Gromov双曲空间水平函数的两种定义

Question

让X美元$是一个适当的测地线，美元\ delta$-双曲度量空间（例如双曲群）$x_0美元$成为X美元$。似乎有两种不同的“小时功能”定义X美元$，我想了解他们之间的关系。

第一个定义

定义1。对于每个$p\单位X$让$f_p\colon X\to\mathbb{R}$是功能$$fp（x）=d（x，p）-d（x0，p）。$$A函数$f\colon X\to\mathbb{R}$称为小时功能如果存在无界序列$\{p_n\}$在里面X美元$使得$f_{p_n}$一致收敛于$f美元$在紧集上。

这个定义是由于Gromov和上的所有horof函数集X美元$被称为水平作用边界请注意，此定义适用于任何度量空间。

第二个定义

下面的定义似乎出自Coornaert和Papadopoulos关于双曲群视觉边界的符号动力学的工作，尽管它类似于Gromov在其关于双曲组的文章中使用cocycles对钟表函数的“局部”描述。

定义2。A函数$f\colon X\to\mathbb{R}$具有$f（x_0）=0$称为小时功能如果满足以下条件：

1. 存在一个$\epsilon>0$以便$f美元$是$\epsilon美元$-凸的，在这个意义上$$f（\gamma_t）\leq（1-t）f（\gamma_0）+tf（\gamma_1）+\epsilon$$对于每个等速测地线$\伽马\冒号[0,1]\到X$.

2. 功能$f美元$就是距离，从这个意义上说$$f（x）=\lambda+d\bigl（x，f^{-1}（\lambda）\bigr）$$对于每个$x\以x表示$每$\lambda\ in（-\infty，f（x））]$.

我的问题

这两个定义之间到底是什么关系？它们是等价的吗？第二个是第一个的概括吗？我特别希望能引用一篇讨论这两个定义的论文。

Answer 1

我不知道这之前是否为人所知，但科林·布莱克、弗朗西斯科·马图奇和我已经在我们最近的论文中解决了这个问题[1]答案是，任何满足定义1的水平函数都满足定义2，但存在双曲群，其中水平函数满足定义2而不满足定义1。

定义1意味着定义2

这是基于以下权利要求。

索赔。 每个功能f_p美元$是2美元\delta$-凸面。

证明：让$\伽马\冒号[0,1]\到X$是等速测地线的长度L美元$，并让$a=伽马（0）$和$b=伽马（1）$.让$t\英寸[0,1]$，然后选择测地线$[p，a]$和美元[p，b]$从美元$到美元$和十亿美元$分别是。自X美元$是美元\ delta$-双曲线，存在一个点q美元$在$[p，a]\杯[p，b]$以便$d（q，\gamma_t）\leq\delta$.如果$q\单位[p，a]$然后\开始{multline*}d（\gamma_t，p）\leq d（q，p）+\delta=d（a，p）-d（a，q）+\delta\\\leq d（a，p）-d（a，\gamma_t）+2\δ=d（a，p）-tL+2\δ\结束{multline*}所以$f_p（\gamma_t）\leq f _p（a）-tL+2\delta$，如果$q\单位[p，b]$.因此$$f_p（\gamma_t）\leq\max\bigl（f_p$$为所有人$t\英寸[0,1]$，因此$$fp（\gamma_t）\leq（1-t）fp（a）+tfp（b）+2\delta$$为所有人$t\英寸[0,1]$.$\平方$

取一个极限，我们推断任何满足定义（1）的星座函数都是2美元\delta$-凸面。以下声明完成了证明。

索赔。 任何满足定义（1）的水平函数都是类距离的。

证明：让$\{p_n\}$是中的无界点序列X美元$以便$f_{p_n}$收敛到函数$f\colon X\to\mathbb{R}$在紧集上一致。让$x\以x表示$然后让$\lambda\in（-\infty，f（x））$，所以$f_{p_n}（x）>\lambda$足够大的n美元$.由于序列$\{p_n\}$是无限的，我们也知道$f_{p_n}（p_n）<\lambda$足够大的n美元$.对于每种n美元$，选择测地线$[p_n，x]$根据中间值定理，有一个点$y_n$在测地线上，所以$f_{p_n}（y_n）=\lambda$请注意$d（x，y_n）=f_{p_n}（x）-\lambda$对于每个n美元$，所以$d（x，y_n）到f（x）-\lambda$作为$n\to\infty$.自X美元$是正确的，顺序$\｛y_n \｝$必须有一个极限点美元$，满足$f（y）=\lambda$和$d（x，y）=f（x）-\λ$.因此$d\bigl（x，f^{-1}（\lambda）\bigr）\leq f（x）-\lambda$相反的不等式来自这样一个事实$f美元$是1美元$-利普希茨（因为每个f_p美元$是）。美元\平方$

定义2并不意味着定义1

正如安东·彼得鲁宁（Anton Petrunin）所建议的那样，有时可能需要满足定义（1）的最少函数来获得满足定义（2）但不满足定义（l）的函数。

例如，让X美元$是组的Cayley图$$G=langle a，b\mid-ab=ba，b^3=1\rangle\cong\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} _3个$$哪里$x_0美元$是单位顶点，请注意G美元$作用于X美元$以一种自然的方式。让T美元$是连接边的三角形1美元$,十亿美元$，以及$b^2美元$使用定义（1），每个点$p\吨$有两个相关的小时功能，即那些与序列相关的功能$\{a^n p\}$和$\{a美元^{-n}p\}$不难检查这些都是小时功能X美元$由定义（1）决定。特别是X美元$根据定义（1）同胚于的两个副本的不相交并集T美元$.

然而，有小时功能X美元$满足定义（2）但不满足定义（1）。例如，让$\{g_n\}$是函数的序列$$g_n（x）=最小值$$哪里$a^n、a^nb和a^nb^2$表示中相应的顶点X美元$.然后$\{g_n\}$在紧集上一致收敛于函数$g\colon X\to\mathbb{R}$满足定义（2）但不满足定义（1）。特别地，$g（1）=g（b）=g$，但对于满足定义（1）的任何时间函数来说都不是这样。更一般地说，对于任何值$u，v\in[-1,1]$令人满意的$|u-v|\leq 1$，上正好有两个定义（2）小时功能X美元$让人满意的$g（1）=0$,$g（b）=u$，以及$g（b^2）=v$.所有这些的集合$u美元$和$v（美元）$是一个闭合的六边形区域$\mathbb{R}^2$、和集合美元\菲律宾比索$满足定义（2）的水平函数是该区域两个不相交副本的并集。

请注意$G\次\mathbb{Z} _3个$对于任何双曲群都有类似的行为G美元$特别地，存在定义（1）和定义（2）不等价的非初等双曲群。还要注意，函数$克$上面定义的顶点取整数值，因此它对应于空间中的一个点$\Phi_0美元$Coornaert和Papadopoulos定义的积分车。