问题
数值计算普通合伙人（首先是默认的38位数精度，然后是三倍）支持以下推测$$\int_0^\输入x\，[J_0（x）]^5\，dx=\裂缝{\伽马（1/15）\，\伽马{8\sqrt{5}\，\pi^4}=\压裂{2}{\sqrt{5}\，\伽玛射线（7/15）\，\γ射线（11/15）\，\Gamma（13/15）$$[通过恒等式$\Gamma（x）\Gamma（1-x）=\pi/\sin（\pi x）$；困难的部分是证明它们中的任何一个等于定积分。
这是一个已知的公式吗？
如果不是，是否值得制定并编写证据？
动机：概述
这两者之间有一个众所周知的类比克鲁斯特曼总和至素模量，$$K（a，b；p）=\sum_{x=1}^{p-1}\exp（2\pi i（ax+bx^{-1}）/p）$$（$x^{-1}$是$x\bmodp$的倒数）和贝塞尔函数$$J_0（2\sqrt{ab}）=\frac1\pi\int_0^{\infty}\sin（ax+bx^{-1}）\，\frac{dx}{x}$$[格拉德斯坦和Ryzhik3.868 #1].当$a，b\neq 0\bmod p$时，Kloosterman和不是初等的，但很容易看出它只依赖于$ab\bmodp$。
现在考虑$m=1,2,3，\ldots$第$m$-次幂矩$$M_M（p）：=\sum_{c=1}^{p-1}[K（c，1；p）]^M=\frac1\p-1}\sum_{a=1}^{p-1}\sum_{b=1}^}[K（a，b；p）]^m。$$这个$M_M（p）$是由$M\leq 4$的一个初等公式给出的，但$M_5（p）$涉及对特定K3曲面$X（5）\bmod p$上的点进行计数。这表明类似的贝塞尔积分$\int_0^\infty x[J_0（x）]^5，dx$可能与实数成正比周期共$X（5）$。这个K3曲面具有最大的Picard秩（它是“奇异的”），并且具有真实的周期这样一个表面的厚度应该与伽马函数的乘积成正比用分母除以Neron-Severi判别式的有理数进行计算表面的。这里这个判别词是$15$，和普通合伙人的函数林德普很快就想出了一个候选公式将积分与伽马积联系起来。
动机：细节
我们可以通过添加来计算$M_M（p）$$（p-1）M_M（p）$的双和公式以及$a、b的$2p-1$选项$其中$ab=0$。这将使总和增加$（p-1）^{m-1}+2（-1）^m$。然后将$[K（a，b；p）]^m$展开为非零$x_1，\ldots，x_m$上的和$\exp（2\pi i（\sum_｛j=1｝^m ax_j+bx_j^｛-1｝）/p）$，并切换求和的顺序，求$p^2$乘以点数投影曲面上坐标非零的$（x_1:x_2:\cdots:x_m）$$$X（m）：=\sum_{j=1}^mx_j=\sum_{j=1}^mX_j^{-1}=0$$在射影$（m-2）$-空间中{\bf P}^{m-1}\mid\sum_{j=1}^m x_j=0\}$中的$\{（x_1:x_2:\cdots:x_m）。因此$$M_p（M）=p^2\#（X（M）\bmod p）-（（p-1）^{M-1}+2（-1）^M）。$$例如，当$m=4$时，此变体是三条线的并集$x_1+x_2=x_3+x_4=0$，$x_1+x_3=x_2+x_4=0$和$x_1+x_4=x_2+x_3=0$，我们发现$M_4（p）=2p^3-3p^2-3p-1$，顺便提一下给出了每个$|K（c，1；p）|<（2p^3）^{1/4}$的初等证明。
下一种情况，$m=5$，是第一种情况，其中$X（m）\bmod p$不是初等的。原来$X（5）$是一个开放子集详细研究了K3曲面中的（$20$有理曲线的补充）在报纸上
Christiaan Peters、Jaap Top和Marcel van der Vlugt：K3曲面的Hasse zeta函数与Melas代码中重量为5的单词数相关。J.reine angew。数学。（克雷尔的J。）432(1992), 151-176.
根据他们的分析$$M_5（p）=（-3/p）4p^3+5p^2+4p+1$$如果$（-15/p）=-1$，而如果$（-15/p）=+1$，则$M_5（p）$由一个更复杂的公式，涉及$4p$as的分解$m^2+15n^2$或$5m^2+3n^2$。“幻数”$-15$出现在Neron-Severi格上交对的判别式表面的。
现在K3表面$X（5）$与Kummer表面同质$（E\times E）/\{\pm 1\}$其中$E$有$\sqrt{-15}$的复数乘法，因此$X（5）$的实际周期应在$E$实际期间的平方，这个正方形是一个元素因子$\Gamma（1/15）\、\Garma（2/15）\、\ Gamma。另一方面，$M_5$的贝塞尔函数模拟为$\int_0^\infty[J_0（2\sqrt{c}）]^5\，dc=\frac12\int_0^\infty x，[J_0（x）]^5，dx$。这个积分收敛缓慢，但振荡渐近的膨胀$J_0（x）$表明可以加速收敛把它写成交替求和$\int_0^\infty=\sum_{n=0}^\inffy\int_{n\pi}^{（n+1）\pi}$和使用普通合伙人的内置例程学号和苏门答腊.确实是命令
I5=总和（n=0，intnum（x=n*Pi，（n+1）*Pi、x*besselj（0，x）^5））
需要几秒钟才能返回0.32993380106006405903979065228695296470，再过几分钟，将精度提高三倍，达到100位数以上。然后
lindep（对数（[I5，2，5，Pi，prod（i=0.3，gamma（2^i/15））]）
找到与系数$（-2，-6，-1，-8,2）$的关系，得出第一等效形式$$\int_0^\输入x\，[J_0（x）]^5\，dx=\裂缝{\伽马（1/15）\，\伽马{8\sqrt{5}\，\pi^4}$$关于我们对定积分的猜想。
那么还有什么问题？
我想我基本上知道如何证明这个公式，但即使我已经诚实地将积分与$X（5）$的实际周期联系起来跟踪转换序列中的周期的重要任务$X（5）$到$E\乘以E$，从而获得与伽玛乘积的关系。所以我很高兴知道这个公式可能已经知道了通过超几何变换公式而不是直接操作真实周期的。（就其价值而言，Gradshteyn-Ryzhik有很多这类积分最多有三个贝塞尔函数的乘积，但只有少数人有四个（6.579），没有人有五个或更多。）如果公式未知，是否有任何原因（超越上述启发）将其视为一种好奇因此值得花费精力构建一个完整的证明吗？
