高维拟共形映射的正确定义不使用复变量。正确的条件是$$|直径(x)|\le K|J_f(x)|$$哪里$J_f(美元)$是雅可比行列式。一种定向保护同胚$f美元$在两个域之间$U,V美元$在里面$卢比$如果它属于Sobolev类,则称为拟共形美元(W)^{n,1}_{位置}(U)$(因此,在$U美元$)存在一个常数千美元$从而满足上述不等式美元$。还有许多其他的替代定义。例如,不使用Sobolev空间,您可以假设$f美元$几乎在中的每个坐标线段上都是绝对连续的美元$(因此,在美元$)并满足上述不等式。如果你不知道索波列夫空间或绝对连续性,就想想$f美元$作为微分同胚(这还不够,但对直觉来说足够了)。
其他定义包括共形模量、共形容量、拟对称性等,。。。
一些参考文献:
伊瓦尼埃克(Iwaniec),塔德乌兹(Tadeusz);加文·马丁《几何函数理论和非线性分析》,牛津数学专著。牛津:牛津大学出版社(ISBN 0-19-850929-4/hbk)。xv,552页。(2001).ZBL1045.30011号.
Yu Reshetnyak。G.公司。,《有界畸变的空间映射》,《数学专著翻译》,第73页。普罗维登斯,RI:美国数学学会(AMS)。xv,第362页(1989年)。ZBL0667.30018号.
瓦兹瓦兹,尤西,关于(n)维拟共形映射的讲座,数学讲义229。柏林-海德堡-纽约:斯普林格-弗拉格。十四、 144页(1971年)。ZBL0221.30031号.
附录。地图的Beltrami微分的模拟$f美元$在更高的维度中$$M_f(x):=J^{-2n}_f(x) (Df(x))^T Df(x),$$关于对称正定矩阵的一个域美元$Beltrami方程$$M_f(x)=A(x),$$具有美元(x)$上的一个正定对称矩阵域美元$,如果$n\ge第3页$(正如亚历克斯在回答中指出的那样)。然而,在处理拟共形映射时,该方程有时很有用,尽管不如经典的Beltrami方程有用:高维中的大多数工具不是解析的,而是几何的。有趣的是,如果美元(x)$如果是光滑的,则存在高维Beltrami方程可解的已知充要条件(该条件是上的三阶非线性PDE美元$如果$n=3$和上的二阶非线性PDE美元$如果$n\ge 4美元$). 我不知道是否有人想出了这个经典结果的分布类比。