像Sagemath这样的计算机代数包如何实现矩阵的秩

Question

我不确定这里是否是问这个问题的合适地方，但我相信这里会有人在工作中像Sage一样对计算机代数包进行计算。我一直在使用Sagemath来执行一些矩阵秩计算。偶尔会出现一些奇怪的结果。

例如，我必须找到一个矩阵的秩（$100\乘以150$），其中包含大整数项（大小在$1$到$10^{15}$范围内的项）。当我写代码时，矩阵M声明为矩阵（ZZ、R、C），或作为矩阵（QQ、R、C），它返回大约90的秩（我认为这是正确的），而如果我将实数上的矩阵声明为矩阵（RR、R、C），它返回大约50的排名，根据我的一些猜测，我认为排名太低了。

所以，总的来说，我很好奇，实现秩计算的标准方法是什么（以及基于实数或有理数的不同），我在哪里可以阅读更多关于这些的信息？如果这些问题是由于精度误差引起的，我该如何解决？更重要的是，我如何事先知道我的计算容易受到精度误差的影响？（我试着查找了几次Sagemath的源代码，但很快就迷路了，所以我希望有人能给我指一下精确的文档/源代码）

Answer 1

我不知道Sage实际使用什么算法，但计算整数的排名很有趣也很容易：计算整数上矩阵秩的复杂性如果你想要好的运行时间，这并不容易，为此阿恩·斯托约翰恩（Arne Storjohann）的许多论文都表明，可以以与实际矩阵一样的速度渐近地完成这项工作（考虑到系数放大，这是一个令人惊讶的结果）。Storjohann实际上已经实现了他的算法，我确信Sage使用了这个或类似的东西。

陈、朱亮；阿恩·斯托约翰恩，基于BLAS的整数矩阵精确线性代数C库，Kauers，Manuel（编辑），2005年符号和代数计算国际研讨会论文集，ISSAC’05，中国北京，2005年7月24-27日。纽约州纽约市：ACM出版社（ISBN 1-59593-095-7）。92-99 (2005).兹比1360.65086.

对于实数，计算秩的最快方法是计算奇异值分解，并丢弃某些截止值以下的奇异值（可能在$10^{-6}$左右）。正如许多人在评论中指出的那样，排名非常不稳定，所以除非您想要“伪排名”（如上所述，由奇异值的大小定义），否则不要去那里。