涉及$n的所有分区总和的标识$

Question

在我对曲线模空间的上同调所做的一些工作中，出现了以下恒等式：

$$\prod_{i=1}^n\frac{x^{i-1}}{x^i-1}=\sum_{（a_1^{r_1}，\ldots，a_{ell}^{r{ell}}）\vdash n}\左（\prod\j=1}^{ell}\frac}1}{a_i^{r_i}（x^{ai}-1)^{RI}（RI）！}\右侧）$$

这里$x$是一个形式变量，RHS上的总和是$n$的所有分区的总和。通过$（a_1^{r_1}，\ldots，a_{\ell}^{r_{\el}}）\vdash n$，我的意思是形式的分区

$$r_1a_1+r_2a_2+\cdots+r_{\ell}a_{\el}=n$$

使用$r1、\ldots、r{\ell}\geq1$和$a_1>a_2>\cdots>a{\ellneneneep \geq1$。

我已向Mathematica验证此身份，价格为$1\leq n\leq 20$。然而，我不知道如何证明它总是正确的。有人能帮我吗？

这让我想起了这问题，我尝试使用问题答案中讨论的工具来解决它，但没有成功。

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编辑：如果有人感兴趣，这个恒等式的一个版本现在作为引理5.2出现在我的论文“具有水平结构的曲线模空间的高维上同调”（与Neil Fullarton联合）中，该论文可以从我的网页下载在这里谢谢露西亚告诉我如何证明！

Answer 1

这是一个速写（因为我时间紧迫）。将恒等式的两边乘以$t^n$，然后将$n$从$0$加到无穷大。根据循环分解恒等式（波利亚公式），右侧变为$$美元\exp\Big（\sum_{i=1}^{\infty}\frac{t^i}{i（x^i-1）}\Big）=\exp\Bing（-\sum_{i=1}^{\ infty{\frac}t^i{i}{i}\sum_{j=0}^{\frity}x^{ji}\Bing）=\exp\Big（\sum_{j=0}^{\infty}\log（1-t x ^j）\Big）=\prod_{j=0}^{\finfty{（1-tx ^j）。$$美元RHS也被称为Pochhammer符号（请参阅我评论中链接的维基百科文章）：它是$（t；x）{\infty}$。维基百科文章已经描述了组合恒等式（简单分区关系）$$美元（t；x）{\infty}=\sum_{n=0}^{\inffy}\frac{（-1）^nx^{n（n-1）/2}}{（x；x）_n}t^n，$$美元哪里$$美元（x；x）_n=（1-x）（1-x^2）\c点（1-x*n）。$$美元这与LHS乘以$t^n$并求和得到的结果相匹配。