Weyl不等式的这种形式是由于伊万·马特维维奇·维诺格拉多夫相关参考文献是1927年的论文[3]。准确地说，引理III第568-569页规定了以下等效形式：如果$$S=\sum_{x=N+1}^{N+P}e^{2\piif（x）}，\quad f（x）=\lambda x^N+\ldots+\lambda_N，\label{WS}\tag{WS}$$和$$\左|\lambda-\frac{a}{q}\right|<\frac{tau}{q^2}，\quad（a，q）=1，\quid 0<q\leP^n，\quare 1<\tau\leq，$$那么我们有$$S=O\big（P^{1+\epsilon}（1+qP^{-n+1}）^\sigma（\tauq^{-1}+P^{-1{）^\ sigma\big），\quad\sigma=2^{-n+1}。\标签{WI}\tag{WI}$$
笔记
在Chandrasekharan[1]关于算术函数的专著中，Weyl不等式是以不同的形式发展和证明的，类似于[3]引理II（第568页）中的公式（1），这与维基百科条目中给出的公式不同。在历史笔记（[1]，第84页）中，Chandrasekharan引用了Weyl的原著[7]和[8]，哈代和利特伍德的前一篇笔记，最后提到了埃德蒙·兰道的纪念性作品（[2]，II，第31-46页），以“一种综合性的形式”。维诺格拉多夫（Vinogradov）也引用了朗道（Landau）的作品（[3]第568页，脚注*和**），涉及引理I和II。
由于我无法在我信任的来源[1]中找到参考文献，我查看了维诺格拉多夫的“选定的作品“[5]：Weyl的不等式维基百科风格显示为引言中的公式（3）（[5]，引言，第185页：另见[6]，第6页公式（5）），但没有提及它的起源。然后我决定看看[4]（引言，p.4，公式（4））)我在那里找到了参考，就在下面等价形式的\eqref{WI}的上面：$$|S|\le P\gamma公司$$哪里$$\伽马\ll P^\epsilon\big（P^{-1}+tq^{-1{+tP^{-n+1}+q P^{-n}\big）^\rho\quad\rho=\frac{1}{2^{n-1}}$$并且具有明显的意义百万美元$和$t（美元）$.
在下文“参考书目”一节中的参考文献[1]、[2]、[3]、[4]和[5]中，待估计的Weyl总和、总和指数集与公式\eqref{WS}中的相同，或者等价地$$S=\sum_｛x=N\color｛red｝｛+1｝｝^｛N+P｝e ^｛2\pi i f（x）｝\：\：\text｛or｝\：S=\sum_｛x=N｝^｛N+P \color｛red｝｛-1｝｝e ^｛2\pi i f（x）｝。$$维基百科版本如下：$$S=\sum_{x=M}^{N+M}e^{2\pi如果（x）}，$$这可能是打字错误的证据。然而，如MO GH所述在里面他的评论，省略一个项只会增加O美元$估计。
如数学工作者所述21，自估算以来$$|S | \le P公司$$保持普通，而\eqref{WI}的左侧稍大P美元$对于$\tau>q美元$我们可以说，这个渐近估计与美元\套$当然，在这种情况下，它就失去了用处，因为它比微不足道的估计要糟糕得多。
维诺格拉多夫（Vinogradov）指出了公式\eqref{WI}的一个缺点（[5]，第185-186页，或[6]，第6页）：估计值很快变得不准确，因为n美元$增加，因为它的左侧（如他所说）比$P^{1-\西格玛}$，并且这个术语很快趋向于P美元$.
附录：顺便提一下，我最近注意到了这项工作[A1]。作者在证明\eqref{WI}的精化对多项式有效时$f（x）$其中美元（n-1）$次幂是$0$，在没有引用[3]（[A1]第1页）的情况下承认了维诺格拉多夫对此公式的研究，并引用了沃恩的专著作为证明的参考（[A2]§2.1，引理2.4，第11-12页）。因此，这本专著可以作为英国读者对维诺格拉多夫的韦尔不等式形式的现代参考。
附录参考文献
[A1]艾拉科夫，伊斯梅尔A。，关于Weyl和Vinogradov的估计，SibirskiĭMatematicheskiƑZhurnal 43，第1期，第9-13页（2002）；翻译于《西伯利亚数学杂志》43，第1期，第1-4期（2002年），MR1888113型 ZBL1008.11031号.
[A2]罗伯特·C·沃恩。，Hardy-Littlewood方法《剑桥数学丛书》，第125页。剑桥：剑桥大学出版社。第vii+232页（1997），ISBN:0-521-57347-5，MR1435742型 ZBL0868.11046号.
参考文献
[1] Chandrasekharan、Komaravolo、，算术函数，在埃因泽尔达尔斯特伦根的Mathematicschen Wissenschaften的Grundlehren。167.柏林-海德堡-纽约：斯普林格-弗拉格。十一、 第231页（1970年），0277490马来西亚令吉,ZBL0217.31602号.
[2] 兰道、埃德蒙德、，Vorlesungenüber Zahlenthorie.I:Aus der elementaren und additive n Zahlentheorie.II:Aus de analysichen und geometrischen Zahrentheorie.III：Aus der algebraischen Zahtentheorie undüber die Fermatsche Vermutung莱比锡，S.Hirzel。一： xii、360 S.II:viii、308 S.III:viii和342 S.（1927）。JFM 53.0123.17号文件.
[3] 维诺格拉多夫、伊万·马特维维奇“波利尼昂共和国缔约方分部分配表分析“，《社会主义共和国科学联合会公报》，（6）21567-578（1927），JFM 53.0160.02标准.
[4] 维诺格拉多夫、伊万·马特维维奇，数论中的三角和方法.由K.F.Roth和Anne Davenport翻译、修订和注释，纽约：Interscience Publishers Inc.X，180 p.（1954），MR0062183型,ZBL0055.27504号.
[5] 维诺格拉多夫、伊万·马特维维奇，选定的作品由苏联科学院斯特克罗夫数学研究所在其90岁生日之际编制。编辑：L.D.Faddeev、R.V.Gamkrelidze、A.A.Karatsuba、K.K.Mardzhanishvili和E.F.Mishchenko，Berlin-Heidelberg-New York:Springer-Verlag pp.viii+401（1985），ISBN:3-540-12788-7，0807530马来西亚令吉,ZBL0577.01049号.
[6] 维诺格拉多夫（Vinogradov）、伊万·马特维维奇（Ivan Matveevich）；安纳托利·卡拉通巴（Anatoli），阿列克谢维奇（Alekseevich），数论中的三角和方法“，《Steklov数学研究所学报》168，3-30（1986），0755892马来西亚令吉,兹比l0603.10037.
[7] 赫尔曼·韦尔”U.ber die Gleichverteilung von Zahlen mod公司。艾恩斯”，《数学年鉴》77，313-352（1916）。ZBL46.0278.06号.
[8] 赫尔曼·韦尔”Zur Abschätzung von先生$\ζ（1+ti）$“，Mathematische Zeitschrift 10，88-101（1921）。ZBL48.0346.01号.
