本月问题（2000年1月）

假设平面上有一组只能在端点处连接的单位杆。用三根杆我们可以做成一个等边三角形，这个三角形在平面上是刚性的。制作一个刚性六边形需要11根杆，六边形要6根杆，支撑它需要5根杆。我最近发现，一个刚性方形可以用总共21根杆来制作。

生成刚性正则n-gon所需的最少杆数是多少？

这里有一个更容易的问题。对于每个正实数x，定义R（x）为能够形成刚性结构的最小杆数，因此两点（杆的端点）之间的距离为x。因此R（1）=1，R（√3）=5。整数n的R（√n）值是多少？什么样的x值具有R（x）的有限值？

答案

Ed Pegg提交了几个数字，后来发现这些数字并不严格。他确实找到了一种方法，用180根杆子做成了一个刚性五角大楼。

安德鲁·贝利设法用151根杆子支撑五角大楼。，然后是84根，然后是77根。我改进了他的最新尝试，只需要75根杆：

马丁·加德纳（Martin Gardner）在他的《第六本数学游戏书》（Sixth Book of Mathematical Games）中说，T·H·奥贝恩（T.H.O'Beirne）只用69根杆就找到了一个刚性五边形，但他没有给出解决方案。非常感谢Mike Reid指出这一点。里德还推测，刚性距离正是可构造距离。

事实证明这是错误的。莱斯·里德（无亲属关系）展示了如何将一个角度三等分。他的机制如下所示。类似的机制可以n-分割一个角度，这表明所有规则的n-多边形都可以是刚性的！他推测支撑距离是代数数，然后发现参考文献：前原浩史（Hiroshi Maehara）于年提出的“平面上刚性单位距离图中的距离”离散应用数学 31(1991), 193-200.

Les Reid还证明了所有可施工距离都是可支撑的。他是通过找到一种方法来支撑距离√x的，如果你已经支撑了距离x。这样做的结构是一个边长为x+1/2的菱形，一条对角线为|2x-1|，迫使另一条对角为2√x。然后他用类似的三角形来支撑√x的距离。

我可以用45根杆做一个刚性的八角形：

我可以用51根杆做一个刚性十二角形：

我可以用99根杆做一个刚性十边形：

制作刚性规则n边形所需的已知最小杆数为：

规则n-gon的最小杆数

n个	三	4	5	6	7	8	9	10	11	12
棒	三	19	31	11	59	31	51	55	155	49

2002年，Serhiy Grabarchuk联系了我，他告诉我Andrei Khodulyov多年前就解决了这个问题，并击败了所有最著名的结果！他的支撑方形仅使用19根杆，如下图所示。

他的五角大楼只使用了31根杆子：

他的七边形支架使用了79根杆：

他的支撑八角形使用了31根杆：

他用51根杆子支撑着非贡：

他的十角形支柱使用了55根杆：

他用了155根杆子支撑着11角：

他的支撑十二角形使用了49根杆：

2019年，渡边正木（Watanabe Masaki）向我发送了一份使用59根棒材的七边形解决方案：

2020年，Ed Pegg向我发送了一份使用42根杆的七边形的解决方案，并声称如果去掉两个相邻的内部顶点，只剩下35根杆，这仍然是刚性的。

Joseph DeVincentis提交了许多R（√n）值，其中一些不是最佳值。

以下是R（√n）的最小已知值：

支撑√n距离的最小杆数

n个	1	2	三	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
R（√n）	1	17	5	7	15	19	9	23	11	23	19	13	13	31	23	15	27	29	17	31	17	33	25	33	19

等边三角形网格中出现的距离的形式为√（a²+ab+b²)这似乎是实现这些距离的最经济的方法。特别是，约瑟夫·德文森提斯（Joseph DeVincentis）怀疑R（n）=4n-1。

人们还可以问各种n的R（1/√n）。例如，R（1/2）=15。

2004年，加文·西奥博尔德（Gavin Theobald）向我发送了改进的解决方案，使距离√n刚性化。他的一些解决方案如下所示。

5

6

11

14

15

17

18

20

加文·西奥博尔德（Gavin Theobald）也给了我一个反例来反驳√（a）的猜想²+ab+b²)最好使用简单的三角形网格。这是距离√2029新的改进方式：

2006年，Erik Leppen向我发送了一个改进的解决方案，让距离√10用23根杆变硬，√23用25根杆变刚性，如下所示。

10 23

Ed Pegg询问支撑三维立方体需要多少杆。我可以用36根杆子：

如果您可以扩展这些结果中的任何一个，请电子邮件我。点击在这里回到数学魔术。上次更新时间：2006年10月1日。