支撑没有三角形的多边形

Question

以下内容拉曼图不带三角形的正方形。换句话说，这是一个没有3圈的单位距离刚性图。这似乎是无三角区的最小例子支撑多边形。这恰好是单位棒立方体图表。

其他哪些规则多边形具有无三角刚性结构？

Answer 1

任何刚性框架，也就是所有规则多边形，都可以转换为无三角形的等效体。只需链接$12$-问题（我发现的）中显示的顶点无三角支撑正方形沿着两条共线边给出了任意整数长度的刚性线段，没有三角形：

然后，可以在没有三角形的情况下模仿任何三角形网格，如下所示（所有直的紫红色边都是用上面的图形链接结构制作的，所有黑色边都是单条）：

例如，要支撑不带三角形的六边形：

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然而，上述六角撑杆相当大。无三角支撑的另一种方法是虚拟边：在删除一条边的立体图的任何嵌入中，两个度之间的距离-$2$顶点（与缺失边相关）必须始终为$1$。这导致以下无三角刚性正六边形$16$顶点和$29$边缘(涉谷犯罪证明):

上面显示的两个版本是图形理论同构的；它们的坐标具有相同的最小多项式。特别是，使用涩谷的参数化$x美元$-顶点坐标$7$满足$12x^2-6（alpha+2）x+（alpha^2+4\alpha+1）=0，\\alpha=\sqrt[3]3$$ $（864x^6-2592x^5+2808x^4-1296x^3+342x^2-207x+83=0）$$(谢谢Hulpke指向GAP函数装饰Poly这使我可以得到第一个多项式。）第二个版本中的暗线表明刚性图与顺序有关-$4$超立方体图。

Answer 2

作为Parcly Taxel答案的补充，他的六角支撑是整个2DOF六角支撑家族的子集。以下是这个家族中两个特别对称的成员。（虚线表示未包含为边的单元分隔。）