论自由理论的一个惊人性质

Question

昨天，我观察到（并证明）以下奇怪的事实，我感到非常惊讶。我很好奇地想知道这是否为某些人所知，或者它是否源于其他更普遍的事实，或者是否有人对此有任何评论。（例如，“这是错误的”将是一个非常有用的评论！）。我希望这对MO来说不是含糊其辞。

我的观察结果如下：

$1^{st}$版本： 假设$T$是一个自由的Lawvere理论（即通过不同运算自由生成），那么当您看到$T$有一个范畴，并自由地向其添加一个初始对象时，得到的范畴具有所有有限极限。

可以根据模型重新表述：

$2^{nd}$版本:设$T$是自由律理论，或（等价地）是自由对称集合运算器，则$C$是自由有限生成模型的范畴，则具有自由添加终端对象的$C$具有所有有限共线。

（注意：“自由”添加的终端对象意味着它是终端，除了身份之外，它没有任何形式化）

事实上，人们可以更普遍地获得相同的结果：

$3^{rd}$版本： 设$T$是一个“自由”的Cartmell广义代数理论。这里的自由意味着它没有平等公理，只有术语和类型介绍规则。然后，$T$的上下文类别，加上一个自由添加的初始对象，具有所有有限的限制。

我还想知道一些非自由理论的例子是否也具有这种性质（我相信答案是否定的，但我真的不知道）

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也许我应该举一个这些限制的例子，来了解它是如何工作的，以及这些限制可能有多“奇怪”。事实上，下面的例子很好地说明了证明是如何工作的（虽然卡特梅尔理论的版本，或者至少是我所知道的唯一的证明，涉及到一个非常混乱和复杂的归纳法，以使其真正成为一个证明）

让我们来看看“岩浆”的Lawvere理论，即只有一个操作$m$的arity$2$的理论。我将研究自由有限生成岩浆类别中的结肠炎。副产物明显存在，所以我将重点介绍协调剂。我用$M_k$表示$k$-生成器上的自由岩浆。

• $M_1\rightrightarrows M_2$是发送$M_1$到$M（x，y）$和$M（x，x）$的生成器的映射对，其中$x$和$y$是$M_2$的生成器。那么colimits是$M_1$，其中$x$和$y$都被发送到$M_1$的生成器。实际上，在自由岩浆中，只有当$f=g$时，才能得到$m（f，g）=m（f、f）$。

• $M_1\rightrightarrows M_2$将生成器发送到$M（x，y）$和$M（x，M（x、x））$。然后，colimit再次为$M_1$，其中$x$被发送到生成器$t$和$y$到$M（t，t）$。事实上，在自由岩浆中，只有当$g=m（f，f）$时，$m（f、g）=m（f，m（f））$才能发生。

• $M_1\rightrightarrows M_2$将生成器发送到$M（x，y）$和$M（x，M（x、y））$，则colimits是自由添加的终端对象。事实上，在自由岩浆中，$m（f，m（f、g））=m（f和g）$的关系意味着$m（f，g）=g$，这在自由岩浆里是永远无法满足的（例如，通过计算$g$的唯一表达式中出现的$m$的数量，就生成者而言）。

• 任何涉及自由添加的终端对象的共鸣都是自由添加的端对象本身（它是唯一允许从中映射的对象）

Answer 1

这是由于一级统一主要问题是（co）均衡器的存在，因为（co）乘积通常被视为存在。下面是如何将计算（co）均衡器翻译为统一语言的简要说明。你的三个设置有指向不同方向的箭头，为了简单起见，我将选择colimit方向，但下面的推理同样适用于所有三个设置。

就像你的岩浆例子一样，但在一般情况下。将自由代数$F_m$的生成器与$m$-生成器视为变量符号$x_1、\ldots、x_m$。然后，我们可以将形态$F_m到F_n$看作变量替换$\{x_1\mapsto t_1、\ldots、x_m\mapsto-t_m\}$，其中$t_1、\ ldots和t_m$是涉及$n$-变量符号$y_1、\ ldot、y_n$的项。

给定一个并行对$$\sigma=\{x_1\mapsto s_1，\ldots，x_m\mapstos s_m\}，\tau=\{x_1\mapstor t_1，\ldot，x_s\mapsto t_m\}:F_m\rightrightarrows F_n，$$和一个$$\upsilon=\{y_1\map斯托u_1，\ ldots如果$s_1^\upsilon=t1^\upsilon，\ldots，s_k^\upsilon=t_k^\upsilon$（其中我使用上标表示替换项的应用）。换句话说，当替换$\upsilon$是统一问题$\{s_1\doteq t_1，\ldots，s_k\doteqt t_k\}$的统一器时。

J.A.Robinson指出，如果统一问题$\{s_1\doteq t_1，\ldots，s_k\doteq_tk\}$有一个统一器，那么它有一个最通用的统一器$\nu$的意义是，任何其他unifier都是通过在$\nu$$上应用进一步的替换而从它上面获得的。再转换回类别语言，这意味着这个$\nu$s是并行对$\sigma，\tau:F_m\rightarrows F_n$的协等式。Robinson提出了一种算法来决定是否存在统一器，并在存在统一器的情况下找到最通用的统一器。Martelli和Montanari后来发现了一种更有效的算法。

对于你的最后一个问题，是的，有一些非自由理论允许统一；有关一些常见示例，请参阅Baader和Snyder。

罗宾逊，J.A。,基于分辨原理的面向机器的逻辑，J.协会计算。机器。12, 23-41 (1965).ZBL0139.12303号.

阿尔贝托·马泰利；乌戈·蒙塔纳里,一种高效的统一算法，ACM变速器。程序。语言系统。4, 258-282 (1982).ZBL0478.68093号.

弗兰茨·巴德；斯奈德，韦恩《统一理论》，Robinson，Alan（编辑）等人，《自动推理手册》。2卷。阿姆斯特丹：北荷兰/爱思唯尔；0-444-50812-0（第二卷）；0-444-50813-9（套））。445-533 (2001).ZBL1011.68126号.