Euler-Mascheroni常量表达式，进一步简化

Question

Euler-Marcheroni常数γ定义为：

$$\gamma=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left（\sum\limiss_{m=1}^{n}\frac{1}{m}-\log（n）\right）$$

从上一个问题这些级数收敛于对数吗？$\log（n）$可以写为：

$$\log（n）=\sum\limits_{k=1}^\infty\sum\limits_{a=1}^{n-1}\frac{1}{kn-a}-\总和\limits_{k=1}^\infty\frac{n-1}{kn}$$

$$\gamma=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left（\sum\limiss_{m=1}^{n}\frac{1}{m}-\left{kn-a}-\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{n-1}{kn}\right）$$

$$\gamma=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left（\sum\limiss_{m=1}^{n}\frac{1}{m}-\sum\limits _{k=1}^\infty \sum\ limits _{a=1}^{n-1}\frac{1}{kn-a}+\sum\limits_{k=1}^\infty\frac}n-1}{kn}右）$$

最后一个表达式可以进一步简化吗？

Answer 1

小心，我们实际上没有

$$\log（n）=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits\{a=1}^}n-1}\frac{1}｛kn-a｝-\和\极限_{k=1}^{\infty}\frac{n-1}{kn}$$

因为这两个级数都不收敛。相反，我们有

$$\log（n）=\lim_{M\rightarrow\infty}\sum\limits_{k=1}^{M}\sum\limits\{a=1}^}n-1}\frac{1}{kn-a}-\和\极限_{k=1}^{M}\分数{n-1}{kn}$$

现在，因为

$$\sum\limits_{k=1}^{M}\frac{n-1}{kn}=\sum\limits\{k=1{^{M{frac{1}{k}-\和\极限_{k=1}^{M}\frac{1}{kn}$$

我们可以重写

$$\log（n）=\lim_{M\rightarrow\infty}\sum\limits_{k=1}^{M}\sum\limits\{a=0}^{n-1}\frac{1}{kn-a}-\和\极限_{k=1}^{M}\frac{1}{k}=\lim_{M\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{nM}\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^{M}\frac{1}{k}$$

因此，我们有

$$\gamma=\lim_{n\rightarrow\infty}\lim_{M\rightarror\infty}\left（\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^{nM}\frac{1}{k}+\sum_{k=1}^{M}\frac{1{k}\right）$$

就我个人而言，我很喜欢这个极限，因为当我们切换极限的顺序时，它具有很好的对称性。此外，它还推广到了在置换下不变的l个变量上的极限。设$H_{k}$是$k^{th}$调和数。然后上面是

$$\gamma=\lim_{n\rightarrow\infty}\lim_{M\rightarror\infty}\left（H_{n} -高_{nm}+H_{m}\右）$$

这里是$1=3$：

$$\gamma=\lim_{n_{1}\rightarrow\infty}\lim_{n_}2}\right arrow\finfty{3}\rim_{n_{3}\ rightarror\infty}\left（\ left（H_{n_1}}+H_{n_2}}+H _{n_3}}\ right）-\ left_{1} n个_{2} }+H_{n_{2} n个_{3} }+H_{n_{3} n个_{1} }\右）+\左（H_{n_{1} n个_{2} n个_{3} }\右）\右）$$

一般情况下

$$\gamma=\lim_{n_{1}\rightarrow\infty}\cdots\lim_}n_{l}\right arrow\finfty{\left（\sum_{i_{1{=1}^{l} 小时_{n{i{1}}-\sum{i{1}<i{2}\leql}H{n{i{1{}n{i}2}}+\cdots+（-1）^{l} H（H）_{n{1}\cdots（右）$$

所以我想这取决于你所说的“进一步简化”的意思

$$\gamma=\lim_{n\rightarrow\infty}\lim_{m\rightarror\infty}\left（H_{n} -高_{nm}+H_{m}\右）$$

非常简单。

希望能有所帮助，

Answer 2

@Eric你能证明这是相等的吗（对于n的每个可能值）：$$\ln（n）=\lim_{M\rightarrow\infty}\sum\limits_{k=1}^{M}\sum\ limits_{a=1}^}{n-1}\frac{1}{kn-a}-\和\极限_{k=1}^{M}\分数{n-1}{kn}$$

Answer 3

在Naslund方程中设置$m=n$，我们得到

$$\伽马=\sum_{n=1}^\infty\left（\frac{2}{无}-\求和{j=n（n-1）+1}^{n（n+1）}\分形{1}{j}\右）$$

这可用于编写digamma函数的闭合形式，请参见重塑尊严.