如何找到这个积分的约化公式？

Question

我不知道如何推导这个积分的约化公式：$$\int\frac{1}{x^m\sqrt{1-x^2}}\，dx$$

我知道你必须使用分部集成，但我已经尝试了我能想到的所有方法，但我没有得到任何结果。

以下是我尝试过的一些：

$u=\frac{1}{x^m}，\mspace{0.4cm}\frac}1}{\sqrt{1-x^2}}，\space{0.4 cm}\frac{1{x^{m+1}}$

$dv=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}，\mspace{0.4cm}\frac}{x^m}，\space{0.4 cm}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

我就是找不到窍门，请有人帮忙：(

Answer 1

表示100万美元$作为问题中的积分。替代$\sqrt｛1-x^2｝=u$，然后$\frac{dx}{du}=-\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$积分可以简化为$$I_m=-\int\frac{1}{（1-u^2）^{\frac}m+1}{2}}}du\overset{u=\sin{t}}{=}-\int（\sec{t}）^mdt$$这是简单的回归公式$\秒$，可以找到在这里.

Answer 2

$\textbf{提示：}$加减法$x^2美元$在分子中

$$I_m\equiv\int\frac{1-x^2+x^2}{x^m\sqrt{1-x*2}}dx=int\frac{1-x|2}}{x*m}dx+int\ frac{1}{x|m}\sqrt}1-x^2}}dx$$

然后使用部件集成只有在第一学期。