩原理，广义Korteweg-de-Vries方程的井位性和散射结果”，《纯粹数学与应用数学交流》46，第4期，527-620（1993），Zbl 0808.35128号，doi/10.1002/cpa.3160460405。定理A.8指出

让$\alpha\in（0,1）$和[0，\alpha]中的$\alpha_1、\alpha_2\$具有$\alpha=\alpha_1+\alpha_2$.如果（1，infty）中的$p，p_1，p_2，q，q_1，q_2$是这样的$\frac{1}{p}=\frac{1}}{p1}+\frac{1'{p2}$和$\压裂{1}{q}=\压裂{1'{q_1}+\压裂{1}{q_2}$.然后$$\|D_x^{阿尔法}（fg）-fD_x_{阿尔法}g-gD_x~{阿尔法}（f）\|_{L_{x}^{p} L（左）_{T} ^{q}}\leq c\|D_x^{\alpha_1}f\|_{L_x^｛p_1｝L_T^{q_1}}\|D_x^{\alpha_2}g\|_{L_x^{p_2}L_T^{q2}}$$现在，这里，作为$\alpha\in（0,1）$，上述不等式涉及算子的分数次幂D美元$.我的问题是，在$\阿尔法$可以从中选择（0，n）美元$，其中n美元$某个自然数大于$1$换言之，一个人能超越分数幂而仍然存在这样的不平等吗？高度赞赏任何见解

Answer 1

你引用的不等式有时被称为“分数莱布尼茨规则”，它与Coiffman-Meyer定理有关。扩展到所有$\alpha\geq 0$在中可用

藤原、川崎；弗拉基米尔·乔治耶夫；小泽，托赫鲁,高阶分数Leibniz规则，J.傅里叶分析。申请。24，编号3，650-665（2018）。ZBL1400.46027号.

(单击此处获取arXiv版本). 由于在两个函数之间“分配”导数的方式不同，公式有些复杂。

Answer 2

让我也提一下李博士的论文，论加藤-庞塞和分数莱布尼茨规则，其结果相当完整。