曲线之间距离概念背后的直觉

Question

让美元（百万克）$是黎曼流形，让美元$和q美元$两点并定义d美元（p，q）$作为它们之间最小测地线的长度。现在给出两条可直路径$\gamma_1美元$和$\gamma_2美元$连接美元$和q美元$在百万美元$参数化与路径长度成正比，定义路径之间的“距离”$\gamma_1美元$和$\gamma_2美元$，$D（\gamma_1，\gamma_2）$作为，

$$D（\gamma_1，\gamma_2）=\sup_｛\lambda\in[0,1]}D（\gamma_1（\lambda），\gamma_2（\lambda））+\vert l_g（\gamma_1）-l-g（\gamma_2）\vert$$

哪里$l_g（\gamma）$是曲线的长度$\伽马$以公制为单位$克$.

对于上述定义，是否有必要$克$像通常假设的那样完整？更进一步，当任意两点之间都保证存在长度最小的测地线时？（我知道这样的结果，即给定任何一点，它周围总是有一个邻域，在任何两点之间有一个长度最小化测地线）

但假设我正在研究一个伪黎曼流形（1，n）美元$签名。如果曲线的切线向量总是负范数，则称曲线为“类时间”曲线；如果曲线总是正的，则称其为“类空间”曲线，如果曲线总是零，则称之为“空”曲线。

然后我知道一个定理，它证明了连接两个点的光滑类时间曲线实现了这些点之间长度的局部最大值，当且仅当它是它们之间的测地线，其间没有共轭点。

这如何满足定义D函数时需要有唯一的局部最小测地线的需要？

我认为这个距离函数在路径空间中引入的拓扑美元$和q美元$这就是所谓的“Frechet拓扑”，在此拓扑下，路径空间成为一个无限维度量空间，它也是完备的。我认为在这种拓扑下，流形上两点之间的距离函数成为连接两点的曲线空间上的连续函数。

当我在（1，n）美元$签名情形类时间曲线的“适当长度”显然不是上述拓扑中可校正曲线空间上的连续函数。

（假设D函数和Frechet拓扑的上述定义即使在伪黎曼流形上也仍然有意义吗？）

但有人声称，在两个不动点之间的可修曲线空间上的长度函数成为上述拓扑中的“上半连续”函数。（我对此没有多少直觉。）

显然，这类函数满足在紧集上获得极大值的良好旧性质，这被用来表示，在给定任意两点的全局双曲伪黎曼流形上，它们之间存在一个长度最大的类时间测地线。

根据第四段中所述的定理，我想上面只是说，在全局双曲时空上的任何两点之间，都存在一条测地线，其间没有共轭点，然后根据这一说法，它将自动成为它们之间的局部最大长度时间样曲线。

我想知道这个定义背后的直觉是什么``距离”，以及所谓的后果是如何发生的。还有，如果有人能给我更大的画面，发生了什么。

Answer 1

因为你的标题包括“直觉”尽管这与你的担忧无关（如果我可以用“切线”来比喻！），我想我应该在计算机科学中提到弗雷切特距离通常用于测量两条曲线之间的距离。这是“当狗沿着各自的曲线行走时，连接狗和主人所需的最小皮带长度。”例如，2009年有一篇很好的论文，题为“曲线之间的同伦Fréchet距离或在多项式时间内在树林中遛狗."

下图来自另一篇相关论文，”多段线之间的新相似性度量及其在变形和多边形扫描中的应用”，这提供了Fréchet距离的变化，其中不允许皮带穿过曲线。

Answer 2

首先，伪黎曼度量不会给你距离$D$，因为它们甚至不会给你流形上的距离。要通过曲线的最小化获得距离，您需要度量为正定（虽然您可以在次黎曼几何的背景下做许多事情，但那是另一回事）。

其次，如果曲线的适当长度意味着它的可校正长度，那么$D$就是为了使长度函数连续（甚至是Lipschitz）：$|\ell_{gamma_1}-\ell_}\gamma_2}|\leqsleat D（\gamma_1，\gamma_2）$，这就是$D$的定义。

这似乎是了解这个距离最重要的事情。第一次尝试定义它是$D_0=\sup_td（\gamma_1（t），\gamma_2（t））$（均匀距离），但一条非常复杂的曲折曲线可能会收敛到测地线段。因此，可以通过添加$|\ell_{\gamma_1}-\ell_}\gamma_2}|$项来惩罚长度，以便$D$接近平滑路径的$C^1$收敛，但为所有可纠正路径定义。

我无法回答其他问题，至少我的评论没有精确性。

Answer 3

我的建议是，你暂时离开黎曼流形的背景（我想你会觉得很舒服），从度量空间的一般性来看这些概念，也从泛函分析的角度来看（总变分、长度的半连续性、函数空间的紧性，&c）。这将花费你很少的精力。G.Choquet的介绍是一个基本且经典的介绍分析课程，Tome II（拓扑）。