$g^x$的不动点（模a素数）

Question

在组合数学的一个显式结构中，我需要研究以下问题：假设我们选择了一个奇数质数$p$，一个乘法群$（Z/pZ）^{ast}$的生成器$g$。

问题1：对于多少$x\in\{2，\dots，p-2\}$，$x\equivg^x\，（p）$是真的吗。

问题2：之前的计数如何取决于$g$的选择？

一般来说，我确实需要同余方程$x\equiva+g^x\，（p）$（对于固定$a$）的解的个数，但基本情况$a=0$对我来说已经很有趣了。

Answer 1

举一个任意的例子，mod$p=23$有$\phi（22）=10$的原始根。其中，四个（$14,19,20,21$）没有$x\equivg^x\mod 23$的解，两个有一个，三个有两个，一个（$11$）有五个。

这里，对于前$30$个素数中的每一个，是没有$x\equiv g^x\mod p$与$2\le x\le p-2$的解的本原根$g$的数目：

$$1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 4, 2, 1, 6, 5, 2, 9, 11, 12, 5, 7, 9, 8, 8, 17, 12, 11, 16, 12, 23, 20, 16$$

这个序列似乎还没有出现在OEIS中。

[编辑：虽然这一个不在OEIS中，但在那里的数字为$g$是解决方案是：OEIS序列A174407].

对于每一个小于1000$的质数，此类$g$的数量至少为$1$。

$[1\ldots p-1]$的随机置换是一个错位的概率大约为$1/e$，所以从启发性的角度来看，我们可能期望这部分原始根没有$x\equiv g^x\mod p$的解。