类反链集合的最大大小

Question

假设我们有一套X美元$属于n美元$元素和族$S\subseteq\mathcal{P}（X）$子集，使得没有集合$A\以S表示$是其他一些人的结合，也就是说，$$对于所有S'\substeq S\setminus\{A\}\quad\text{我们有}\quad A\ne\bigcup_{B\in S'}B$$这样一个集合的最大大小是多少美元$依据n美元$? 是否有类似于斯伯纳定理的估计/证明？

谢谢！

Answer 1

安迪·鲁(无并集子集族，arXiv 2015）对此问题进行了研究。

对于$n=1,2,3,4$Loo给出了精确的最大值($1,2,4,7$非空集）和$n=5，\ldot，30$他给出了上下限；下限是构造性的（给出了显式集合族）。

对于$n=5$给定的边界为$13$和$15$（事实上，我使用简单的Julia代码和300秒的计算时间进行了暴力搜索$13$是正确的值。）

请注意，Sperner族始终是有效的解决方案（如果一个集不是任何其他集的超集，那么它也不能是其他集的并集）。这表明了一种策略，即采取最大的Sperner家族，然后投入一些额外的小集合。

最大族的示例：$$\开始{数组}{lll}1 & 1 & \{1\} \\2 & 2 & \{1\},\{2\} \\3 & 4 & \{1\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\} \\4 & 7 & \{1\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{3,4\} \\5 & 13 & \{1, 5\},\｛2，\{2, 4\},\{3, 4\},\\&& \{1, 2, 3\},\{1, 2, 4\},\{1, 2, 5\},\{1, 3, 4\},\{1, 3, 5\},\{1, 4, 5\},\\&& \{2, 3, 5\},\{2, 4, 5\},\{3, 4, 5\}\结束{数组}$$

警告：“无工会家庭”似乎更多地指的是一个家庭，在这个家庭中，没有任何一方是工会二其他集合。这个版本显然是由Erdős提出的。