自同构格式的有限性

Question

不久前，我在MO的回答中提到了一个悬而未决的问题，Pete Clark建议自己发布这个问题。好的，就在这里：

首先是设置。设$X$是域$k$上的投影方案。通过Grothendieck，存在一个局部有限类型$k$-scheme$a={\rm{Aut}}_{X/k}$，表示将$X_T$的$T$-自同构组赋给任何$k$-scheme$T$的函子。（Artin证明了一个相关的结果，射影性放宽到适当程度，甚至允许$X$是一个代数空间。）该构造使用Hilbert格式，因此最多可以出现许多几何连接组件。

在某些情况下，自同构方案是连通的（例如对于射影空间，当自同构模式是${\rm{PGL}}_n$时），而在其他情况下，几何成分群$\pi_0（A）=（A/A^0）（\overline{k}）$可以是无限的。对于后者，一个很好的例子是$X=E\乘以E$，对于椭圆曲线$E$，在$\上划线{k}$上没有复数乘法；在这种情况下，$A$是${\rm{GL}}_2（\mathbf{Z}）$x$E\乘以E$的扩展，因此$\pi_0（A）={\rm}GL}_2（\tathbf{Z}）$。后一组是有限的。

问题：射影$k$-方案$X$的自同构方案$A$的几何成分群$\pi_0（A）$总是有限生成的吗？最终提交？射影性放松到适当，而“方案”放松到“代数空间”？

可以随意假设$X$是平滑的，$k=\mathbf{C}$，因为我相信即使是这种情况也是完全开放的。

备注：让我提一个可能会引起人们关注的原因（除了天生的吸引力外，比方说在一般的适当情况下，类比Neron-Severi群的有限代）。如果试图研究$X$的$k$-形式的有限性问题（例如对于fppf拓扑，它相当于投影$k$-schemes$X'$，因此对于有限扩展$k/k$，$X'_k=X_k$），那么${rm{H}}^1（k，{rm{Aut}}_{X/k}）$的语言是很方便的。为了掌握这一点，几何成分群的伽罗瓦上同调进行了干预。所以知道这个群是有限生成的，还是有限呈现的是有用的。

Answer 1

我想在我已经发表的评论中添加一些内容，但是评论变得很大，我已经发表的评论变得越来越难跟上，所以我会把所有东西（包括我已经说过的话），尽管这不是对问题。

让我们首先考虑最小曲面$X$的情况（我说的最小曲面是指$K_X$nef）。多尔加切夫（Dolgachev：代数几何中的反射群是一个很好的引用，即使证明只在那里引用，也没有给出）给出了一种$\mathrm{Aut}（X）$in的图像$A_X$的结构定理$\mathrm{Aut}（S_X）$，其中$S_X$是中$K_X$的正交补码$\mathrm{NS}（X）$模量扭转。他的结果表明存在一个正常的亚组$\mathrm{Aut}（S_X）$的$W_X$由$-2$-曲线中的反射和由$A_X$和$W_X$生成的组$P_X$是有限的半直积$\mathrm{Aut}（S_X）$中的索引。注意，$W_X=\{e\}$和则$A_X$本身是有限索引，因此是一个算术(和因此有限呈现）。也可以有$W_X$的有限索引，然后$A_X$是有限的(和如此有限地呈现）。然而，有$A_X$和$W_X$都是无限的中间情况。$A_X$仍然是$P_X$的商，因此是有限生成的。我不知道是否总是这样有限呈现。Borcherds（Coxeter群、Lorentzian格和$K3$曲面。国际。数学。Res.Notices 1998）给出了其所在位置的示例（以及但也包括有限生成但不生成的示例算术。

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我现在意识到有限的呈现总是正确的：为此，我们只需要显示$W_X$通常是在$\mathrm{Aut}（X）$中由有限数量的元素，因此足以显示相同的内容$\mathrm{Aut}（S_X）$。我们知道$W_X$是由$-2$-元素中的反射生成的。然而，共轭类$-2$-元素的数量有限。对于通过标准格理论的论证，这足以证明只有有限数量的正交同构类补语。然而，这种补码的判别式是有界的$S_X$的秩和判别式，并且只有有限个有界秩和判别式的形式。

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进一步的步骤是炸掉$X$的点数（仍假设最小值）。作为$X$是唯一的最小模型，爆破的任何自同构由下式给出置换爆破点（和子群）的$X$自同构固定点与全自同构群是可公度的）。在阿贝尔曲面或超椭圆曲面只爆破一点的情况是毫无意义，因为它只会杀死$\mathrm{Aut}（X）$所以在这种情况下，第一个有趣的例子是炸掉两个点。

考虑当$X$是阿贝尔函数时爆破两点的情况。所以我们有两个$X$上的点，其中一个我们可以假设为$0$，另一个我们称为$X$。安修复这两个点的$X$的自同构将是$X$作为阿贝尔变量，它逐点修复由生成的封闭子组$A$$x$。然后，修复$x$的组将在修复组中具有有限索引$A$逐点。对于$X$的任何交换子簇$A$$\mathrm{Aut}（X）$固定$A$的所有点是一个算术子群（在不一定是半单群），尤其是有限表示。

