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$\开始组$

在此处输入图像描述

该图显示了半径为1的12个小圆和一个正方形内的大圆。

正方形的每一边都与大圆和四个小圆相切。

每个小圆都与另外两个圆接触。

正方形每边的长度是多少？

答案是18

上下文：

这个问题是在去年11月我参加的团队数学挑战赛中提出的。我们团队中没有人知道该怎么做，我们最终猜到了答案（请理解，时间不多，我们还问了几个其他问题，没有猜！）。

网上没有有效的解决方案（只有答案），所以我最终求助于这个网站。如有任何帮助，我们将不胜感激。谢谢您！

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4个答案4

重置为默认值
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$\开始组$

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连接较大圆的中心（假设半径为美元$)到正方形的中点。很容易看出这一点美元ABCD$也是一个正方形。现在，将大圆的中心连接到其中一个较小圆的中心(P美元$). 然后$BP=r+1$此外，如果我们画一条垂直线穿过P美元$，它相交AB美元$在远处r-1美元$从十亿美元$最后，从E美元$到正方形底部的距离等于$AD=r$.去掉三个半径即可获得$EP=r-3$.使用毕达哥拉斯定理，$$（r-1）^2+（r-3）^2=（r+1）^2 \\r^2-10r+9=0 \表示r=9.1$$，但很明显$r\ne 1个$所以正方形的边是2美元=18$.

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  • 5
    $\开始组$ 假设$r=1$情况对应于角圆，角圆也与角和中心为$P$的圆相切。 $\端组$
    – 尼尔
    2020年5月26日15:41
  • 4
    $\开始组$ 我是一名工程师，而不是数学家，这对我来说是最清楚的解决方案。然而AB是r-1，BP是r+1是很清楚的，但我不得不坐下来思考为什么AP=r-3。这可能值得展示或解释。 $\端组$
    – 德拉戈内尔
    2020年5月26日18:14
  • 4
    $\开始组$ @Neil$r=1$相当于边长为6的正方形，其中填充了九个大小相等的圆圈。 $\端组$
    – 凯
    2020年5月26日20:26
  • 2
    $\开始组$ @Kai这不正确，不是吗？半径为r的圆应该与正方形和小圆相切。我想Neil就在这里。 $\端组$
    – 只有一半
    2020年5月27日9:41
  • 1
    $\开始组$ 实际上不是$AP$，它是$r-3$，而是$EP$，其中$E$是$AB$与$P$垂直线的交点。 $\端组$
    – 尼克·马特奥
    2020年5月27日21:09
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考虑一般情况是有益的。假设我们有一个半径为美元$刻在边长的正方形上200万美元$.假设n美元$单位半径的切线圆可以沿着正方形的内“角”绘制。两者之间的关系是什么美元$和n美元$？你的问题就是这样$n=2$角上画的第三个圆是多余的。下图说明了这种情况$n=5$:

在此处输入图像描述

解决方案很简单。图中所示的直角三角形有腿r-1美元$和$r-（2n-1）$和斜边$r+1$因此，$（r-1）^2+（r-2n+1）^2=（r+1）^2$$从中可以看出$$r=（1+\sqrt｛2n｝）^2$$对于$n=2$，这给$r=9$正方形的边长是$18$。对于$n=5$，我们有$r=11+2\sqrt｛10｝$.无论何时n美元$是正方形的两倍，即。$n=20万^2$对于正整数百万美元$，然后$r=（1+2m）^2$也是一个整数，外接正方形有整数边。

作为一个相关但不同的问题n美元$这样的圆，可以放置在角上的外切单位圆的总数是多少，以使它们的中心形成一个正方形晶格，并且不与大圆相交？所以对于$n=2$，这个数字是$f（n）=3$如图所示$n=5$，是的$f（5）=12$.

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  • 2
    $\开始组$ 这个概括太棒了！ $\端组$
    – Dávid Laczkó
    2020年5月26日9:14
  • $\开始组$ “只要n是平方的两倍”-应该是。。“每当n是半个正方形时”2是半个正方形。。下一个是8，即r为25，正方形边长为50，r=49时为18，因此正方形边长度为98，依此类推 $\端组$
    – 鹰275
    2020年5月26日12:23
  • 2
    $\开始组$ @eagle275编号$n=2m^2$是正确的，因为$2=2（1^2）$，$8=2（2^2）美元，接下来是$18=2。$n=m^2/2$的缺陷是$m$必须是即使否则$n$不是整数。 $\端组$
    – 英雄小狗
    2020年5月26日14:19
  • 2
    $\开始组$ @eagle275所以你建议$n=3^2/2=9/2$是$n$的有效选择？对于“半平方”来说，这是一个允许的选择。对于这样的选择，$r$可能是一个整数，但不是$n$。 $\端组$
    – 英雄小狗
    2020年5月26日16:14
  • 4
    $\开始组$ @鹰275你的描述在数学上是不精确的。您声称$n$是半个平方，即对于某个整数$m$，$n=m^2/2$。我举了一个反例，它满足了你的标准，但无效，因为你附加了一个未声明的条件，即$n$必须是整数。当你组合两个条件，$n=m^2/2$和$n\in\mathbb Z$时，你必须有$m$偶数，在这种情况下，$m=2k$，你的条件变成$n=m ^2/2=（2k）^2/2=2k^2$，这就是我的条件。 $\端组$
    – 英雄小狗
    2020年5月27日8:42
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在下图中，点D美元$位于$(3,1)$和E美元$位于美元（1,3）$我们用一个直角三角形G美元、D美元$以及$GI美元$和$德国$.设大圆的半径为美元$，这是正方形的一半。然后美元GD=r+1$,D美元$到十字路口$\sqrt 2美元$和G美元$到十字路口是$（r-2）\sqrt 2$ $$（r+1）^2=（\sqrt 2）^2+（（r-2）\sqrt 2中）^2\\r^2+2r+1=2+2（r^2-4r+4）\\0=r^2-10r+9\\r=1.9$$而且很清楚$9$是我们想要的根。正方形的边是$18$

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让美元$做正方形的边。加入中心O美元$距中心最大圆的距离美元$半径为小圆的$1$（如下图所示）

在此处输入图像描述

$$AO=\frac{a}{2}+1，\\OB=\frac{a}{2}-1，\\AB=\压裂{a}{2}-3$$在右边使用勾股定理美元\Delta ABO$ $$\left（\frac｛a｝｛2｝+1\right）^2=\left（\frac｛a｝{2}-1\右）^2+\左（\frac{a}{2}-3\右）^2$$

$$a^2-20a+36=0$$ $$a=2.18美元$$自$a>2美元$因此，正方形的边是$18$

$\端组$

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