同样的论点适用于任何维度的阿贝尔变体。这里有一个当然也可以选择放大正维变量，假设$S$是一个光滑的闭子簇。这个时间自同构组是修复的自同构$X$的子组美元。因此，我们在$S$上得到了一个诱导操作，该操作的内核具有结构与之前相同。除非我错了，$S$的自同构扩展到$X$是$\mathrm{Aut}（S）$中的有限索引\右箭头X$并将其拆分为等基因）。因此，对于对于$S$，爆破被简化为有限代（反之，对于$X$替换为$\mathrm{Alb}（S）$）。

现在考虑$X$仍然是极小的但非阿贝尔或超椭圆的情况，并且看看一点$x$的爆炸。对于$X$的一般点（在意义上在可数本子簇之外）自同构群是微不足道的，因此是有限生成的。任意$x$的情况似乎不清楚，但讨论的一个线索开始涉及是否对于一般$X$，有以下特征（直到可公度）$\mathrm{Aut}（X）$类似于最小情况：查看保持乘法结构的$X$的积分上同调，Hodge结构、Chern类（切线束）和有效锥（跨度为有效周期）。是有限索引$X$的自同构群的映像在这个组中？我认为答案是否定的（我希望我在这里展示的是a证明）。为此，我们需要回顾有关Seshadri常数的一些事实（拉扎斯菲尔德：代数几何中的正性，我是我的参考）。给一分$x$$L$nef的Seshadri常数$\epsilon（L；x）$（也适用于$L$限制为足够）确定（并由）在$x$爆炸$L-rE$正好是$0\leq-r\leq\epsilon（L；x）$时的nef。切换航向时，$X$的子集$U$是$X$的开放非空子集的可数，使得$\epsilon（L；X）$为对于所有充足的$L$，常数为$U$。实际上，$\epsilon（L；x）$可以表示（loc.cit.:5.1.17）就$kL$是否在$x处分离$s$-喷气机而言$对于固定$k$和$s$，分离在开放子集上是正确的。

结论是存在一个$U$，它是可数的交集爆破nef锥的非空开放子集的数目当在分解中表达时，$X$处的$X$独立于$X$$\mathrm{NS}（X）\bigoplus\mathrm Z E$。如果我们现在假设$K_X$是数字的平凡的是，我们有爆破切线束的第一Chern类在大约$X$处的$X$等于$E$（最大扭矩），因此上述组将保留分解$\mathrm{NS}（X）\bigoplus\mathrm ZE$并修复$E$so来自$\mathrm｛NS｝（X）$的自同构。我们提出的唯一进一步条件它保留了nef锥，但对于$x（单位：U$），这个锥是独立的共$x$。我们可以进一步安排，使U中的$x\表示U中的\varphi（x）$（因为$\mathrm{Aut}（X）$是可数的）我们得到$\mathrm{Aut}（X）$给出了上同调的保结构自同构$X$在$X$的放大。然而，正如之前所观察到的，以收缩为代价我们可以假设爆破的自同构群是琐碎的。因此，如果我们假设$X$是一个具有无穷大的K3曲面我们得到一个例子。

Answer 2

即使对于$\mathbb C$上的光滑投影变种，答案也是否定的：http://arxiv.org/abs/1609.06391这个例子是一个平滑的、不规则的六倍皮卡德排名，大约在30多岁。

这是基本思想。我们应该尝试找到一个变种$X$，它的自同构群类似于自由群。可以装配一些东西，使$x$上有一个点$x$，它在$\operatorname{Aut}（x）$中的稳定器是一个非有限生成的子群；自由团体有很多这样的人。如果你炸毁了$x$，那么导致炸毁的$x$的自同构正是修复$x$的方法。我们还需要检查，除了从$X$提升的自同构之外，放大没有任何其他自同构，但这并不太难。在这个链接的例子中，事情并没有这么清楚地解决，但这就是策略。

还有一个问题是如何证明自同构群不是有限生成的。我们已经安排好，我们可以写下的“明显的”自同构是一个非有限生成的群，但我们可能担心还有其他我们不知道的自同构。也许我们实际上只是找到了一个较大的有限生成群的非有限生成子群。解决方案是安排$X$上有一条有理曲线$C$，并证明$X$的每个自同构都必须修复$C$。事实上，将$C$限制为$z\mapstoz+C$形式的映射。

这意味着我们有一个限制映射$\rho:\operatorname{Aut}（X）\to\operator name{Aut}（C）$，图像位于固定$\infty$的转换的阿贝尔子群中。我们构造了显式自同构$\mu_n$（对于每$n$），其对$C$的限制是映射$z\mapsto z+1/3^n$。这意味着$\rho$的图像是一个包含$\mathbb Z[1/3]$的阿贝尔群，因此它不是有限生成的。这意味着$\operatorname{Aut}（X）$也不是有限生成的，尽管我不知道它到底是什么。如果我不得不猜测，它可能在可数的多个生成器上是免费的。

（我很抱歉，这很模糊，但论文不是很长，很有趣！）